시그마 가산 집합 함수

수학에서 가법 집합 함수는 숫자에 대한 함수 매핑으로, 두 개의 불연속 $\mathrm{집합}$의 조합에 대한 값이 이들 집합에 대한 값의 합, 즉 $\mu$($A$) =$\mu$( A$$)$$+$\mu$ ( $B$)$$. ${\textstyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu$ ($B).$$}$ 이 부가성 속성이 두 세트에 대해 유지되는$$ 경우, 유한한 세트 수, 즉 k 디스조인트 집합의 결합에 대한 함수 값(여기서 k는 유한한 수)은 집합에 대한 값의 합과 같다.따라서 가법 집합함수는 정밀하게 첨가된 집합함수(항은 등가함수)라고도 한다.그러나 정밀하게 추가된 집합 함수는 무한히 많은 집합의 조합에 대한 부가성 속성을 가지고 있지 않을 수 있다.A σ-additive set function is a function that has the additivity property even for infinitely many sets, that is, ${\textstyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}).$$}$

부가성과 시그마 부가성은 특히 조치의 중요한 특성이다.여러 개체를 고려할 때 크기(길이, 면적, 볼륨)의 직관적 특성이 얼마나 직관적인지 추상화하는 것이다.덧셈은 σ-additivity보다 약한 조건이다. 즉, add-additivity는 덧셈을 내포하고 있다.

모듈형 집합함수라는 용어는 가법 집합함수와 동일하다. 아래 모듈성을 참조한다.

가법(또는 정밀하게 첨가된) 세트 함수

$\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$을(를$){\displaystyle }$[ -${\displaystyle \mathrm{},}$ ,${\displaystyle \mathrm{}}$]${\displaystyle }$]$${\$displaystyle [-\inful$,\$fult ]$의 값을 갖는$$ $집합{\displaystyle \mathcal{}}$ A ${\$의 대수에서 정의한 집합 함수가 되도록$$ 한다($$확장된 실제 수선 참조).$함수{\displaystyle }$ $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu}$은(는) A ${\displaystyle$ A$}$과($와{\displaystyle }$$)$ B {\$displaystyle$ B$}$이($)$A , {\$displaystyle$ \$scriptstyle$ {\$mathcal$ {$A}$에서 분리 집합인 경우 가법 또는 정밀하게 가법이라고 한다$$.

그 결과 additive -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ - ∞ - \ -$$\$displaystyle$ -$\infit }$과 +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle +\infit }$${\displaystyle }$둘 다 값으로$$ 취할 수 없다. $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ - ∞ -$\displaystyle$ \$infit$ -$\\infit }$은 정의되지$$ 않았다.

첨가함수가 만족한다는 것을 수학적 유도로 증명할 수 있다.

$A\mathcal{}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{A\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle A_{}}$ N ${\$에 대해 .${\textstyle {\mathcal {A}.$$}$

σ-additive-additive 셋트 함수

$A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) σ-algebra라고 가정해 보십시오.모든 시퀀스 $A{\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle }$${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots,$ $A\_{\displaystyle \mathcal{}}$${n},$ ${\$에서 쌍으로$$ 구성된 디스조인트 세트인 경우

holds 그러면 $[\displaystyle \mu$}은(는) 가산 또는 𝜎-additive-additive이라고 한다.모든 𝜎 가산함수는 다음과 같이 첨가물이지만 그 반대는 아니다.

τ-additive-additive 셋트 함수

시그마 대수 $A\mathcal{}$, ${\textstyle {\mathcal {A},}$ 위상 $\tau {\displaystyle .}$ ${\displaystyle \tau .}$측정$$ 가능한 개방된 모든 지시된 패밀리에 $대해\mathcal{}$ G$$a $A\tau ,${\$textstyle {G}\mathsetq {A}\cap \tau}$이 있다고 가정합시다.

우리는 $[\displaystyle \mu }$이(가) $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau$} -additive이라고$$ 말한다.특히 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$이(가) 내부 정규인 경우$$(컴팩트 세트에 대한 경우) μ-additive이다.^[1]

특성.

가법 집합 함수 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$의 유용한 속성은 다음과$$ 같다.

빈 집합 값

$\mu {\displaystyle (}$μ${\displaystyle }$) = ${\displaystyle 0,}${\$displaystyle \mu(\varnothy)=0,}$ 또는$$ $(\displaystyle$$\mu$$$$}}$은(는) 도메인의 모든 집합에$$μ {\$displaystyle$ $\mu$$}$을$($는$)$ 할당하거나,${\displaystyle }$$\mu$은 해당 도메인 내의 모든 집합에$$ 할당한다$.$증빙: 모든 $세트{\displaystyle }$ A${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ A$,}$${\displaystyle (A}$) = ${\displaystyle \mu (A}$∅ ${\displaystyle )}$) + ${\displaystyle \mu (A}$) + $A$\varnothy$)=\mu(A)+\mu(\varnothy)$를 의미한다.$}$ $\mu {\displaystyle (}$μ ) ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \mu(\varnothy)\neq$ 0$,}$인 경우, 이 동등성은 + 또는 마이너스 무한대로만 충족될 수 있다.

