중간값 정리

중간값 정리: f는

[

a,

b]

에 정의된 연속 함수가 되게 하고 f(a) < s < f(b)를 가진 숫자가 되게 한다. 그리고 a와 b 사이에는 f(x) = s와 같은 x가 존재한다.

수학적 분석에서 중간값 정리는 f가 영역 내에 구간 $[a,$ $b]$ 을 포함하는 연속 함수라면 구간 내 어느 지점에서 f(a)와 f(b) 사이에 주어진 값을 모두 취한다고 명시한다.

여기에는 다음과 같은 두 가지 중요한 윤곽이 있다.

연속함수가 구간 안에 반대 기호 값을 갖는다면 그 구간(볼자노의 정리)에 뿌리를 두고 있다.^[1]
간격에 대한 연속 함수의 이미지는 그 자체로 간격이다.

동기

중간값 정리

이것은 실수에 걸쳐 연속함수의 직관적인 특성을 포착한다: 알려진 값 f(1) = 3 및 f(2) = 5로 [1, 2]에 연속 f가 주어진다면, x가 1에서 2로 이동하는 동안 y = f(x)의 그래프는 수평선 y = 4를 통과해야 한다. 종이에서 연필을 들지 않고도 닫힌 간격으로 연속함수의 그래프를 그릴 수 있다는 생각을 나타낸다.

정리

중간값 정리는 다음과 같이 기술한다.

실제 숫자 $\mathbb {R}$ ${\$ 의 $I = [a,b]$ 구간 $I=[a,b]$ = $I=[a,b]$ [ $a,b]}$ 과 $\mathbb {R}$ (와) 연속 $f\colon I\to \mathbb {R}$ f : $f\colon I\to \mathbb {R}$ I $f\colon I\to \mathbb {R}$ → $f\colon I\to \mathbb {R}$ ${\$ 을(를) 고려하십시오 $f\colon I\to \mathbb {R}$ 그런 다음,

버전 I. $u$ $u$ 이( $f(a)$ ) $f(a)$ ( $f(a)$ ) $f(a)$ 과 $f(a)$ $f(b)$ ) $f(b)$ 사이의 숫자인 $u$ 경우 $f(b)$ 즉, ${\displaystyle \min(f)(a),f(b)<u>.$ $f(c)=u$ 다음, f $f(c)=u$ ( $f(c)=u$ ) $f(c)=u$ = $c\in (a,b)$ $u (\displaystyle c\$ $in (a,$ $b)}$ 과 $c\in (a,b)$ 같은 $c\in (a,b)$ $c\in (a,b)$ $c\in (a,b)$ 가 있다 $f(c)=u$
버전 $f(I)$ . 이미지 세트 $f(I)$ ( I $f(I)$ ) $f(I)$ 도 간격이며 $f(I)$ ${\bigl [}\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b)){\bigr ]}$ [ ${\bigl [}\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b)){\bigr ]}$ ( ${\bigl [}\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b)){\bigr ]}$ ) ${\bigl [}\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b)){\bigr ]}$ , ${\bigl [}\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b)){\bigr ]}$ ( ${\bigl [}\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b)){\bigr ]}$ ) ${\bigl [}\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b)){\bigr ]}$ , ${\bigl [}\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b)){\bigr ]}$ ( ${\bigl [}\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b)){\bigr ]}$ ( ${\bigl [}\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b)){\bigr ]}$ ) ${\bigl [}\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b)){\bigr ]}$ , f ( ) , ${\bigl [}\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b)){\bigr ]}$ ( ${\bigl [}\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b)){\bigr ]}$ ) ${\bigl [}\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b)){\bigr ]}$ {\ $displaystyle {\bigl[}\bigl[},f(b)],\max(f)(a$ ), $f)($ b){ $b$ ]}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}을 포함한다.

비고: 버전 II에는 함수 값 집합에 공백이 없다고 명시되어 있다. 두 기능 값 $c<d$ < $c<d$ $c<d$ 에 대해 $c<d$ $f(a)$ 이 f $f(a)$ ( $f(a)$ ) $f(a)$ {\ $displaystyle f(a)}$ 과 $f(a)$ $f(b)$ $f(b)$ $){\displaystyle$ $f(b)}$ 사이의 간격을 벗어나더라도 $f(b)$ 해당 간격의 모든 점 ${\bigl [}c,d{\bigr ]}$ [ $,$ 도 함수 값이다 ${\bigl [}c,d{\bigr ]}$ .

