코탄젠트 복합체

In mathematics the cotangent complex ${\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }}$ is roughly a universal linearization of a morphism of geometric or algebraic objects ${\displaystyle X\to Y}$. They are defined in certain derived categories of sheaves for a space ${\displaystyle X}$, or a morphism of스페이스${\displaystyle }$X → ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ X$\to$ Y$}$ 및 변형 이론을 제어한다.^[1][2]코탄젠트 콤플렉스는 원래 다수의 저자에 의해 특수한 경우에 정의되었다.Luc Illusie, Daniel Qillen, M.안드레는 독립적으로 모든 경우에 적용되는 정의를 고안했다.

동기

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$과 Y ${\displaystyle Y}$이(가) 대수 품종이고 f${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to$ Y$}$이(가) 그들 사이의 형태론이라고 가정하자$$.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 코탄젠트 콤플렉스는 상대적인 Kahler differentials ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$/$$Y {\$displaystyle \Oomega _{X/Y}}$의 보다 보편적인 버전이다$.$ 그러한 물체에 대한 가장 기본적인 동기는 두 가지 형태에 관련된 Kahler difference이다.$Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$이(가) 다른 품종인 경우 ${\displaystyle 및}$ $g{\displaystyle }$: ${\displaystyle Y}$→ Z ${\displaystyle g:$$Y\to Z}$는 또 다른 형태론이고, 그러면 정확한 순서가 있다.

${\displaystyle f^{*}\Oomega _{Y/Z}\to \Oomega \{X/Y}\to 0.}$

그러므로 어떤 의미에서 상대적인 Kahler 미분류는 정확한 functor이다.(단, 대수적 품종의 범주가 아벨의 범주가 아니므로, 우정확도가 규정되지 않기 때문에, 문학적으로 이것은 사실이 아니다.)실제로 코탄젠트 콤플렉스의 정의 이전에는 리히텐바움-슐레신저 펑커스 T ${\displaystyle i^{}}$ ${\$와 불완전한 모듈 등 시퀀스를 왼쪽으로 더 확장할 수 있는 펑커스에 대한 여러 정의가 있었다.이것들의 대부분은 변형 이론에 의해 동기 부여되었다.

형태론 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 평활하면 이 순서는 왼쪽이 정확하다.Ω이 첫 번째 파생 펑터를 인정한다면, 왼쪽의 정확성은 연결 동형성이 사라졌다는 것을 의미할 것이고, f의 첫 번째 파생 펑터가, 그것이 무엇이든 간에 사라진다면 이것은 분명 사실일 것이다.그러므로, 합리적인 추측은 매끄러운 형태론의 첫 번째 파생된 펑터가 사라진다는 것이다.게다가, Kahler 미분들의 순서를 확장하는 functor들 중 어떤 것이든 부드러운 형태론에 적용되었을 때, 그것들 역시 사라져버렸는데, 그것은 부드러운 형태론의 코탄젠트 콤플렉스가 Kahler 미분들과 동일할지도 모른다는 것을 암시했다.

Kahler different와 관련된 또 다른 자연적인 정확한 순서는 conormal 정확한 순서다.f가 이상적인 sheaf I로 폐쇄적인 몰입이라면, 정확한 순서가 있다.

${\displaystyle I/I^{2}\to f^{*}\Oomega _{Y/Z}\to 0.}$

이는 위의 정확한 시퀀스의 확장이다.왼쪽에는 새로운 용어가 있는데, f의 협곡 부분이며, 닫힌 몰입이 공식적으로 미묘화되기 때문에 상대적 차등 Ω은_X/Y 사라졌다.f가 부드러운 하위변수를 포함하는 경우, 이 시퀀스는 짧은 정확한 시퀀스다.^[3]이것은 매끄러운 품종을 포함시키는 요강단지가 한 용으로 이동된 요강단지와 동일하다는 것을 암시한다.

코탄젠트 단지에 대한 초기 작업

The cotangent complex dates back at least to SGA 6 VIII 2, where Pierre Berthelot gave a definition when f is a smoothable morphism, meaning there is a scheme V and morphisms i : X → V and h : V → Y such that f = hi, i is a closed immersion, and h is a smooth morphism. (For example, all projective morphisms are smoothable, since V can be taken to be Y 위에 투영된 묶음)이 경우, 그는 다음과 같이 f의 코탄젠트 콤플렉스를 일관성 있는 셰이브 X의 파생 범주에 있는 개체로 정의한다.

