2그룹

수학에서, 2-그룹, 즉 2차원 상위 그룹은 그룹과 그룹노이드의 특정한 조합이다.2-그룹들은 n-그룹들의 더 큰 계층의 일부분이다.일부 문헌에서는 2그룹을 gr-categories 또는 groupal groupoids라고도 부른다.

정의

2-그룹이란 모든 형태론이 뒤집힐 수 있고 모든 물체가 약한 역수를 갖는 단면체 범주 G이다.(여기서, 물체 x의 약한 역은 xy와 yx가 모두 단위 물체에 이형성이 있는 물체 y이다.)

엄격한 2-그룹

문헌의 대부분은 엄격한 2그룹에 초점을 맞추고 있다.엄격한 2그룹이란 모든 형태론이 뒤집힐 수 없고 모든 물체는 엄격한 역(xy와 yx가 실제로 단위 물체와 동일하도록)을 갖는 엄격한 단면체 범주다.

엄격한 2-그룹이란 범주의 범주에 속하는 그룹 개체로서, 이와 같이 집단적 범주라고도 한다.반대로 엄격한 2-그룹이란 그룹의 범주에 속하는 범주 개체로서, 이와 같이 범주형 그룹이라고도 한다.그것들은 또한 교차된 모듈로도 식별될 수 있으며, 그러한 형태로 가장 자주 연구된다.따라서 일반적으로 2개 그룹은 교차 모듈의 약화로 볼 수 있다.

비록 이것이 일관성 있게 이루어질 수는 없지만, 모든 2-그룹들은 엄격한 2-그룹과 동등하다: 2-그룹 동형성으로 확장되지는 않는다.

특성.

약한 invers는 항상 일관성 있게 할당될 수 있다: 각 물체에 약한 역수를 할당하고 해당 물체를 단면체 범주 G에서 조정 동등하게 만드는 2그룹 G에 functor를 정의할 수 있다.

bicategories B와 객체 x가 주어지면 aut_B(x)라고 쓰여진 b에 x의 자동형성 2 그룹이 있다.개체는 x의 자동형이며, 구분에 의해 곱셈이 주어지며, 형태형은 이들 사이의 변위불능 2형식이다.B가 2-그룹형(그래서 모든 물체와 형태는 약하게 반전할 수 없음)이고 x가 유일한 물체라면, Auto_B(x)는 B에 남아 있는 유일한 데이터다.따라서 2-그룹을 1-객체 2-그룹오이드로 식별할 수 있는 것과 마찬가지로 1-객체 2-그룹오이드로 식별할 수 있으며, 단일-객체 2-분류로 식별할 수 있다.

만약 G가 엄격한 2그룹이라면 G의 개체는 G의 기초그룹이라고 불리는 그룹을 형성하고 G라고₀ 쓰여진다.이것은 임의의 2-그룹에 대해서는 효과가 없을 것이다. 그러나, 만일 이형적 객체를 식별한다면, 동등성 등급은 G의 기본 그룹이라고 불리는 그룹을 형성하고 π₁(G)라고 쓰여진다. (주: 엄격한 2-그룹에 대해서도 기본 그룹은 기본 그룹의 몫의 그룹일 뿐이다.)

단일 범주로서 모든 2-그룹 G에는 단위 객체 I가_G 있다.I의_G 오토모르피즘 집단은 에크만-힐튼 논쟁에 의해 쓰여진 오토(I_G) 또는 π₂(G)에 의한 아벨리아 집단이다.

G의 기본 집단은 π₂(G)의 어느 한 쪽에 작용하며, G의 연관자(일원형 범주로서)는 코호몰로지 집단 H³(π₁(π)(G), π₂(G)의 요소를 정의한다.실제로 2개 그룹은 이런 식으로 분류되는데, 그룹 π₁, 아벨 그룹 π₂, 그룹 action, π에₂ 대한 π의₁ 그룹 작용, H³(π₁,π₂, element)의 원소를 볼 때, π₁(G)은 π에₁ 대한 이형성, π₂₂((, G)에 대한 이형성을 가진 독특한 (최대 동등성) 2개 그룹 G가 있고, 다른 데이터는 이에 상응하는 것이다.