{\bigl [}c,d{\bigr ]}\subseteq f(I)

{\bigl [}c,d{\bigr ]}\subseteq f(I)

,

{\bigl [}c,d{\bigr ]}\subseteq f(I)

{\bigl [}c,d{\bigr ]}\subseteq f(I)

{\bigl [}c,d{\bigr ]}\subseteq f(I)

{\bigl [}c,d{\bigr ]}\subseteq f(I)

(

{\bigl [}c,d{\bigr ]}\subseteq f(I)

)

{\displaystyle {\bigl [}c,d{\bigr ]}\subseteq f(I

내부 공백이 없는 실수의 하위 집합은 구간이다. 버전 1은 당연히 버전 II에 포함되어 있다.

완전성과의 관계

정리는 실수의 완전성에 따라 달라지며 그에 상당한다. 중간값 정리는 합리적인 숫자 Q에 적용되지 않는다. 이성적인 숫자 사이에 간격이 존재하기 때문이다; 비합리적인 숫자가 그 간극을 채운다. For example, the function $f(x)=x^{2}-2$ for $x\in \mathbb {Q}$ satisfies $f(0)=-2$ and $f(2)=2$ . However, there is no rational number $x$ such that ${\displaystyl$ $e f(x)=0$ ${\sqrt {2}}$ ${\$ 이(가) 비합리적인 숫자이기 ${\sqrt {2}}$ 때문이다.

증명

정리는 다음과 같이 실수의 완전성 속성의 결과로 증명될 수 있다.^[2]

우리는 첫 번째 사례인 $f(a)<u<f(b)$ < $f(a)<u<f(b)$ < $f(a)<u<f(b)$ < $f(a)<u<f(b)$ $f <a><u<f(b)$ 를 증명할 것이다 $f(a)<u<f(b)$ 두 번째 경우도 비슷하다.

$S$ $S$ 을(를) 모든 $x\in [a,b]$ $x\in [a,b]$ [ a $, b$ 의 집합으로 $S$ $f$ ( $f(x)\leq u$ $u$ {\ $displaystyle$ $x\in [a,b]$ f(x)\ $leq$ u $x\in [a,b]$ $f(x)\leq u$ $그러면$ $S$ ${\$ $displaystyle$ $s$ $}$ 이(가) $S$ $s$ 의 요소이므로 $a$ S $S$ 이(가 $S$ 비어 $S$ 있지 않고 $b$ ${\displaystyle b$ 에 의해 위에 경계되므로 $S$ 완전성에 의해 supremeum $c=\sup S$ = $c=\sup S$ ${\displaystyc=\sup S}$ 가 존재한다 $c=\sup S$ . 즉, $c$ $c$ 은 $c$ (는) $S$ $S$ 의 모든 멤버보다 크거나 같은 가장 작은 수입니다 $S$ $f(c)=u$ 는 f $f(c)=u$ ( $f(c)=u$ ) $f(c)=u$ = $f(c)=u$ $f(c)=u$ 라고 주장한다 $f(c)=u$

Fix some $\varepsilon >0$ . Since $f$ is continuous, there is a $\delta >0$ such that $f(x)-f(c) <\varepsilon$ whenever $x-c <\delta$ . This means that

f(x)-\varepsilon <f(c)><f(x)+\varepsilon

모든 $x\in (c-\delta ,c+\delta )$ $x\in (c-\delta ,c+\delta )$ $x\in (c-\delta ,c+\delta )$ - $x\in (c-\delta ,c+\delta )$ , $x\in (c-\delta ,c+\delta )$ + $x\in (c-\delta ,c+\delta )$ ) ${\displaystyle x\in (c-$ $a^{*}\in (c-\delta ,c]$ $delta$ $a^{*}\in (c-\delta ,c]$ $,$ $a^{*}\in (c-\delta ,c]$ $delta$ $x\in (c-\delta ,c+\delta )$ 이 슈프리덤의 속성에 따르면 $S$ $S$ { ${\\$ $displaystyle a^{*}\in (c-\delta ,c])$ 에 포함된 $a^{*}\in (c-\delta ,c]$ $a^{*}\in (c-\delta ,c]$ \ $displaystyleasesty so.$

f(c)<f(a^{*})+\varepsilon \leq u+\varepsilon

(

f(c)<f(a^{*})+\varepsilon \leq u+\varepsilon

)