• ${\displaystyle L_{0}^{X/Y}=i^{*}\오메가 _{V/Y}}}$
• J가 V에서 X의 이상이라면, ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$X /${\displaystyle {}_{}^{}{Y}_{}^{}}$ =${\displaystyle J}$ / ${\displaystyle J{}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}{}^{}}$ ,$${\$displaystyle L_{1}^{X/Y}=J/J^{2}=i^{*J,}}$
• ${\displaystyle L_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$/ ${\displaystyle Y_{}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L_{i}^{X/Y}=0}$ 다른 모든 i에 대해$$,
• The differential ${\displaystyle L_{1}^{X/Y}\to L_{0}^{X/Y}}$ is the pullback along i of the inclusion of J in the structure sheaf ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V}}$ of V followed by the universal derivation ${\displaystyle d:{\mathcal {O}}_{V}\to$$\오메가 _{V/Y}}$
• 다른 모든 미분들은 0이다.

Berthelot은 이^[4] 정의가 V의 선택과 무관하며, 부드러울 수 있는 완전한 교차 형태론의 경우, 이 콤플렉스가 완벽하다는 것을 증명한다.^[5]더욱이, 그는 만약 g : Y → Z가 또 다른 평활 가능한 완전한 교차점 형태론이고 추가적인 기술적 조건이 충족된다면, 정확한 삼각형이 존재한다는 것을 증명한다.

${\displaystyle \mathbf {L} f^{*}L_{\bullet }^{Y/Z}\to L_{\bullet }^{X/Z}\to L_{\bullet }^{X/Y}\to \mathbf {L} f^{*}L_{\bullet }^{Y/Z}[1].}$

코탄젠트 복합체의 정의

코탄젠트 콤플렉스의 올바른 정의는 동음이의적 설정에서 시작된다.Quillen과 André는 단순한 조합반지와 함께 일했고 Illusie는 단순 링이 달린 topoi와 함께 일했다.단순성을 위해 단순화된 조합형 링의 사례만 고려하겠다.$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ $및$ B ${\displaystyle B}$이(가) 단순 링이고 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ -algebra라고$$ 가정해 보십시오.분해능 $r{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$→ ${\displaystyle B}$ ${\디스플레이$ 스타일 $r:$$단순{\displaystyle }$ $자유$ A {\displaystyle $A}$ -algebras에$$ 의한$$ B ${\$$displaystyle$ $B}$의 P$^{\bullet }\to B}.$Such as resolution of ${\displaystyle B}$ can be constructed by using the free commutative ${\displaystyle A}$-algebra functor which takes a set ${\displaystyle S}$ and yields the free ${\displaystyle A}$-algebra ${\displaystyle A[S]}$. For an ${\displaystyle A}$-algebra ${\displaystyle$$B$ 이것은 자연 증강 지도 ${\displaystyle \eta B_{}}$: ${\displaystyle A}$ [ B$$→ ${\displaystyle B}$ {\$displaystyle \eta _{B:$규칙을 통해$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ 요소의 공식 합계를 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 요소에 매핑하는$$ $A[B]\to B}$

${\displaystyle a_{1}[b_{1}]+\cdots +a_{n}[b_{n}]\mapsto a_{1}\cdots a_{n}\cdots a_{n}\cdot b_{n}}}}$

이 구조물을 반복하면 간단한 대수학을 얻을 수 있다.

$\displaystyle \cdots \to A[A[B]\to A[A]\to A[B]\to B}$

수평 지도는 다양한 선택을 위한 확대 지도의 구성에서 비롯된다.예를 들어 규칙을 통해$$ $A{\displaystyle }$[ ${\displaystyle A}$[ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle ]}$→ ${\displaystyle A}$[ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle A[A[B]]\to A[B]}$에 대한 두 개의 확대 지도가 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{i}[a_{i,1}[b_{i,1}]+\cdots +a_{i,n_{i}}[b_{i,n_{i}}]]&\mapsto a_{i}a_{i,1}[b_{i,1}]+\cdots +a_{i}a_{i,n_{i}}[b_{i,n_{i}}]\\&\mapsto a_{i,1}[a_{i}\cdot b_{i,1}]+\cdots +a_{i,n_{i}}[a_{i}\cdot b_{i,n_{i}}]\end{aligned}}}$

