하위additive set 함수

수학에서 하위 가산 집합 함수는 비공식적으로 두 집합의 결합에 대한 함수 값이 각 집합에 대한 함수의 값의 최대 합이라는 속성을 갖는 집합 함수다.이는 실제 가치 함수의 하위 부가성 속성과 주제적으로 관련이 있다.

정의

Let $\Omega$ be a set and $f\colon 2^{\Omega }\rightarrow \mathbb {R}$ be a set function, where $2^{\Omega }$ denotes the power set of $\Omega$ . The function f is subadditive if for each subset $S$ and $\Omega$ $\Oomega$ 의 $T$ $T {\displaystyle$ T $\Omega$ f $f(S)+f(T)\geq f(S\cup T)$ ( $f(S)+f(T)\geq f(S\cup T)$ ) $f(S)+f(T)\geq f(S\cup T)$ + $f(S)+f(T)\geq f(S\cup T)$ ( $f(S)+f(T)\geq f(S\cup T)$ ) $f(S)+f(T)\geq f(S\cup T)$ $f(S)+f(T)\geq f(S\cup T)$ ( $f(S)+f(T)\geq f(S\cup T)$ $f(S)+f(T)\geq f(S\cup T)$ $f(S)+f(T)\geq f(S\cup T)$ $f(S)+f(T)\geq f(S\cup T)$ 가 있다 $f(S)+f(T)\geq f(S\cup T)$ ^[1]^[2]

하위 추가 함수의 예

모든 비음속 서브모듈라 집합함수는 하위첨가함수(비음속 서브모듈라함수 계열은 하위첨가함수 계열에 엄격히 포함되어 있다)이다.

주어진 세트를 커버하는 데 필요한 세트 수를 계산하는 함수는 하위첨가형이다. $T_{1},\dotsc ,T_{m}\subseteq \Omega$ $T_{1},\dotsc ,T_{m}\subseteq \Omega$ , $T_{1},\dotsc ,T_{m}\subseteq \Omega$ … , $T_{1},\dotsc ,T_{m}\subseteq \Omega$ $T_{1},\dotsc ,T_{m}\subseteq \Omega$ $T_{1},\dotsc ,T_{m}\subseteq \Oomega$ 을 $T_1, \dotsc, T_m \subseteq \Omega$ (를) $\cup _{i=1}^{m}T_{i}=\Omega$ $\cup _{i=1}^{m}T_{i}=\Omega$ = $\cup _{i=1}^{m}T_{i}=\Omega$ $\cup _{i=1}^{m}T_{i}=\Omega$ i $\cup _{i=1}^{m}T_{i}=\Omega$ = $\cup _{i=1}^{m}T_{i}=\Omega$ = Ω = $\cup _{i=1}^{m}T_{i}=\Omega$ \ $displaystyle \cup _{i=$ 1}^{ $m$ 으로 한다. $}T_{i}=\Oomega$ $\cup _{i=1}^{m}T_{i}=\Omega$ $f$ $f$ 을(를) 특정 집합을 포괄하는 데 필요한 최소 하위 집합 수로 정의하십시오 $f$ .Formally, $f(S)$ is the minimum number $t$ such that there are sets $T_{i_{1}},\dotsc ,T_{i_{t}}$ satisfying ${\displaystyle S\subseteq \cup _{j=1}^{t$ $}}T_{i_{j$ $그러면$ f $f$ 이(가) 하위첨가형이다 $f$ .

