교차 모듈

수학에서, 특히 호모토피 이론에서 교차모듈은 G그룹과 H그룹으로 구성되는데, 여기서 G는 자동모형(왼쪽에는${\displaystyle (g}$ , ${\displaystyle h}$) ${\displaystyle g}$ g${\displaystyle h}$ h$${\$displaystyle (g,h)\mapsto$ g$\$cdot h$}$에 의해 H에 작용한다.$$

$H\longrightarrow G,\!}$

그 자체로 G의 결합 작용에 관해서 등가변성이 있다.

${\displaystyle d(g\cdot h)=gd(h)g^{-1}\!}$

소위 Peiffer라는 정체성을 만족시키기도 한다.

${\displaystyle d(h_{1})\cdot h_{2}=h_{1}h_{1}{1}^{-1}\!}$

기원

교차 모듈의 두 번째 아이덴티티에 대한 첫 번째 언급은 J. H. C. 422페이지의 각주 25에 있는 것 같다. 화이트헤드의 1941년 논문은 아래에 인용되었고, '크로스드 모듈'이라는 용어는 그의 1946년 논문은 아래에 인용되었다.이러한 생각들은 그의 1949년 논문 'Combinatorial homotophy II'에서 잘 꾸며져 있었는데, 이 논문에서는 자유 교차 모듈의 중요한 아이디어도 소개되었다.크로스 모듈 및 그 응용 프로그램에 대한 Whitehead의 아이디어는 아래에 나열된 Brown, Higgins, Sivera에 의해 개발되고 책에 설명된다.교차모듈 사상의 몇 가지 일반적 설명은 야넬리제 논문에 설명되어 있다.

예

N을 그룹 G의 정규 부분군이 되게 한다.그러면 포함.

$G\displaystyle d\colon N\longrightarrow G\!}$

N에 G의 결합 작용이 있는 교차 모듈이다.

어떤 그룹 G의 경우, 그룹 링 위의 모듈은 d = 0으로 G-모듈을 교차한다.

어떤 그룹 H의 경우, H에서 Aut(H)로 H의 어떤 요소도 해당 내부 자동화로 보내는 동형성은 교차 모듈이다.

그룹의 중앙 확장 기능 지정

$A\to H\to G\to 1\!}$

굴욕적인 동형상주의

$H\to G\!}$

H에 대한 G의 작용과 함께 교차 모듈을 정의한다.따라서 중앙 확장은 특수 교차 모듈로 볼 수 있다.반대로, 한계 경계가 있는 교차 모듈은 중심 확장을 정의한다.

(X,A,x)가 위상학적 공간의 뾰족한 쌍(즉, A는 X의 하위 공간이고, x는 A의 점)인 경우 호모토피 경계는 다음과 같다.

${\displaystyle d\colon \pi _{2}(X,A,x)\오른쪽 화살표 \pi _{1}(A,x)\!}$

두 번째 상대 호모토피 그룹에서 기본 그룹으로 교차 모듈 구조가 주어질 수 있다.방범기

${\displaystyle \Pi \colon({\text{pipoint Space})({pares})\오른쪽 화살표({\text{crossed modules})}$

특정 콜리미트를 보존한다는 점에서 밴 캄펜 정리 형식을 만족한다.

한 쌍의 교차 모듈에 대한 결과는 다음과 같이 표현될 수 있다.

$F\오른쪽 화살표 E\오른쪽 화살표 B\!}$

공간의 뾰족한 진동으로 기본 그룹의 유도된 지도가 된다.

${\displaystyle d\colon \pi _{1}(F)\오른쪽 화살표 \pi _{1}(E)\!}$

교차 모듈의 구조가 주어질 수 있다.이 예는 대수학 K 이론에 유용하다.n-cube의 공간을 이용한 이 사실의 고차원적인 버전이 있다.

이러한 예는 교차된 모듈을 "2차원 그룹"으로 생각할 수 있음을 시사한다.사실, 이 아이디어는 범주 이론을 사용하여 정밀하게 만들어질 수 있다.교차된 모듈은 본질적으로 범주형 그룹이나 2-그룹, 즉 범주의 범주에 속하는 그룹 개체 또는 그룹 범주에 속하는 범주 개체와 동일하다는 것을 보여줄 수 있다.이는 교차 모듈의 개념이 "그룹"과 "카테고리"의 개념을 혼합한 결과의 한 버전이라는 것을 의미한다.이러한 동등성은 그룹의 고차원 버전에서 중요하다.

공간 분류

모든 교차 모듈

${\displaystyle M=(d\colon H\longrightarrow G)\!}$

분류 공간 BM은 해당 호모토피 그룹이 Coker d, 치수 1, 치수 2의 Ker d 및 치수 2 이상의 0이라는 특성을 가지고 있다.CW 콤플렉스에서 BM에 이르는 지도의 호모토피 클래스를 설명할 수 있다.이를 통해 교차 모듈에서 (지점, 약) 호모토피 2형식이 완전히 설명된다는 것을 증명할 수 있다.

외부 링크

• J. 배즈와 A.라우다, 고차원 대수 V: 2그룹
• 대수 위상에서의 R. 브라운, 조로이드 및 교차 물체
• R. Brown, 고차원 그룹 이론
• R. Brown, P.J. 히긴스, R. 시베라, Nonabelian 대수적 위상: 여과된 공간, 교차된 콤플렉스, 입체적인 호모토피 그룹오이드, 수학의 EMS Tracts. 15, 703페이지. (2011년 8월)
• M. Forrester-Barker, Group 객체 및 내부 범주
• Behrang Noohi, 2-groups, 2-groups and cross-module에 대한 노트
• nlab의 교차 모듈

참조

• 화이트헤드, J. H. C. 호모토피 그룹에 관계 추가 (2) 42 (1941) 409–428.
• Whitehead, J. H. C., 이전 논문 "호모토피 그룹에 관계 추가에 대하여"(2) 47 (1946) 806–810을 참고하십시오.
• 화이트헤드, J. H. C. 콤비네토리얼 호모토피.II, Bull. 아머. 수학. Soc. 55 (1949년) 453–496.
• 제넬리제, G. 내부 교차 모듈.조지아 수학과 J. 10번(2003년), 1번, 99–114.