상관(투영 기하학)

투영 기하학에서 상관관계란 치수 k의 하위공간을 치수 d - k - 1의 하위공간으로 매핑하여 포함을 역전시키고 발생률을 보존하는 d차원 투영공간을 변환하는 것이다.상관관계를 호혜성 또는 호혜적 변환이라고도 한다.

2차원으로

실제 투영면에서 점과 선은 서로 이중적이다.콕시터가 표현했듯이

상관관계란 이중성의 원리에 따라 발생의 관계를 보존하는 점 대 점 변환과 선 대 점 변환을 말한다.그래서 그것은 범위를 연필로, 연필로 범위를, 사분오열로 변환한다.^[1]

m에 없는 선 m과 P에 대해, m의 모든 Q에 대해 선 PQ를 형성하는 것과 같은 기본적인 상관관계를 얻는다.역상관은 P에 연필로 시작한다: 이 연필의 모든 선 q에 대해 점 m q q를 취한다.같은 연필을 공유하는 두 개의 상관관계의 구성은 관점이다.

3차원으로

3차원 투영 공간에서 상관관계는 한 점을 평면에 매핑한다.한 교과서에 기술된 바와 같이:^[2]

만일 κ이 그러한 상관관계라면, point에 의해 모든 P점이 평면 =κ = intoP로 변형되고, 반대로 모든 P점은 역변환 κ에⁻¹ 의해 고유한 평면 π′에서 발생한다.

또한 3차원 상관관계는 선을 선으로 변환하기 때문에 두 공간의 선으로 간주할 수 있다.

더 높은 차원으로

일반적인 n차원 투영 공간에서는 상관관계가 하이퍼플레인(hyperplane)을 가리킨다.이 문맥은 폴 예일에 의해 설명되었다.

투영 공간 P(V)의 상관관계는 P(V)의 적절한 하위 공간의 포함 역전 순열이다.^[3]

그는 상관관계 φ interchanges와 intersections를 명시하는 정리를 증명하며, P(V)의 어떤 투영적 아공간 W에 대해서도, φ에 따른 W 이미지의 치수는 (n - 1) - dim W이며, 여기서 n은 투영 공간 P(V)를 생성하는 데 사용되는 벡터 공간 V의 치수다.

상관관계의 존재

공간은 스스로 이중화해야 상관관계가 존재할 수 있다.치수 3 이상에서는 자가 이중성을 테스트하기 쉽다.스큐필드가 정반대로 이형화되지 않은 경우에만 스큐필드를 조정하고 자기 이중화가 실패한다.

특수 상관 관계 유형

극성

상관관계 φ이 비자발적(즉, 상관관계의 두 가지 적용이 φ²(P) = 모든 점 P에 대한 P)이라면 극성이라고 한다.투사 공간의 극성은 극성으로 이어지며, 극성은 극성 아래 이미지에 포함된 모든 하위 공간의 컬렉션을 취함으로써 정의된다.

자연상관

There is a natural correlation induced between a projective space P(V) and its dual P(V^∗) by the natural pairing ⟨⋅,⋅⟩ between the underlying vector spaces V and its dual V^∗, where every subspace W of V^∗ is mapped to its orthogonal complement W^⊥ in V, defined as W^⊥ = {v ∈ V ⟨w, v⟩ = 0, ∀w ∈ W}.^[4]

반선형 지도에 의해 유도된 투영공간의 이등형성으로 이 자연적 상관관계를 구성하면 그 자체로 P(V)의 상관관계가 생성된다.이와 같이 모든 비퇴행 반선형 지도 V → V는^∗ 투사적 공간의 상관관계를 자신에게 유도한다.

참조

• Robert J. Bumcroft (1969), Modern Projective Geometry, Holt, Rinehart, and Winston, Chapter 4.5 Correlations p. 90
• Robert A. Rosenbaum (1963), Introduction to Projective Geometry and Modern Algebra, Addison-Wesley, p. 198