연필(지오메트리)

기하학에서 연필은 예를 들어 평면에서 주어진 점을 통과하는 선들의 집합 또는 평면에서 주어진 두 점을 통과하는 원의 집합과 같은 공통성을 가진 기하학적 물체의 집합이다.

연필의 정의는 다소 모호하지만, 공통적인 특징은 연필이 그 구성원 중 어느 두 사람에 의해서도 완전히 결정된다는 것이다.유사하게, 그 구성원의 세 사람 중 어느 한 사람이 결정하는 기하학적 물체 세트를 묶음이라고 한다.^[1]따라서 3공간의 한 점을 통과하는 모든 선의 집합은 선들의 묶음이며, 그 중 어느 두 개라도 선들의 연필을 결정하게 된다.그런 연필의 2차원적 성질을 강조하기 위해 평면 연필이라고 부르기도 한다.^[2]

어떤 기하학적 물체라도 연필로 쓸 수 있다.일반적인 것은 선, 평면, 원, 원뿔, 구, 일반 곡선이다.짝수 포인트를 사용할 수 있다.점의 연필은 주어진 선에 있는 모든 점의 집합이다.^[1]이 집합에서 더 일반적인 용어는 점 범위다.

선 연필

평면에서는 u와 v를 서로 다른 두 개의 교차선이 되게 한다.구체성의 경우, u에 aX + bY + c = 0, v에 'X + b'Y + c′ = 0 등식이 있다고 가정한다.그러면

λu + μv = 0,

적절한 스칼라 λ과 μ의 경우 u = 0과 v = 0의 교차점을 통과하는 모든 선을 나타낸다.공통점을 통과하는 이 선셋트를 선 연필이라고 한다.^[3]선 연필의 공통점을 연필의 꼭지점이라고 한다.

평행성의 반사적 변형이 있는 아핀 평면에서, 일련의 평행선은 평행선의 연필이라고 불리는 등가 등급을 형성한다.^[4]이 용어는 부속 평면을 투사 평면으로의 독특한 투사적 확장에서는 평행선의 연필에서 각 선에 하나의 점(무한의 점)이 추가되어 투사 평면에서 위의 의미에서의 연필이 되기 때문에 위의 정의와 일치한다.

펜슬 오브 플레인즈

평면의 연필은 연필의 축이라고 불리는 3공간의 주어진 직선을 통과하는 평면의 집합이다.연필은 축연필이나^[5] 평면의 부채 또는 평면의 한 단으로 언급되기도 한다.^[6]예를 들어 지구의 경맥은 지구의 자전축에 있는 평면의 연필로 정의된다.

교차하는 두 평면이 3공간에서 일직선으로 만나며, 따라서 축과 연필의 모든 평면을 결정한다.

고차원 공간에서, 하이퍼플레인의 연필은 코디네이션 2의 하위 공간을 포함하는 모든 하이퍼플레인으로 구성된다.그러한 연필은 그 구성원 중 어느 두 명이든 결정한다.

동그라미

평면에 있는 어느 두 원도 공통적인 급진축을 가지고 있는데, 이것은 두 원과 관련하여 같은 힘을 가진 모든 점들로 구성된 선이다.원의 연필(또는 동축계)은 같은 급진축을 가진 평면에 있는 모든 원의 집합이다.^[7]포괄적으로 말하자면, 동심원은 그 선을 과격한 축으로서 무한에 있다고 한다.

원형의 연필은 다섯 종류가 있는데,^[8] 위의 일러스트에 있는 아폴로니아 서클의 두 가문은 그 중 두 가지를 상징한다.각각의 유형은 연필의 생성기라고 불리는 두 개의 원들에 의해 결정된다.대수적으로 설명하면 방정식이 가상의 해답을 인정할 수도 있다.유형은 다음과 같다.