$A{\displaystyle }$ {\$displaystyle A}$ -algebras$$ $A{\displaystyle }$ [${\displaystyle [}$ ${\displaystyle A}$[ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle A[A]]}$에 각각 적응할 수 있다$.$

Kahler 차동 펑터를 $P{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$ ${\$에 적용하면 간단한$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ - module이$$ 생성된다.이 단순한 물체의 총체적 콤플렉스는 코탄젠트 콤플렉스 L이다^B/A.형태론 r은 등골 복합체로부터 증강 맵이라고 불리는 Ω으로_B/A 형태론을 유도한다.단순 A-알제브라(또는 단순 링 토포이)의 호모토피 범주에서 이 구조는 Kahler 차동 펑터의 왼쪽 파생 펑터를 취하는 것에 해당한다.

다음과 같이 정류 정사각형을 지정한다.

${\displaystyle {증축}^{}}$ 지도를 존중하는$$ CB / A complexes $B{\displaystyle {}^{}{}_{}}$→ ${\displaystyle L^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$/ C ${\$의 형태론이 있다.이 지도는 D의 자유 단순 C-알지브라 해상도(${\displaystyle s:}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$→ D${\displaystyle .}$ ${\displaystyle s:$$Q^{\bullet }\to D.}$ Because ${\displaystyle P^{\bullet }}$ is a free object, the composite hr can be lifted to a morphism ${\displaystyle P^{\bullet }\to Q^{\bullet }.}$ Applying functoriality of Kähler differentials to this morphism gives the required morphism of cotangent complexes.특히 동형성 $A{\displaystyle }$→ ${\displaystyle B}$→ ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle A\to B\to C}$을(를) 고려했을 때 이렇게$$ 하면 시퀀스가 생성된다.

${\displaystyle L^{B/A}\otimes _{B}C\to L^{C/A}\to L^{C/B}.}$

연관성 있는 동음이의어가 있고

${\displaystyle L^{C/B}\to \left(L^{B/A}\otimes _{B}C\right)[1],}$

이 염기서열을 정확히 삼각형으로 만드는 거야

코탄젠트 콤플렉스는 조합 모델 범주 M에서도 정의될 수 있다.${\displaystyle f}$: ${\displaystyle A}$→ B ${\displaystyle f:$$A\to B}$는 M의 형태론이다.코탄젠트 복합체 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle f^{}}$ ${\$또는 ${\displaystyle {LB}^{}}$/ A ${\$ L$^{B/A$는 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ /${\displaystyle {}_{}}$/${\displaystyle B_{}}$ ${\$의 스펙트럼 범주에 있는$$물체로서 복합형 형태, ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle A}$→ B ${\displaysty f:$${\displaystyle A}$$\to B}$ 및$$ $g{\displaystyle }$: B${\displaystyle }$→ C ${\displaystyle g:$$B\to C}$는 호모토피 범주에서 정확한 삼각형을 유도한다$$.

${\displaystyle L^{B/A}\time _{B}\to L^{C/A}\to L^{C/B}\to \left(L^{B/A}\otimes _{B}C\오른쪽)[1]}$

변형 이론에서의 코탄젠트 복합체

세우다

코탄젠트 단지의 첫 번째 직접 적용 사례 중 하나는 변형 이론이다.예를 들어, 체계 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ S ${\displaystyle f:X\to S}$와 제곱제로의 무한증강 $S{\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ S$'}$가 있다면$,$ 그것은 커널이 있는 체계들의 형태론이다.

${\displaystyle {\mathcal{I}={\text{ker}\{\mathcal{O}_{S'}\to {\mathcal{O}_{S}\}}}}}}}에 연결$

재산은 그 네모꼴이 0슬로 되어있으니

${\displaystyle {\mathcal{I}^{2}=0}$

변형 이론의 근본적인 질문 중 하나는 형태의 데카르트 사각형에 맞는$$ $X{\displaystyle {}^{}}$′ ${\$의 세트를 구성하는 것이다.

