부드러운 형태론

대수 기하학에서, 체계들 사이의 $f:X\to S$ 형태론 $f:X\to S$ : X $f:X\to S$ → $f:X\to S$ $f:X\to S$ 는 다음과 같은 경우에 매끄럽다고 한다.

(i) 한정된 프레젠테이션의 국소적 위치
(ii) 평평하며,
(iii) 모든 기하학적 ${\overline {s}}\to S$ 의 ${\overline {s}}\to S$ → S ${\displaystyle {\s}\$ s}\ $to$ S $}$ 섬유 $X_{\overline {s}}=X\times _{S}{\overline {s}}$ $X_{\overline {s}}=X\times _{S}{\overline {s}}$ X $X_{\overline {s}}=X\times _{S}{\overline {s}}$ $X_{\overline {s}}=X\times _{S}{\overline {s}}$ × $X_{\overline {s}}=X\times _{S}{\overline {s}}$ } {\ $displaystyle X_{\$ s}= $X\time _{S$ }{\ $overline}}}}}}}}$ 은 $\overline {s}\to S$ (으 $X_{\overline {s}}=X\times _{S}{\overline {s}}$ ) 정규 분포되어 있다.

(iii) f의 각 기하학적 섬유는 비경화성 품종(분리된 경우)임을 의미한다.그러므로 직관적으로 말하면, 부드러운 형태주의는 평평한 비정형 품종의 품종을 준다.null

만약 S가 대수적으로 폐쇄된 영역의 스펙트럼이고 f가 유한한 유형이라면, 비정형 변종의 정의를 회복한다.null

등가정의

부드러운 형태론의 많은 동등한 정의들이 있다. $f:X\to S$ : $f:X\to S$ → $f:X\to S$ $f:X\to S$ 을 $f:X\to S$ (를) 로컬로 한정된 표시로 두십시오.그렇다면 다음과 같다.null

f는 부드럽다.
f는 공식적으로 부드럽다(아래 참조).
f는 평평하며 상대 차동 $\Omega _{X/S}$ $\Omega _{X/S}$ ${\$ 의 피복은 로컬로 $X/S$ $X/S$ 의 상대 차원과 같은 등급이 없다 $\Omega _{X/S}$ $X/S$
For any $x\in X$ , there exists a neighborhood $\operatorname {Spec} B$ of x and a neighborhood $\operatorname {Spec} A$ of $f(x)$ such that ${\displaystyle B=$ $A[t_{1},\dots,t_{n}]/(P_{1}},\dots,P_{m$ $(\partial P_{i}/\partial t_{j})$ 의 m-bym 미성년자에 의해 생성된 이상 $B=A[t_{1},\dots ,t_{n}]/(P_{1},\dots ,P_{m})$ $([$ P $(\partial P_{i}/\partial t_{j})$ i $partial P_{i}/\partial t_{j}).$
로컬에서 f 요인을 $X{\overset {g}{\to }}\mathbb {A} _{S}^{n}\to S$ → $X{\overset {g}{\to }}\mathbb {A} _{S}^{n}\to S$ A $X{\overset {g}{\to }}\mathbb {A} _{S}^{n}\to S$ n → $X{\overset {g}{\to }}\mathbb {A} _{S}^{n}\to S$ {\ $displaystyle X{{{\}{\}}}\mathb {A} _{S}^{n$ }\ $to$ S $}($ g는 $X{\overset {g}\to }{\mathbb {A}}_{S}^{n}\to S$ étale).
Locally, f factors into $X{\overset {g}{\to }}\mathbb {A} _{S}^{n}\to \mathbb {A} _{S}^{n-1}\to \cdots \to \mathbb {A} _{S}^{1}\to S$ where g is étale.

유한형의 형태론은 매끄럽고 준마이트한 경우에만 étal이다.null

기초변화와 구성에서는 매끄러운 형태론이 안정적이다.매끄러운 형태론은 국소적으로 유한한 표현이다.null

매끄러운 형태주의는 일반적으로 국소적으로 순환한다.null

예

매끄러운 형태론은 기하학적으로 미분 기하학에서 매끄러운 물체에 대응하도록 되어 있다. 즉, 그들은 어떤 기초 공간에 걸쳐서 매끄러운 국소적으로 사소한 섬유질이다(에레즈만의 정리).null

점까지 부드러운 형태론

$f$ $f$ 을(를) 계획의 형태론(morphism)으로 $f$ 설정

{\text}_{\mathb {C}}왼쪽({\frac {\c}[x,y]}{(f=y^{2}-x^{3-1)}\오른쪽)에 {\text{Spec}(\mathb {C})

자코비안 조건인 자코비안 매트릭스 때문에 매끄럽다.