f(c)<f(a^{*})+\varepsilon \leq u+\varepsilon

<

f(c)<f(a^{*})+\varepsilon \leq u+\varepsilon

(

f(c)<f(a^{*})+\varepsilon \leq u+\varepsilon

)

f(c)<f(a^{*})+\varepsilon \leq u+\varepsilon

+

f(c)<f(a^{*})+\varepsilon \leq u+\varepsilon

+ ε u u

f(c)<f(a^{*})+\varepsilon \leq u+\varepsilon

+

f(c)<f(a^{*})+\varepsilon \leq u+\varepsilon

{\displaystyle f(c)<f(a^{*}})+\varepsilon \leq

u

+\varepsilon

$a^{**}\in (c,c+\delta )$ $a^{**}\in (c,c+\delta )$ ( $a^{**}\in (c,c+\delta )$ c $a^{**}\in (c,c+\delta )$ + $a^{**}\in (c,c+\delta )$ ) ${\displaystyle$ a $^{**}\in (c,c+\delta$ $a^{**}\in (c,c+\delta )$ 을 선택하면, c{\ $displaystyle c$ }이 $c$ ( $가$ ) S ${\displaystystyle$ s}의 $우월성$ 이기 때문에 because $a^{**}\not \in S$ $S$ $\$ \ $a^{**}\not \in S$ $a^{**}\not \in S$ $∉{*}\$ in S ${\$ s $}\$ displaystypaystypaystyption $styption$ styptionstyption $a^{**}\not \in S$ }\down s}\daystytime \}\

f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \ >u-\varepsilon

(

f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \ >u-\varepsilon

)

f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \ >u-\varepsilon

> f (

f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \ >u-\varepsilon

f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \ >u-\varepsilon

) -

f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \ >u-\varepsilon

>

f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \ >u-\varepsilon

-

f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \ >u-\varepsilon

u - u -

f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \ >u-\varepsilon

{\displaystyle f(c)}f(a^{***})-\varepsilon

\ >

u-\varepsilon

f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \ >u-\varepsilon

두 불평등

u-\varepsilon u-\varepsilon }

$\varepsilon >0$ > $\varepsilon >0$ $\varepsilon >0$ 에 유효하며 $\varepsilon >0$ 여기서 $f(c)=u$ $f(c)=u$ ) $f(c)=u$ = $f(c)=u$ $f(c)=u$ 을(를) 유일한 가능한 값으로 $f(c)=u$ 추론한다.

비고: 중간값 정리는 또한 비표준 분석 방법을 사용하여 증명될 수 있다. 비표준 분석은 인피니티멘탈을 포함하는 "직관적" 주장을 엄격한 기준으로 배치한다.^[3]

역사

이 정리는 1817년 베르나르 볼자노에 의해 처음 증명되었다. 볼자노는 다음과 같은 정리의 제형을 사용했다.^[4]

Let $f,\phi$ be continuous functions on the interval between $\alpha$ and $\beta$ such that $f(\alpha )<\phi (\alpha )$ and $f(\beta )>\phi (\beta )$ . 그런 다음 $\alpha$ $\alpha$ 과 $\alpha$ (와) $\beta$ $\beta$ 사이에 $x$ $f(x)=\phi (x)$ ( $f(x)=\phi (x)$ $f(x)=\phi (x)$ = $f(x)=\phi (x)$ ( $f(x)=\phi (x)$ ) $f(x)=\phi (x)$ 과 $\beta$ 같은 x ${\displaystystystyle$ x}이 있다 $f(x)=\phi (x)$

이 공식과 현대의 공식 사이의 동등성은 $\phi$ $\pi$ 을(를) 적절한 상수 함수로 $\phi$ 설정하여 나타낼 수 있다. 아우구스틴루이 코치는 1821년에 현대적인 제형과 증거를 제공했다.^[5] 둘 다 함수의 분석과 조셉-루이 라그랑주의 작업을 공식화하려는 목표에서 영감을 받았다. 연속적인 기능이 중간 가치 속성을 소유한다는 생각은 더 일찍부터 기원을 두고 있다. 사이먼 스테빈은 용액의 십진 확장 구성을 위한 알고리즘을 제공함으로써 다항식(입방체를 예로 들어 사용)에 대한 중간값 정리를 증명했다. 알고리즘은 반복적으로 간격을 10부분으로 세분화하여 반복의 각 단계에서 소수 자릿수를 추가로 생성한다.^[6] 연속성의 공식적 정의가 주어지기 전에, 중간값 속성은 연속함수의 정의의 일부로 주어졌다. 지지자는 루이 Arbogast를 포함한다. 이들은 기능이 점프를 하지 않고 중간 값 속성을 만족하며 변수의 증분 크기에 해당하는 증분을 가지고 있다.^[7] 초기의 저자들은 그 결과가 직관적으로 명백하고 증거가 필요하지 않다고 생각했다. 볼자노와 카우치의 통찰은 일반적인 연속성 개념을 정의하고(카우치 사례의 Infiniteimals와 볼자노 사례의 실제 불평등을 이용하는) 그러한 정의에 근거한 증거를 제공하는 것이었다.