${\displaystyle \left\{\begin{matrix}X&\to &X\\\downarrow \\s&to &S'\end{matrix}\right\}}}$

$유의$해야 할 몇 가지 예는 $Z{\displaystyle \mathbb{}/p}$ ${\displaystyle \mathb {Z}$/${\displaystyle p{}^{}}$$}$에 ${\displaystyle {정의}^{}}$된 체계를 Z$/$$p$ 2 $displaystyle \mathb {Z} /p^{2}}$ 또는$$ 특성 0 {\$displaystyle$ k} 필드 $k$${\$displaystyle k}에 $정의$된 체계를 링 ${\displaystyle k}$] ${\daystyt$ ${\displaystyle ]}$ {\v ] ${\$vesplaystytyleptyption k$[\be ]$로 확장하는 $것$이다$.$e $\epsilon {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$.그런 다음$$ Cotangent 복합체 $L{\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle X_{}^{}}$ /${\displaystyle {}_{}^{}}$S ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$이(가) 이 문제와 관련된 정보를 제어한다.우리는 그것을 정류 도표의 확장성을 고려하는 것으로 재구성할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {G}}&\to &{\mathcal {O}}_{X'}&\to &{\mathcal {O}}_{X}&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &{\mathcal {I}}&\to &{\mathcal {O}}_{S'}&\to &{\mathcal {O}}_{S}&\to &0\end{matrix}}}$

그건 동질적 문제야그런 다음, $커널$이 G$${\$displaystyle${\$mathcal{G}$인 그러한 다이어그램 집합은$$ 아벨 그룹과 이소모르픽이다.

${\displaystyle {\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet },{\mathcal {G})}$

코탄젠트 복합체 표시 가능한 변형 세트 표시.^[1]더군다나 다른 방향에서 보면 정확한 순서가 짧다면

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {G}_{X'}to &\mathcal {O}_{X}to &0\end{matrix}}}}}}}}$

그에 상응하는 요소가 있다.

${\displaystyle \xi \in {\text{Ext}}^{2}(\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet },{\mathcal {G})}$

위와 같은 변형 문제에 대한 해결책임을 시사하는 사람이지게다가, 그 그룹은

${\displaystyle {\text{Ext}}^{0}(\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet },{\mathcal {G})}}$

변형 문제에 대한 고정 용액에 대한 일련의 자동화를 제어한다.

몇 가지 중요한 시사점

등골 복합체에서 기하학적으로 가장 중요한 특성 중 $하나$는 S ${\displaystyle$S} -schemes의$$ 형태론이 주어진 사실이다.

${\displaystyle f:X\to Y})$

우리는 상대적 ${\displaystyle {동탄}_{}^{}}$ 복합체 $L{\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$/ Y ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$을(를) 원뿔 모양으로$$ 형성할 수 있다.

${\displaystyle f^{*}\mathbf {L} _{Y/S}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X/S}^{\bullet }}}}}}}}}}$

구별되는 삼각형에 맞는

${\displaystyle f^{*}\mathbf {L} _{Y/S}^{X/S}^{X/S}^{\bullet }\mathbf {L} \xbullet _{X/Y}^{X/Y}^{\bullet }\xrigrightarrow}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

$이것$은 S ${\displaystyle S}$ -schemes의$$$$ $형태론$ f {\displaystyle $f}$의 변형이 이 단지에 의해 제어된다는 것을 의미하기 때문에 이 단지의 기둥 중 하나이다.특히 $L{\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle X_{}^{}}$/ Y ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle {\text{홈}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$X${\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle {\text}$에서 $고정형{\displaystyle }$ 형태론으로서$$ f ${\displaystystyle f}$의 변형을 제어한다$$.$Hom}}_{S}(X,Y)}$, deformations of ${\displaystyle X}$ which can extend ${\displaystyle f}$, meaning there is a morphism ${\displaystyle f':X'\to S}$ which factors through the projection map ${\displaystyle X'\to X}$ composed with ${\displaystyle f}$, and deformations of ${\disp$유사하게 정의된$$ $레이스타일$ Y$}.$이것은 강력한 기법이며, Gromov-Witten 이론(아래 참조)에 기초하고 있는데, 이 이론은 고정된 속과 고정된 구멍 수의 대수적 곡선에서부터 체계 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 이르는 형태론을 연구한다$.$

코탄젠트 복합체의 특성

플랫 베이스 변경

B와 C가 모든 Q > 0에 대해$$ ${\displaystyle {\mathrm{Torq}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle B}$ , C ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \operatorname$ {$Tor} _{$q}^{$A}(B,C$)=0$}$과 같은 A-algebras라고 가정하자.그 다음엔 준 이형성이^[6] 있다.