[3x^{2}-1,y]

다항식과의 빈 교차점이 있는 지점 $(1/{\sqrt {3}},0),(-1/{\sqrt {3}},0)$ / $(1/{\sqrt {3}},0),(-1/{\sqrt {3}},0)$ , $(1/{\sqrt {3}},0),(-1/{\sqrt {3}},0)$ ) , $(1/{\sqrt {3}},0),(-1/{\sqrt {3}},0)$ ( $(1/{\sqrt {3}},0),(-1/{\sqrt {3}},0)$ - 1 $(1/{\sqrt {3}},0),(-1/{\sqrt {3}},0)$ / $(1/{\sqrt {3}},0),(-1/{\sqrt {3}},0)$ , $(1/{\sqrt {3}},0),(-1/{\sqrt {3}},0)$ ) ${\displaystyle(1/{\sqrt{3},0$ ), $(-1/{\sqrt{3},0)$ 에서 사라짐

{\begin{aligned}f(1/{\sqrt {3}},0)&=1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}-{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}\\f(-1/{\sqrt {3}},0)&={\frac {1}{\sqrt {3}}}+{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}-1\end{aligned}}

둘 다 0이 아니잖아null

사소한 섬유

부드러운 $Y$ 계획 $Y$ ${\displaystyle$ Y $}$ 이(가) 주어진 투영 형태론

Y\time X\to X}

매끈매끈매끈하다null

벡터 번들

어떤 계획 위에 $E\to X$ 있는 모든 벡터 번들 $E\to X$ → $E\to X$ ${\displaystyle E\to$ X $}$ 은 부드러운 형태론이다.예를 들어 $\mathbb {P} ^{n}$ $\mathbb {P} ^{n}$ ${\$ 에 ${\mathcal {O}}(k)$ O ${\mathcal {O}}(k)$ ( ${\mathcal {O}}(k)$ ) ${\mathcal{O}(k)}$ 의 관련 벡터 번들이 가중 투영 공간에서 점을 뺀 것임을 $\mathbb {P} ^{n}$ 알 수 있다.

O(k)=\mathb {P}(1,\ldots,1,k)-\{{0:\cdots :0:1]\}\\to \mathb {P} ^n}

보내기

[x_{0}:\cdots :x_{n}:x_{n+1}]\to [x_{0}:\cdots :x_{n}]

직접 합계 번들 $O(k)\oplus O(l)$ ( $O(k)\oplus O(l)$ ) $O(k)\oplus O(l)$ $O(k)\oplus O(l)$ ( $O(k)\oplus O(l)$ ) $O(k)\oplus O(l)$ 을(를) 섬유 제품을 사용하여 구성할 수 있다는 $O(k)\oplus O(l)$ 점에 유의하십시오.

O(k)\oplus O(l)=O(k)\times _{X}O(l)

분리 가능한 필드 확장

필드 확장명 $K\to L$ → $K\to L$ $K\to L$ 이 $K\to L$ (가) 프리젠테이션이 지정된 경우 분리 가능이라고 함을 상기하십시오.

L={\frac {K[x]}{(f(x))}}

$gcd(f(x),f'(x))=1$ 는 g $gcd(f(x),f'(x))=1$ ( $gcd(f(x),f'(x))=1$ ) $gcd(f(x),f'(x))=1$ , $gcd(f(x),f'(x))=1$ ′ $gcd(f(x),f'(x))=1$ ( $gcd(f(x),f'(x))=1$ ) $gcd(f(x),f'(x))=1$ = 1 $gcd(f(x),f'(x)=1$ 을 가지고 있다 $gcd(f(x),f'(x))=1$ 우리는 이 정의를 다음과 같이 Kahler 차이의 관점에서 재해석할 수 있다: 필드 확장은 분리할 수 있다.

\Oomega_{L/K}=0

여기에는 모든 완벽한 필드(유한 필드 및 특성 0의 필드)가 포함된다.null

비예시

단수 품종

$X$ $X$ 의 어핀 콘이라 불리는 $X$ 투영 $버라이어티$ X $X$ 에 $R$ 대한 기본 대수 $R$ $R$ 의 ${\text{Spec}}$ Spec ${\displaystyle{Spec}$ 을 고려한다면, 원점의 점은 항상 단수인 것이다 $X$ $예$ 를 $3$ 들어 $,$ 다음과 같은 5진법 $3$ 의 아핀 $원뿔$ 을 고려하십시오 $.$

x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}

그러면 제이콥의 매트릭스는

{\displaystyle {\bmatrix}5x_{0}^{4}&5x_{1}^{4}&5x_{2}^{4}&5x_{3}^{4}&5x_{4}^{4}^{4}}{4}}^{4}\end{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}?