일반화

중간값 정리는 연결성의 위상학적 개념과 밀접하게 연결되어 있으며, 특히 R의 연결된 부분 집합과 연결된 부분 집합의 기본 속성에서 다음과 같이 한다.

$X$ $X$ $Y$ Y ${\$ $displaystyle$ $Y}$ 이 $Y$ (가) 메트릭스페이스인 $f\colon X\to Y$ f $f\colon X\to Y$ : $f\colon X\to Y$ → Y ${\displaystyle$ f $\colon$ X $\to$ Y $}$ 이(가) 연속 맵이고 $f\colon X\to Y$ , $E\subset X$ X $E\subset X$ {\ $displaysty$ $f(E)$ $E\subset$ X}이 $E\subset X$ $연결$ 된 서브셋인 경우 f (E $)$ 가 연결된다 $f(E)$ $.$ (*)
$x,y\in E,\ x<r<y\implies r\in E$ 집합 $E\subset \mathbb {R}$ $x,y\in E,\ x<r<y\implies r\in E$ $E\subset \mathbb {R}$ R ${\$ { $R}이($ 가) $x,y\in E,\ x<r<y\implies r\in E$ 속성을 충족하는 경우에만 $x,y\in E,\ x<r<y\implies r\in E$ 됨 $x,y\in E,\ x<r<y\implies r\in E$ x $x,y\in E,\ x<r<y\implies r\in E$ y $x,y\in E,\ x<r<y\implies r\in E$ E, $x,y\in E,\ x<r<y\implies r\in E$ < $x,y\in E,\ x<r<y\implies r\in E$ < $x,y\in E,\ x<r<y\implies r\in E$ $x,y\in E,\ x<r<y\implies r\in E$ $x,y\in E,\ x<r<y\implies r\in E$ $x,y\in E,\ x<r<y\implies r\in E$ ${\displaystyle x,y\in E,\r<y\implies r$ . (**)

사실 연결성은 위상학적 특성이며 (*) 위상학적 공간에 일반화된다. $f\colon X\to Y$ $X$ 및 $Y$ $Y$ 이 $X$ $Y$ (가) 위상학적 공간이고, $f\colon X\to Y$ : $f\colon X\to Y$ → Y ${\displaystyle$ f $\colon$ X $\to Y}$ 이(가) 연속적인 공간이고 $f\colon X\to Y$ , $X$ ${\$ $displaystystyle$ $X}$ 이 $X$ 연결된 공간이라면 f $f(X)$ ( $X)$ 가 연결된다 $f(X)$ $.$ 연속 지도의 연결성 보전은 실제 변수의 실제 가치 함수의 속성인 중간값 정리를 일반 공간의 연속적 함수로 일반화한 것으로 생각할 수 있다.

앞에서 설명한 중간값 정리의 첫 번째 버전을 회수한다.

중간값 정리 (버전 I) — :나는 R{\displaystyle f\colon I\to \mathbb{R}→}. 그럼 만약 너{\displaystyle u}은 진짜 번호가분(f(를), f(b))<>;<>max(f(를), f(b. 나는 실제 숫자로[a, b]{I=[a,b]\displaystyle}정도 폐쇄된 간격}{\displaystyle \mathbb{R}R과 연속 함수 f를 고려하라)) ${\displaystyle \min(f)(a),f($ b)< $u<\max$ $c\in (a,b)$ $f$ $c\in (a,b)$ $a),f(b)},$ f $($ b)}, $f(c)=u$ = $(\displaystyle f(c)=u}$ 과 같은 $c\in (a,b)$ $c\in (a,b)$ $)$ 가 존재한다 $f(c)=u$