• 타원형 연필(그림의 빨간색 원 계열)은 정확히 두 지점에서 서로를 통과하는 두 개의 생성기에 의해 정의된다.타원형 연필의 모든 원은 같은 두 점을 통과한다.타원형 연필은 상상의 원을 포함하지 않는다.
• 쌍곡 연필(그림의 파란색 원 계열)은 어느 지점에서 서로 교차하지 않는 두 개의 생성기에 의해 정의된다.실제 원, 상상의 원, 연필의 폰셀렛 포인트라고 불리는 두 개의 퇴보한 점 원을 포함한다.평면의 각 점은 정확히 연필의 원 하나에 속한다.
• 포물선 연필(제한 케이스로서)은 두 개의 생성 원이 한 지점에서 서로 접하는 곳에서 정의된다.그것은 모두 하나의 공통점에서 서로 접하는, 실재계의 한 가족으로 구성되어 있다.그 지점에서 반지름이 0인 퇴행 원도 연필에 속한다.
• 공통의 중심을 중심으로 한 동심원 계열(다른 점이 무한의 점인 쌍곡연필의 특수한 경우로 간주할 수 있다).
• 공통점을 통과하는 직선의 가족; 이것들은 모두 무한의 지점을 통과하는 원으로 해석되어야 한다(타원형 연필의 특별한 경우로 간주될 수 있다).^[9][10]

특성.

두 개의 고정 원과 직교하는 원은 그들이 결정하는 연필의 모든 원과 직교한다.^[11]

두 개의 고정된 원과 직교하는 원은 원의 연필을 형성한다.^[11]

두 개의 원은 연필이 들어 있는 독특한 연필과 그 연필과 직교하는 원의 연필인 두 개의 연필을 결정한다.한 연필의 급진적인 축은 다른 연필의 원의 중심들로 구성되어 있다.한 연필이 타원형이라면 다른 연필은 쌍곡형이고 그 반대도 쌍곡형이다.^[11]

무한 반지름 원으로 해석되는 원 연필의 급진적인 축은 연필에 속한다.세 쌍의 원은 세 쌍이 모두 같은 급진축을 공유하고 그 중심부가 일직선으로 될 때마다 공통 연필에 속한다.

원형의 투영 공간

평면에는 원과 3차원 투영 공간의 점 사이에 자연적으로 일치하는 점이 있다. 이 공간의 선은 1차원 연속 원과 일치하므로, 이 공간의 점 연필은 평면에서 원의 연필이다.

특히, 반지름 r의 원의 방정식은 한 점을 중심으로 한다(p,q,

${\displaystyle (x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2},}$

로 다시 쓰일 수 있다.

${\displaystyle \property(x^{2}+y^{2})-2\properties x-2\put y+\properties =0,}$

여기서 α = 1, β = p, β = q², Δ = p + q² - r².이 형태에서 4중(α,β, Δ)을 스칼라에 곱하면 동일한 원을 나타내는 다른 4중(4중)이 생성되므로, 이러한 4중(중)은 원의 공간에 대한 균일한 좌표로 간주될 수 있다.^[12]직선은 또한 α = 0인 이 형식의 방정식으로 나타낼 수 있으며 원의 퇴행형이라고 생각해야 한다.α ≠ 0일 때, p = β/α, q = =/α, r = √(p² + q² - Δ/α)에 대해 해결할 수 있다. 후자 공식은 r = 0(이 경우 원이 점으로 퇴보하는 경우) 또는 r(이 경우 4중(α, β, Δ)은 상상의 원을 나타낸다고 한다.

두 원(α₁₂,β₁₁₂,³, Δ₁₂₂)의 아핀 조합 집합, 즉 4중으로 대표되는 원 집합

${\displaystyle z(\displaystyle z)(\displaystyle _{1},\display _{1},\display _{1},\display _{1})$

매개변수 z의 어떤 값을 위해 연필을 형성한다. 두 원은 연필의 생성자가 된다.

동그라미 연필 봉투처럼 심근 강화제

또 다른 형태의 원 연필은 다음과 같이 얻을 수 있다.주어진 원(발전기 원이라고 함)과 발전기 원의 구별점 P를 고려한다.P를 통과하고 발전기 원을 중심으로 한 모든 원의 집합이 원의 연필을 형성한다.이 연필의 봉투는 흉부외과다.