원뿔은 원점에서 사라지므로, 원뿔은 단수형이다.이와 같은 아핀 과퍼페이스는 비교적 간단한 대수학이나 풍부한 기저 구조 때문에 특이성 이론에서 인기가 있다.null

Another example of a singular variety is the projective cone of a smooth variety: given a smooth projective variety $X\subset \mathbb {P} ^{n}$ its projective cone is the union of all lines in $\mathbb {P} ^{n+1}$ intersecting $X$ . For example, the proje그 점들의 ctive cone.

{\text{Proj}\왼쪽({\frac {\\mathb {C}[x,y]}}{(x^{4}+y^{4}}}}}}\오른쪽)

이 계략이다

{\text{Proj}\왼쪽({\frac {\\mathb {C}[x,y,z]}{{(x^{4}+y^{4}}}}}}\오른쪽)

$z\neq 0$ $z\neq 0$ $z\neq 0$ $z\neq 0$ 차트에서 $z\neq 0$ 이 방법을 확인하십시오.

{\text{Spec}\왼쪽({\frac {\\mathb {C}[X,Y]}}{(X^{4}+Y^{4}}}}}}}\오른쪽)

$\mathbb {A} _{Y}^{1}$ $\mathbb {A} _{Y}^{1}$ $\mathbb {A} _{Y}^{1}$ 1 $\mathbb {A} _{Y}^{1}$ {\ $displaystyle \mathb{A$ } $_{Y}^{1$ }의 아핀 선까지 투영하면 $\mathbb {A} _{Y}^{1}$ 이 선은 원점에서 퇴보하는 4개의 점으로 이루어진 가족이다.이 계획의 비음향성은 또한 자코비안 조건을 사용하여 확인할 수 있다.null

타락한 가족들

평평한 가족을 생각해라.

{\text}\왼쪽({\frac {\mathb {C}[t,x,y]}{(xy-t)}\오른쪽)\\mathb {A} _{t}^{1}}}}

그러면 기원의 점을 제외하고는 섬유질이 모두 매끈매끈하다.기저 변화하에서는 평탄도가 안정적이기 때문에 이 집안은 평탄하지 않다.null

분리할 수 없는 필드 확장

예를 들어 F $\mathbb {F} _{p}(t^{p})\to \mathbb {F} _{p}(t)$ ( $\mathbb {F} _{p}(t^{p})\to \mathbb {F} _{p}(t)$ t $\mathbb {F} _{p}(t^{p})\to \mathbb {F} _{p}(t)$ ) $\mathbb {F} _{p}(t^{p})\to \mathbb {F} _{p}(t)$ → $\mathbb {F} _{p}(t^{p})\to \mathbb {F} _{p}(t)$ p ( t ) {\ $displaystyle \mathb {F} _{p}(t^{p})\to \mathb {F}$ _ ${p$ }} \mathb {F} _{p $}(t)}$ 필드는 분리할 수 없으므로 $\mathbb {F} _{p}(t^{p})\to \mathbb {F} _{p}(t)$ 관련 체계 형태주의가 원활하지 않다.필드 확장의 최소 다항식을 살펴보면

f(x)=x^{p}-t^{p}}

$df=0$ 다음 $df=0$ = 0 ${\displaystyle df=0$ 따라서 Kahler 차등들은 0이 아닐 것이다.null

형식적으로 부드러운 형태론

기하학적 구조를 고려하지 않고 매끄럽게 정의할 수 있다.We say that an S-scheme X is formally smooth if for any affine S-scheme T and a subscheme $T_{0}$ of T given by a nilpotent ideal, $X(T)\to X(T_{0})$ is surjective where we wrote $X(T)=\operatorname {Hom} _{S}(T,X)$ . Then 유한 형태의 국부적인 형태주의는 공식적으로 매끄러울 때만 매끄럽다.null

"형식적으로 매끄러운"의 정의에서, 만약 우리가 "비주적인" (resp)으로 대체한다면."직접적"), 그리고 나서 우리는 공식적으로 에테일(resp. 정식 미문명)의 정의를 얻는다.null

원활한 베이스 변경

Let S be a scheme and $\operatorname {char} (S)$ denote the image of the structure map $S\to \operatorname {Spec} \mathbb {Z}$ . The smooth base change theorem states the following: let $f:X\to S$ be a quasi-compact morphism, $g:S'\to S$ ${\displaystyle g:$ $S'\to S}$ a smooth morphism and ${\mathcal {F}}$ a torsion sheaf on $X_{\text{et}}$ . If for every $0\neq p$ in $\operatorname {char} (S)$ , $p:{\mathcal {F}}\to {\mathcal {F}}$ is injective, then the base change morphism $g^{*}(R^{i}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{i}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})$ is an isomorphism.null