중간값 정리는 다음과 같은 연결성의 두 가지 성질의 즉각적인 결과물이다.^[8]

증명

(***)까지 I = $I=[a,b]$ [ $I=[a,b]$ a , $I=[a,b]$ ${\displaystyle I=[$ a, $b]}은($ 는) 연결된 집합이다 $I=[a,b]$ . (*)로부터 영상 $f(I)$ ( $f(I)$ ) ${\디스플레이$ 스타일 f $(I)}$ 도 연결된다 $f(I)$ $f(a)<f(b)$ 를 위해 $f(a)<f(b)$ ( $f(a)<f(b)$ ) $f(a)<f(b)$ < $f(a)<f(b)$ ( b $f(a)<f(b)$ ) $f(a)}<f(b)$ 을(를) 가정해 보십시오 $f(a)<f(b)$ 그리고 다시 한번 유엔 헌장(**), f(를)<>;<>이름(b){\displaystyle f(를)<, u<, f(b)}을 시사하는 것은 너 ∈ f(나는){\displaystyle u\in f(나는)}, 또는 f(c))u{\displaystyle f(c)=u}을 위한 c∈ 나는{\displaystyle c\in 나는}. u ≠ f(를), f(b){\displaystyle u\neq f(를),f(b)}, c∈(a, b){\displ.aystyle c\ $(a,b)}$ 에서 실제로 보류해야 하며 $c\in (a,b)$ , 원하는 결론은 다음과 같다. $f(b)<f(a)$ ( $f(b)<f(a)$ ) $f(b)<f(a)$ < $f(b)<f(a)$ ( $f(b)<f(a)$ ) $f(b)<f(a)$ 그래서 우리는 끝장이다. Q.E.D.

중간값 정리는 자연스럽게 일반화된다:X는 연결된 위상학적 공간이고 (Y, <)는 순서 위상이 갖춰진 완전 순서 집합이며, f : X → Y는 연속 지도가 된다고 가정한다. a와 b가 X에서 두 점이고 u가 <에 관해서 f(a)와 f(b) 사이에 놓여 있는 Y의 점이라면, X에는 f(c) = u와 같은 c가 존재한다. 원래의 정리는 R이 연결되어 있고 그 자연적인 위상이 순서 위상이라는 점에 주목함으로써 회복된다.

브루워 고정점 정리는 한 차원에서는 중간값 정리의 특별한 경우를 주는 관련 정리다.

컨버스는 거짓이다.

Darboux 함수는 "중간 값 속성", 즉, 중간 값 정리의 결론을 만족하는 실제 값 함수 f이다. f의 영역에서 a와 b의 어떤 두 값과 f(a)와 f(b) 사이의 y에 대해서는 a와 b 사이에 f(c) = y가 있는 일부 c가 있다. 중간값 정리는 모든 연속함수가 다르복스함수라고 말한다. 그러나 모든 Darboux 함수가 연속적인 것은 아니다. 즉, 중간값 정리의 역은 거짓이다.

예를 들어 f(x) = x > 0과 f(0) = 0에 대해 f(x) = sin(1/x) = 0으로 정의된 f : [0, ,) → [-1, 1] 함수를 예로 들어보자. 이 함수는 x(x)의 한계가 0에 존재하지 않는 경향이 있지만, 함수는 중간 값 속성을 가지고 있기 때문에 x = 0에서 연속되지 않는다. 또 다른 더 복잡한 예는 콘웨이 베이스 13 함수에 의해 제시된다.

실제로 다르부스의 정리에서는 어떤 간격에 있어서 어떤 다른 기능의 분화에서 비롯되는 모든 기능이 중간값 속성을 가지고 있다고 기술하고 있다(연속적일 필요가 없음에도 불구하고).

역사적으로, 이 중간 가치 속성은 실제 가치 함수의 연속성을 위한 정의로 제안되어 왔으며,^[9] 이 정의는 채택되지 않았다.

실용적 응용

비슷한 결과가 보르수크-보르수크다.울람 정리: $n$ $n$ $n$ 에서 $n$ 유클리드 n $n$ -space에 $n$ 이르는 연속적인 지도가 항상 몇 쌍의 반향점을 같은 장소에 매핑한다고 한다.