구의 연필

구체는 일렬이 아닌 4개의 점들에 의해 독특하게 결정된다.보다 일반적으로 구체는 점을 통과하는 것, 평면에 접하는 것 등 네 가지 조건에 의해 독특하게 결정된다.^[13]이 속성은 세 개의 비협착 지점이 평면에서 고유한 원을 결정하는 속성과 유사하다.

결과적으로 구체는 원과 해당 원의 평면에 없는 점에 의해 독특하게 결정된다.

두 구의 방정식의 공통적인 해답을 조사함으로써 두 개의 구가 원형으로 교차하고 그 원을 포함하는 평면을 교차하는 구들의 급진적인 평면이라고 하는 것을 알 수 있다.^[14]비록 급진적인 평면이 실제 평면이지만, 원은 상상적인 것일 수도 있고(구들은 실제 공통점이 없다) 단일 점으로 구성될 수도 있다(구들은 그 점에서 접선된다).^[15]

f(x, y, z) = 0과 g(x, y, z) = 0이 두 개의 구별되는 구들의 방정식이라면,

${\displaystyle \lambda f(x,y,z)+\mu g(x,y,z)=0}$

또한 매개변수 μ와 μ의 임의 값에 대한 구의 방정식이다.이 방정식을 만족하는 모든 구들의 집합을 원래 두 구에 의해 결정되는 구들의 연필이라고 한다.이 정의에서 구체는 평면(무한 반지름, 무한의 중심)이 될 수 있도록 허용되며, 두 개의 원래 구가 모두 평면이라면 연필의 모든 구들은 평면이며, 그렇지 않으면 연필에는 하나의 평면(급진 평면)만 있다.^[16]

만약 구의 연필이 모든 평면으로 구성되지 않는다면, 다음과 같은 세 가지 종류의 연필이 있다.^[15]

• 만약 구들이 실제 원 C에서 교차한다면, 연필은 급진적인 평면을 포함하여 C를 포함하는 모든 구들로 구성된다.연필 속에 있는 모든 평범한 구의 중심은 C의 중심을 통과하는 선에 놓여 있고 과격면에 수직이다.
• 만약 구들이 상상의 원을 그리며 교차한다면, 연필의 모든 구들도 이 상상의 원을 통과하지만, 그들은 보통의 구로서 분리된다(공통적으로 실질적인 점은 없다).중심선은 과격면에 수직이며, 이는 상상의 원이 들어 있는 연필 속의 실제 평면이다.
• 만약 구들이 A 지점에서 교차한다면, 연필 속의 모든 구들은 A에서 접하고 급진면은 이 모든 구들의 공통 접선면이다.중심선은 A의 급진면에 수직이다.

급진 평면의 고정점에서 연필의 구까지의 모든 접선선은 길이가 같다.^[15]

급진적인 평면은 연필로 모든 구와 직교하는 모든 구들의 중심부의 중심점이다.게다가, 구 연필의 어떤 두 개의 구와 직교하는 구는 그 모든 구와 직교하고 그것의 중심은 연필의 급진적인 면에 있다.^[15]

원뿔 연필

A(비퇴행) 원뿔은 평면에서 일반 위치(콜린어 3개 없음)에서 5개 점으로 완전히 결정되며, 4개 점의 고정 세트를 통과하는 원뿔 시스템을 원뿔의 연필이라고 한다.^[17]이 네 가지 공통점은 연필의 기본점이라고 불린다.기준점 이외의 어떤 지점을 통해서도 연필의 원뿔 하나가 통과한다.이 개념은 원의 연필을 일반화한다.