2그룹과 연관된 H³(π₁, π₂)의 원소는 그로텐디크의 제자 호앙 쉬앙 쉰 신에 의해 개발되었기 때문에 때때로 신불변성이라고 불린다.

기본 2그룹

위상학적 공간 X와 그 공간에 점 X가 주어진다면 X에는 of₂(X,x)라고 쓰여진 X에 X의 기본 2개 그룹이 있다.단일 범주로서 물체는 x에서 루프이며, 결합에 의해 곱셈이 주어지며, 형태는 루프 사이의 기준점-호모토피(homotopies)를 보존하는 것으로, 이들 형태는 그 자체가 동모양인지 여부를 식별한다.

반대로 어떤 2-그룹 G를 감안하더라도, 기본 2-그룹이 G이고 호모토피 그룹 π이_n n > 2에 사소한 독특한 (최대 약한 호모토피 동등성) 점연결 공간(X,x)을 찾을 수 있다.이러한 방식으로 2개 그룹은 연결된 점형 약한 호모토피 2형식을 분류한다.이것은 에일렌버그-맥 레인 공간의 건설을 일반화한 것이다.

X가 기준점 x를 가진 위상학적 공간이라면, X에서 X의 기본 그룹은 X에서 X의 기본 2 그룹의 기본 그룹과 같다; 즉,

${\displaystyle \pi _{1}(X,x)=\pi _{1}(\Pi _{2}(X,x))).\!}$

이 사실은 두 그룹 모두에서 "근본적"이라는 용어의 기원이다.

마찬가지로

${\displaystyle \pi _{2}(X,x)=\pi _{2}(\Pi _{2}(X,x))).\!}$

따라서 공간의 첫 번째 호모토피 그룹과 두 번째 호모토피 그룹은 모두 그것의 기본 2 그룹 안에 포함된다.또한 이 2개 그룹은 π₂(X,x)에 대한 π₁(X,x)의 작용과 코호몰로지 그룹 H³(X₁,x), π₂(X,x), element(X,x)의 요소도 정의하기 때문에, X가 뾰족한 연결된 호모토피 2형이라면 X의 포스트니코프 타워를 형성하는 데 필요한 데이터인 것이다.

참고 항목

• N-그룹(범주론)
• 아벨 2그룹

참조

• Baez, John C.; Lauda, Aaron D. (2004), "Higher-dimensional algebra V: 2-groups" (PDF), Theory and Applications of Categories, 12: 423–491, arXiv:math.QA/0307200
• Baez, John C.; Stevenson, Danny (2009), "The classifying space of a topological 2-group", in Baas, Nils; Friedlander, Eric; Jahren, Bjørn; Østvær, Paul Arne (eds.), Algebraic Topology. The Abel Symposium 2007, Springer, Berlin, pp. 1–31, arXiv:0801.3843
• Brown, Ronald; Higgins, Philip J. (July 1991), "The classifying space of a crossed complex", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 110 (1): 95–120, Bibcode:1991MPCPS.110...95B, doi:10.1017/S0305004100070158
• Brown, Ronald; Higgins, Philip J.; Sivera, Rafael (August 2011), Nonabelian algebraic topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids, EMS Tracts in Mathematics, vol. 15, arXiv:math/0407275, doi:10.4171/083, ISBN 978-3-03719-083-8, MR 2841564, Zbl 1237.55001
• Pfeiffer, Hendryk (2007), "2-Groups, trialgebras and their Hopf categories of representations", Advances in Mathematics, 212 (1): 62–108, arXiv:math/0411468, doi:10.1016/j.aim.2006.09.014
• Hoàng, Xuân Sính (1975), "Gr-catégories", Thesis, archived from the original on 2015-07-21
• Cegarra, Antonio Martínez; Heredia, Benjamín A.; Remedios, Josué (2012), "Double groupoids and homotopy 2-types", Applied Categorical Structures, 20 (4): 323–378, arXiv:1003.3820, doi:10.1007/s10485-010-9240-1

외부 링크

• nLab의 2개 그룹
• 2008년 리커카 마테마티카 센터의 범주형 그룹에 관한 워크숍