1차원 케이스에 대한 증거

원의 연속적인 기능이 되려면 $f$ $f$ $f$ 을(를) 사용하십시오. 원의 중심을 통과하여 선을 그어 반대편 $A$ $A$ 과 $A$ B{\ $displaystyle B}$ 에서 교차한다 $B$ $d$ ${\$ $displaystyle d}$ 을 $f(A)-f(B)$ ( $A$ ) $f(A)-f(B)$ - $f(A)-f(B)$ $B$ )로 $d$ 정의한다 $f(A)-f(B)$ 선이 180도 회전하면 값 -d를 대신 얻는다. 중간값 정리 때문에 d = 0인 중간 회전각이 있어야 하며, 그 결과 이 각도에서 f(A) = f(B)가 되어야 한다.

일반적으로, 어떤 폐쇄형 $볼록$ n{\ $displaystyle n$ }차원 $n$ 형태와 형태 내부의 어떤 점(필수 중심은 아님)인 연속 기능에 대해, 기능 값이 동일한 주어진 점에 대해 두 개의 항정신병 점이 존재한다.

이 정리는 흔들거리는 테이블을 회전시키면 왜 안정(쉽게 충족되는 특정 제약조건에 따라)이 되는지에 대한 설명도 뒷받침한다.^[10]

참고 항목

평균값 정리 – 끝점을 통과하는 선과 평행한 호에 접선이 있는 경우
비원자측도
털이 많은 공 정리 – 짝수차원 구에는 0이 아닌 연속 접선 벡터장이 없다.

참조

^ Weisstein, Eric W. "Bolzano's Theorem". MathWorld.
^ 본질적으로 다음과 같다.
^ Sanders, Sam (2017). "Nonstandard Analysis and Constructivism!". arXiv:1704.00281 [math.LO].
^ Russ, S.B. (1980). "A translation of Bolzano's paper on the intermediate value theorem". Historia Mathematica. 7 (2): 156–185. doi:10.1016/0315-0860(80)90036-1.
^ Grabiner, Judith V. (March 1983). "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus" (PDF). The American Mathematical Monthly. 90 (3): 185–194. doi:10.2307/2975545. JSTOR 2975545.
^ 카린 우사디 카츠와 미하일 G. 카츠(2011) 현대 수학의 명목론적 경향과 그 역사학에 대한 버제스식 비평. 과학의 기초. doi:10.1007/s10699-011-9223-1 링크 참조
^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Intermediate value theorem", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
^ Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. pp. 42, 93. ISBN 978-0-07-054235-8.
^ Smorynski, Craig (2017-04-07). MVT: A Most Valuable Theorem. Springer. ISBN 9783319529561.
^ 키스 데블린(2007) 흔들리는 테이블을 안정시키는 방법

외부 링크

ProofWiki에서의 중간값 정리
중간값 정리 - 컷더코트에서의 볼자노 정리
볼차노의 정리: 훌리오 세자르 데 라 은세라, 울프람 데모 프로젝트.
Weisstein, Eric W. "Intermediate Value Theorem". MathWorld.
Belk, Jim (January 2, 2012). "Two-dimensional version of the Intermediate Value Theorem". Stack Exchange.
Mizar 시스템 증명: http://mizar.org/version/current/html/topreal5.html#T4

[1] Weisstein, Eric W. "Bolzano's Theorem". MathWorld.

[2] 본질적으로 다음과 같다.

[3] Sanders, Sam (2017). "Nonstandard Analysis and Constructivism!". arXiv:1704.00281 [math.LO].

[4] Russ, S.B. (1980). "A translation of Bolzano's paper on the intermediate value theorem". Historia Mathematica. 7 (2): 156–185. doi:10.1016/0315-0860(80)90036-1.

[grabiner-5] Grabiner, Judith V. (March 1983). "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus" (PDF). The American Mathematical Monthly. 90 (3): 185–194. doi:10.2307/2975545. JSTOR 2975545.

[6] 카린 우사디 카츠와 미하일 G. 카츠(2011) 현대 수학의 명목론적 경향과 그 역사학에 대한 버제스식 비평. 과학의 기초. doi:10.1007/s10699-011-9223-1 링크 참조

[7] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Intermediate value theorem", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews

[8] Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. pp. 42, 93. ISBN 978-0-07-054235-8.

[9] Smorynski, Craig (2017-04-07). MVT: A Most Valuable Theorem. Springer. ISBN 9783319529561.

[10] 키스 데블린(2007) 흔들리는 테이블을 안정시키는 방법

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

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