대수적으로 닫힌 영역에 걸쳐 정의한 투영 평면에서 두 개의 원뿔이 4개의 점(다중성으로 계산됨)에서 만나므로, 이 4개의 점에 기초하여 원뿔의 연필을 결정한다.또한, 4개의 기준점은 3개의 선 쌍(기본점을 통해 원뿔을 제거함, 정확히 2개의 기준점을 포함하는 쌍의 각 선)을 결정하므로 원뿔의 각 연필은 최대 3개의 퇴행 원뿔을 포함할 것이다.^[18]

원뿔의 연필은 다음과 같은 방법으로 대수적으로 표현될 수 있다.대수적으로 닫힌 필드 K에 대해 정의된 투영 평면에서 C와₁ C를₂ 구별하는 두 개의 원뿔이 되게 한다.두 개 모두 0이 아닌 K 원소의 μ인 모든 쌍에 대해 다음 식:

${\displaystyle \lambda C_{1}+\mu C_{2}}$

C와₁ C에₂ 의해 결정되는 연필의 원뿔을 나타낸다.이 상징적 표현은 약간의 표기법 남용으로 구체화할 수 있다(물체를 정의하는 방정식뿐만 아니라 대상을 나타내는 데 동일한 표기법을 사용한다).예를₁ 들어, C를 3차 2차 형태로서 생각하면₁, C = 0은 "원뿔₁ C"의 방정식이다.또 다른 구체적인 실현은 C를₁ 그것을 나타내는 3×3 대칭 행렬로 생각함으로써 얻을 수 있을 것이다.만약₁ C와₂ C가 그러한 구체적인 실현을 가지고 있다면, 위의 연필의 모든 구성원도 그렇게 될 것이다.설정은 투영 평면에서 균일한 좌표를 사용하기 때문에 두 개의 콘크리트 표현( 방정식 또는 행렬)이 0이 아닌 승수 상수로 차이가 날 경우 동일한 원뿔을 제공한다.

평면 곡선의 연필

보다 일반적으로, 연필은 매개변수 공간이 투영 선인 칸막이의 선형 시스템의 특별한 경우다.예를 들어 투사 평면에 있는 곡선의 대표적인 연필은 다음과 같이 쓰여진다.

$\displaystyle \lambda C+\mu C'=0\,}$

여기서 C = 0, C′ = 0은 평면 곡선이다.

역사

데스아게스는 "행의 연필"이라는 용어를 창안한 공로를 인정받고 있다.^[19]

현대의 투사 기하학 G. B. Halsted의 초기 저자는 많은 용어들을 소개했는데, 이 용어들의 대부분은 현재 고풍스러운 것으로 간주되고 있다.^{[according to whom?]}예를 들어, "같은 십자가를 가진 직선은 형식적이다."또한 "모든 동일 평면, 즉 복사직선의 골재를 평연필이라고 한다" "평연필의 두 면을 면으로 묶은 평연필의 한 조각을 앵글이라고 한다"^[20]고 한다.

참고 항목

• 번들 조정
• 렙셰츠 연필
• 매트릭스 연필
• 펜슬빔
• 진동
• 로커스

메모들

참조

• Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Solid Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
• Artin, E. (1957), Geometric Algebra, Interscience Publishers
• Faulkner, T. E. (1952), Projective Geometry (2nd ed.), Edinburgh: Oliver and Boyd, ISBN 9780486154893
• Halsted, George Bruce (1906). Synthetic Projective Geometry. New York Wiley.
• Johnson, Roger A. (2007) [1929], Advanced Euclidean Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-46237-0
• Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry /A Comprehensive Course, Dover, ISBN 0-486-65812-0
• Pfeifer, Richard E.; Van Hook, Cathleen (1993), "Circles, Vectors, and Linear Algebra", Mathematics Magazine, 66 (2): 75–86, doi:10.2307/2691113, JSTOR 2691113
• Samuel, Pierre (1988), Projective Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics (Readings in Mathematics), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-96752-4
• Schwerdtfeger, Hans (1979) [1962], Geometry of Complex Numbers: Circle Geometry, Moebius Transformation, Non-Euclidean Geometry, Dover, pp. 8–10.
• Young, John Wesley (1971) [1930], Projective Geometry, Carus Monograph #4, Mathematical Association of America
• Woods, Frederick S. (1961) [1922], Higher Geometry / An introduction to advanced methods in analytic geometry, Dover

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Pencil". MathWorld.