${\displaystyle {\reasoned}L^{B\otimes _{A}C/C}&\cong C\otimes _{A}L^{B/A}\\L^{B\otimes _{A}C/A}&\cong \left(L^{B/A}\otimes _{A}C\right)\oplus \left(B\otimes _{A}L^{C/A}\right)\end{aligned}}}$

C가 플랫 A-알제브라인 경우, ${\displaystyle {Torq}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}}$ (${\displaystyle B}$, C${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{q}^{A}(B,C)}$이(가) q > 0에 대해$$ 소멸되는 조건은 자동이다.그 후 첫 번째 공식은 코탄젠트 복합체의 건설이 평평한 위상의 기초 위에 국부적이라는 것을 증명한다.

소멸 속성

렛 f : A → B다음:^[7][8]

• ${\displaystyle B_{}}$가 A의 국산화라면 L B / A${\displaystyle {}_{}}b{\displaystyle {}_0}$ {\$displaystyle L_{B/A}\simeq$ 0$}$.
• f가 étal morphism이라면 L ${\displaystyle B_{}}$/ ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L_{B/A}\simeq$ 0$\}$ .
• f가 매끄러운 형태론이라면, ${\displaystyle L_{}}$ $B{\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ B${\displaystyle {/A}_{}}$ ${\$에 준 이형성이며$,$ 특히 투영적인 차원 0을 갖는다.
• f가 국소 전체 교차로 형태론이라면 L ${\displaystyle B_{}}$/ A ${\$은(는) 대부분 투영적 치수를$$ 갖는다.
• If A is Noetherian, ${\displaystyle B=A/I}$, and ${\displaystyle I}$ is generated by a regular sequence, then ${\displaystyle I/I^{2}}$ is a projective module and ${\displaystyle L_{B/A}}$ is quasi-isomorphic to ${\displaystyle I/I^{2}[1].$$}$

유한진폭

Quillen[9]중의 하나는finite-type{A\displaystyle}-algebra B{B\displaystyle}의 여접 단지 진폭 시스템 사람 그것 cohomology 유한하게 많은 학위를, B{B\displaystyle}은 필연적인 지역 완전한 교차로 A{A\displaystyle}-algebr에 집중되어 있단다는 요청한 추측이었다.a이것은 아브라모프에 의해 증명된 바와 같이 사실로 밝혀졌다.^[9]

예

원활한 계획

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{Sch}}$ ${\displaystyle }$/ S ${\displaystyle X\in \operatorname {Sch} /S}$을(를) 매끄럽게 한다.Then the cotangent complex is ${\displaystyle \Omega _{X/S}}$. In Berthelot's framework, this is clear by taking ${\displaystyle V=X}$. In general, étale locally on ${\displaystyle S,X}$ is a finite dimensional affine space and the morphism ${\displaystyle X\to S}$ is projection, so we may re$S{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{Spec}}$ ${\displaystyle }$( A${\displaystyle }$) ${\displaystyle S=\operatorname {Spec} (A)}$ $및{\displaystyle }$ X$$${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{Spec}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle A}$[ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, x ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaysty X=\operatorname {Spec}(A[x_{1},\ldots,x_{n})$이 있는 상황에 처한다.$}}$ ${\displaystyle \mathrm{사양<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; X=\backslash operatorname\; \{Spec\}\; (A[x\_\{1\},\backslash ldots\; ,x\_\{n\}]).\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/d01d7ca20b03b995010cb17b13a9efad0a2c9cec"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:25.332ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="288">}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1${\displaystyle }$, …${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$]${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Spec}(A[x_{1},\ldots ,x_{n})}$의 해상도를 ID 맵으로$$ 삼으면, 코탄젠트 콤플렉스가 Kahler 차등과 동일하다는 것이 확실하다.