단조도

$[\displaystyle \mu }$이(가) 음성이 아니고 A ${\displaystyle \mu }$ $B{\displaystyle }${\$displaystyle A\subseteq B}$일 경우$$ $\mu {\displaystyle }$(${\displaystyle A}$ )${\displaystyle }$μ $.$ ${\displaystyle \mu (A)\leq \mu$ ($B)$$}$ $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$은(는) 단조 세트 함수다.마찬가지로$$ $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$이(가) 양성이 아니고 A${\displaystyle \mu }$ B ${\displaystyle A\subseteq$ B$}$이면 $\mu {\displaystyle (A}$)${\displaystyle }$μ${\displaystyle \mu }$ μ.${\displaysty$$\mu$ ($A)\geq \mu$ ($B)$$}$

모듈성

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A},$ $B$, ${\displaystyle B,}$${\displaystyle (A}$μ B${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mu (A}$μ ${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mu (A}$)${\displaystyle }$+ $($${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \mu(A\cap B)=\mu(A)+\mu(B$)=\mu(B)$}$ Proof: write ${\displaystyle A=(A\cap B)\cup (A\setminus B)}$ and ${\displaystyle B=(A\cap B)\cup (B\setminus A)}$ and ${\displaystyle A\cup B=(A\cap B)\cup (A\setminus B)\cup (B\setminus A),}$ where all sets in the union are disjoint. 덧셈은 등등의 양쪽이 $모두{\displaystyle }$ μ${\displaystyle (A}$)${\displaystyle }$B${\displaystyle }$) + ${\displaystyle \mu (Ba}$A${\displaystyle }$) + ${\displaystyle 2}$μ$A$b${\displaystyle }$B )${\displaystyle }$.$${\$displaystyle \mu(A\$setminus B$)+\mu(B\setminus A)+$2\mu($A\cap$B)가 같다는 것을 암시한다$.$$}$

위의 속성을 모듈화라고 하는데, 우리는 모듈화가 긍정에 해당한다는 것을 방금 증명했다.그러나 이와 등가물이 아닌 하위적합성, 하위적합성이라고 하는 관련성이 있다.

모듈화는 복잡한 함수의 맥락에서 서로 다르고 관련이 없는 의미를 가지고 있다는 점에 유의한다. 모듈형식을 참조한다.

설정차이

If ${\displaystyle A\subseteq B}$ and ${\displaystyle \mu (B)-\mu (A)}$ is defined, then ${\displaystyle \mu (B\setminus A)=\mu (B)-\mu (A).$$}$

예

𝜎-additive 함수의 예로는 다음과 같이 실수의 전원 집합에 대해 정의된$$ 함수 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$이(가) 있다.

만약 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{A\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle A_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$이(가) 실수의 집합의 순서라면$$, 세트 중 어느 것도 0을 포함하지 않거나, 정확히 한 세트도 포함하지 않는다.어느 경우든 평등은

쥔다

𝜎 추가 함수의 자세한 예는 측정 및 서명된 측정을 참조하십시오.

σ-additive가 아닌 가법 함수

∆-additive가 아닌 첨가 함수의 예는 공식에 의해$$ 실제 $숫자{\displaystyle \mathbb{}}$ R ${\$displaystyle $\mathb {R}$의 Lebesgue 집합에 $정의$된 μ {\displaystyle $\mutb$ {R$}$을$($를)$통해$ 얻는다.

여기서 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은(는) Lebesgue 측정값과 ${\displaystyle lim}${\$displaystyle \lim}$Banach 제한을 나타낸다$$.$0{\displaystyle \mathrm{}}$μ${\displaystyle (A}$ )${\displaystyle }$μ${\displaystyle (A}$ ) ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0\leq \mu(A)\leq 1}$을 만족하고, A$(\displaystyle \suppy)$이면 $\mu {\displaystyle (\mathrm{A})}$= 0${\displaystyle \mathrm{.}}$ ${\displaystysty \$$mu(A)=0$.$}$

한계의 선형성을 이용하여 이 함수가 가법인지 확인할 수 있다.이 함수가 σ-additive가 아닌 것은 이음새 집합의 순서를 고려함으로써 나타난다.

for ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ The union of these sets is the positive reals, and ${\displaystyle \mu }$ applied to the union is then one, while ${\displaystyle \mu }$ applied to any of the individual sets is zero, so the sum of ${\displaystyle \mu (A_{n})}$is also zero, which prov예를 들면

일반화

어떤 부가적 단면체(예를 들어 모든 그룹 또는 더 일반적으로 벡터 공간)에서 값을 갖는 첨가 함수를 정의할 수 있다.시그마-additivity의 경우, 시퀀스 제한의 개념을 해당 집합에 정의해야 한다.예를 들어 스펙트럼 측정은 바나흐 대수에서 값을 갖는 시그마 가산함수다.양자역학에서 나온 또 다른 예는 양의 연산자 값 측정이다.

참고 항목

• 적층 지도 – Z-모듈 동형성
• 한-콜모고로프 정리
• 측정(수학) – 질량, 길이, 면적 및 부피의 일반화
• σ-finite 조치
• 서명 측정 – 수학에서 측정의 일반화 개념
• 서브모듈러 세트 기능 – 감소하는 리턴 특성을 갖는 서브셋에 대한 기능
• 하위additive set 함수
• τ-additivity

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유 알리크 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 첨가제 재료가 통합되어 있다.

참조