가법 집합 함수의 최대값은 하위 가법(가법 함수의 최소값은 과가법)이다.형식적으로 각 $i\in \{1,\dotsc ,m\}$ $i\in \{1,\dotsc ,m\}$ $i\in \{1,\dotsc ,m\}$ ${\displaystyle$ i\ $in$ \{ $1,\dotsc ,m$ 에 대해 $a_{i}\colon \Omega \to \mathbb {R} _{+}$ : $a_{i}\colon \Omega \to \mathbb {R} _{+}$ → $a_{i}\colon \Omega \to \mathbb {R} _{+}$ + $a_{i}\colon \Omega \to \mathbb {R} _{+}$ {\ $displaystyle a_{i}\colon \Oomega \to \mathb$ { $R}_{+}}$ 을 추가 설정 함수로 설정한다 $a_{i}\colon \Omega \to \mathbb {R} _{+}$ . $f(S)=\max _{i}\left(\sum _{x\in S}a_{i}(x)\right)$ f $f(S)=\max _{i}\left(\sum _{x\in S}a_{i}(x)\right)$ ( $f(S)=\max _{i}\left(\sum _{x\in S}a_{i}(x)\right)$ ) $f(S)=\max _{i}\left(\sum _{x\in S}a_{i}(x)\right)$ = $f(S)=\max _{i}\left(\sum _{x\in S}a_{i}(x)\right)$ i $f(S)=\max _{i}\left(\sum _{x\in S}a_{i}(x)\right)$ ( $f(S)=\max _{i}\left(\sum _{x\in S}a_{i}(x)\right)$ $f(S)=\max _{i}\left(\sum _{x\in S}a_{i}(x)\right)$ $f(S)=\max _{i}\left(\sum _{x\in S}a_{i}(x)\right)$ $f(S)=\max _{i}\left(\sum _{x\in S}a_{i}(x)\right)$ $f(S)=\max _{i}\left(\sum _{x\in S}a_{i}(x)\right)$ i $f(S)=\max _{i}\left(\sum _{x\in S}a_{i}(x)\right)$ ( x $f(S)=\max _{i}\left(\sum _{x\in S}a_{i}(x)\right)$ ) $f(S)=\max _{i}\left(\sum _{x\in S}a_{i}(x)\right)$ ) ${\$ 는 하위 추가 집합 함수다 $f(S)=\max _{i}\left(\sum _{x\in S}a_{i}(x)\right)$ .

부분적 아첨성 집합함수는 서브모듈라 함수의 일반화 및 아첨성 함수의 특수한 경우다.하위첨가함수 $f$ $f$ 이(가) 다음과 같은 정의를 충족하면 하위첨가함수 $f$ f는 더 나아가 부분적으로 하위첨가다.^[1]For every $S\subseteq \Omega$ , every $X_{1},\dotsc ,X_{n}\subseteq \Omega$ , and every $\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{n}\in [0,1]$ , if ${\displaystyle 1_{S}\leq \su$ $m _{i=1}^{n}\alpha$ $f(S)\leq \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f(X_{i})$ ${n1$ }_{X_ ${i$ $f(S)\leq \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f(X_{i})$ ( $f(S)\leq \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f(X_{i})$ ) $f(S)\leq \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f(X_{i})$ $f(S)\leq \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f(X_{i})$ = $f(S)\leq \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f(X_{i})$ $f(S)\leq \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f(X_{i})$ $f(S)\leq \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f(X_{i})$ f $f(S)\leq \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f(X_{i})$ ( $f(S)\leq \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f(X_{i})$ $f(S)\leq \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f(X_{i})$ ) ${\displaysty f(S)\leq \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f(X_{i$ 부분적인 하위 가법함수의 집합은 앞의 단락의 예에서와 같이 가법함수의 최대값으로 표현할 수 있는 함수 집합과 같다.^[1]

참고 항목

인용구

^ ^a ^b ^c Feige, Uriel (2009). "On Maximizing Welfare when Utility Functions are Subadditive". SIAM Journal on Computing. 39 (1): 122–142. doi:10.1137/070680977.
^ Dobzinski, Shahar; Nisan, Noam; Schapira, Michael (2010). "Approximation Algorithms for Combinatorial Auctions with Complement-Free Bidders". Mathematics of Operations Research. 35 (1): 1–13. doi:10.1145/1060590.1060681. S2CID 2685385.

[UF-1] Feige, Uriel (2009). "On Maximizing Welfare when Utility Functions are Subadditive". SIAM Journal on Computing. 39 (1): 122–142. doi:10.1137/070680977.

[DNS-2] Dobzinski, Shahar; Nisan, Noam; Schapira, Michael (2010). "Approximation Algorithms for Combinatorial Auctions with Complement-Free Bidders". Mathematics of Operations Research. 35 (1): 1–13. doi:10.1145/1060590.1060681. S2CID 2685385.

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