부드러운 구성으로 폐쇄된 임베딩

Let ${\displaystyle i:X\to Y}$ be a closed embedding of smooth schemes in ${\displaystyle {\text{Sch}}/S}$. Using the exact triangle corresponding to the morphisms ${\displaystyle X\to Y\to S}$, we may determine the cotangent complex ${\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}}$. To dothis, note that by the previous example, the cotangent complexes ${\displaystyle \mathbf {L} _{X/S}}$ and ${\displaystyle \mathbf {L} _{Y/S}}$ consist of the Kähler differentials ${\displaystyle \Omega _{X/S}}$ and ${\displaystyle \Omega _{Y/S}}$ in the zeroth degree, 각각, 그리고 다른 모든 도에서는 0이다.The exact triangle implies that ${\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}}$ is nonzero only in the first degree, and in that degree, it is the kernel of the map ${\displaystyle i^{*}\mathbf {L} _{X/S}\to \mathbf {L} _{Y/S}.}$ This kernel is the conormal bundle, and the exact sequence요람의 정확한 순서가므로 ${\displaystyle {1도}_{}}$에서는 ${\displaystyle {}_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$/ Y ${\$가 요람$$ 번들 $C{\displaystyle {}_{}}$ /${\displaystyle Y_{}}$ ${\$}이다$.$

로컬 전체 교차점

보다 일반적으로, 부드러운 표적을 가진$$ 국소 전체 교차로 형태론 $X{\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ $[\displaystyle$ X$\to$ Y$}$은 진폭 [${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle ]}$ .${\displaystyle [-1,0]$에서 완벽한 등각형 복합체를 가지고 있다.$}$ 이것은$$ 콤플렉스가 주는 것이다.

$\Displaystyle I/I^{2}\to \Oomega _{Y} _{X}.}$

예를 들어, ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $3{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$^{$3}$의 꼬인 $입방{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$}$의 코탄젠트 콤플렉스는 콤플렉스에 의해 주어진다$$.

${\displaystyle {\mathcal{O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}(2)\mathcal {O}}{\xrightarrow {s}\Oomega_{\mathb {P}^3} _{X}.}$

그로모프위튼 이론의 코탄젠트 복합체

그로모프-위튼 이론에서 수학자들은 우주에서 n점 곡선의 열거적 기하학적 불변수를 연구한다.일반적으로 대수적 스택이 있다.

${\displaystyle {\overline {\m}_{g,n}(X,\beta )}$

지도에 있는 모듈리 공간은

${\displaystyle \pi :C\to X}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$개의$$ 펑크가 $있는{\displaystyle }$ g$${\$displaystyle g}$개의$$ 곡선에서 고정된 대상에 이르기까지.열거형 기하학이 그러한 지도들의 일반적인 동작을 연구하기 때문에, 이러한 종류의 문제를 제어하는 변형 이론은 $곡선{\displaystyle }$ C ${\displaystyle C$ $지도{\displaystyle }$ {$${\$displaystyle \pi$ 그리고 목표 $공간{\displaystyle }$ X ${\\displaystyle X}$의 변형을 요구한다$.$다행히도 이 모든 변형 이론적 정보는 가능하다.cotangent ${\displaystyle {complex}_{}^{}}$ $L{\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$/ X $∙$ ${\displaystyle \mathbf {$L$}$ $_${C/X}^{\bullet $}}}}}}$에 의해 추적되다$.$ 구별되는 삼각형을 사용하여.

${\displaystyle \pi ^{*}\mathbf {L} _{X}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{C}^{\bullet _{C/X}^{\bullet }to }$

형태론의 구성과 관련 있는.

${\displaystyle C\xrightarrow {\pi}X\rightarrow {\text{Spec}(\mathb {C})}$

등골 복합체는 많은 상황에서 계산될 수 있다.In fact, for a complex manifold ${\displaystyle X}$, its cotangent complex is given by ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}}$, and a smooth ${\displaystyle n}$-punctured curve ${\displaystyle C}$, this is given by ${\displaystyle \Omega _{C}^{1}(p_{1}+\cdots +p_{n})}$. 삼각형 범주의 일반 이론으로 볼 때 등각형 $복합체{\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ C${\displaystyle {}_{}^{}}$/ ${\displaystyle X_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$은 원뿔에 준 이형성이다.

${\displaystyle {\text{Cone}}(\pi ^{*}\mathbf {L} _{X}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{C}^{\bullet })\simeq {\text{Cone}}(\pi ^{*}\Omega _{X}^{1}\to \Omega _{C}^{1}(p_{1}+\cdots +p_{n}))}$

참고 항목

• 안드레-퀼렌 코호몰로지
• 변형 이론
• 엑살콤
• 고다이라스펜서급
• 아티야급

메모들

참조

적용들

• https://mathoverflow.net/questions/372128/what-is-the-cotangent-complex-good-for

일반화

• 로그 코탄젠트 복합체
• 코탄젠트 복합체 및 Thom 스펙트럼

참조

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