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대수구조
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수학에서 랙과 quandle은 매듭 도표를 조작하는 데 사용되는 레이디마이스터 움직임과 유사한 공리를 만족하는 이진 연산을 가진 집합이다.

주로 매듭의 불변성을 얻는 데 사용되나, 그 자체로 대수학적 구조로 볼 수 있다.특히 quandle의 정의는 집단 내에서의 결합의 성질을 공리화한다.

역사

1943년 다카사키 미쓰히사(田川寺)는 그가 케이(圭)라고 부르는 대수 구조를 도입하였는데, 이 구조는 나중에 비자발적인 퀀들( qu qu)^[1]로 알려지게 된다.그의 동기는 유한 기하학의 맥락에서 반사의 개념을 포착하기 위한 비 연상 대수 구조를 찾는 것이었다.이 아이디어는 1959년 존 콘웨이와 당시 케임브리지 대학의 학부생이었던 개빈 래디스 사이의 서신에서 재발견되어 일반화되었다.^[2]quandle과 랙에 대한 현대적인 정의가 처음으로 나타나는 곳이 바로 여기에 있다.래빗은 학교에 있는 동안 이 구조물들에 관심을 갖게 되었다.^[3]콘웨이는 그들의 이름을 'wracks'로 바꾸었는데, 이는 부분적으로 동료의 이름에 대한 말장난으로, 그리고 어느 한 사람이 승화구조를 무시하고 결합구조만을 고려할 때 그것이 집단의 잔재(혹은 '틀림과 파멸')로 발생하기 때문이기도 하다.철자 '랙'은 이제 널리 쓰이게 되었다.

이러한 구조들은 1980년대에 다시 표면화되었다: 데이비드 조이스의^[4] 1982년 논문에서,^[5] 세르게이 마트베예프의 1982년 논문에서,^[6] 그리고 에그버트 브리스코른의 1986년 회의 논문에서.^[7]매듭 이론에서의 랙과 랙의 적용에 대한 자세한 개요는 콜린 루크와 로저 펜의 논문에서 찾을 수 있다.^[8]

랙스

랙은 2진수 연산 {\${\displaystyle displaystyle\mathrm{}}$ $\backslash {\displaystyle }$$mathrm$ {R$}$을(를) 갖는$$ $세트{\displaystyle \mathrm{}}$ R ${\$$displaystyle \triangleleleleft }($$으{\displaystyle }$)로 정의할 수 있으며, 이는 a ,${\displaystyle }$b${\displaystyle }$, ${\displaystyle c}$ ${$ R {\$displaystystyle a,b,c\in \matrmatrmat {R}$에 대해 다음과 같은 것이다.

$(b\displaystyle a\proft c)=(a\prettleft b)\propertyleft(a\prettleft c)}$

그리고 모든${\displaystyle }a{\displaystyle }$ , ${\displaystyle b\mathrm{}}$ ${\displaystyle \in }$ R${\displaystyle }$, ${\displaystyle a,b\in \mathrm {R}$에 대해 다음과 같은$$ 고유한 c${\displaystyle }c{\displaystyle }$ ${\displaystyle R\mathrm{}}$ ${\$이(가$)$ 존재한다.

$왼쪽 c=b.}$

이 정의는 terrse이고 일반적으로 사용되지만, 실제로 필요하지 않은 실존적 계량자를 포함하고 있기 때문에 특정 목적에 대해서는 차선책이다.이를 피하기 위해${\displaystyle }$${\displaystyle we\mathrm{}}$R ${\$을$($를) $기록$하여 ${\displaystyle c}$c = b$${\$displaystyle a\triangleleleleft c=b}$을(를) b${\displaystyle a}$ a${\displaystyle }$.$${\$displaystyte b\triangleright$ a$.}$로 지정할 수 있다.

$c=b\iff c=b\light a,}$

따라서

$(b\displaystyle a\proft(b\light a)=b,}$

그리고

$디스플레이 스타일(a\displaystyle, a\left b)\layeright a=b.}$

이 아이디어를 사용하여 랙을 $모든{\displaystyle }$ a${\displaystyle }$, b${\displaystyle }$, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathrm{}}$: ${\$ $\triangleleleft }$ 및$$$▹$ ${\displaystyle \trianglelight }$의 두 이진 연산을 포함하는$$ $세트{\displaystyle \mathrm{}}$ R ${\$$displaystyle \matrmatrm$$${$R}$ {$R}{\$text$}}$로 동등하게 정의할 수 있다.$}}}$

1. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ◃}$(${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ◃}$ ${\displaystyle c}$)${\displaystyle }$= (${\displaystyle ◃}$ ${\displaystyle b}$)${\displaystyle ◃}$ ( ( ${\displaystyle b}$ )$${ (◃){\$displaystyle a\triangleleft (b\triangleleft c)=(a\triangleleft b)\triangleleft (a\triangleleft$ c$)}}($왼쪽 자급자급법)
2. $(c$ ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle ▹}$ ${\displaystyle a}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle ▹}$ a${\displaystyle }$) ${\displaystyle ▹}$(${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ▹}$ ${\displaystyle a}$ ) { ($b$▹ ) ${\displaystyle )}$a ${\displaystyle a}$ a a a a a a a a a a a$$a a a a a a a a$${ { { { { { { a a { { { { ) ) { { ) ) $$) ) ) ) { { { {
3. $(a\displaystyle (a\reft b)\light a=b}$
4. $왼쪽(b\light a)=b}$

$원소{\displaystyle a\mathrm{}}$ $\$ R {\$displaystyle$ $a\in$ \mathrm ${R}}$은(는) $◃$, {\$displaystyle a\$$triangleleleleight b$라는 표현에서 왼쪽에서, 오른쪽에서 작용하고$$ $있다고$ $하면$ 편리하다$.$$$ 세 번째와 네 번째 랙 공리는 이러한 좌우 행동들이 서로 어긋난다고 말한다.이를 통해 랙의 정의에서 이러한 동작 중 하나를 제거할 수 있다.만약 우리가 올바른 행동을 제거하고 왼쪽 행동을 유지한다면, 우리는 처음에 주어진 단어의 정의를 얻는다.

많은 다른 관습들이 선반과 난간에 관한 문헌에서 사용된다.예를 들어, 많은 작가들은 올바른 행동으로 일하는 것을 선호한다.더욱이 기호 $◃{\displaystyle }$ ${\displaystyle \triangleleleft }$ 및$$ $▹{\displaystyle }$ ${\displaystyle \trianglelight }$의 사용은 결코 보편적이지 않다$$. 많은 저자들이 지수 표기법을 사용한다.

${\displaystyle a\putleft b={}^{a}b}$

그리고

$a=b^{a},}b\layeright a=b^{a}})$

다른 많은 사람들이 글을 쓰는 동안

$b\displaystyle b\lineight a=b\star a.}$

그러나 랙의 또 다른 동등한 정의는 랙의 자동화로 각 원소가 랙의 좌우에 작용하는 세트라는 것이며, 왼쪽 작용은 오른쪽 원소의 역행이다.이 정의에서 각 원소가 자동화로 작용한다는 사실은 좌우의 자기분배 법칙을 암호화하고, 또한 이러한 법칙을 다음과 같이 규정한다.

${\displaystyle {\ligned}a\nd{ligned}a\nd{ligned}a\nd{ligned}}ndline light (a\\ \ \left c)\\ndlinelight a&=(c\liglinelight a)}}$

앞서 주어진 정의의 결과.

콴들스

quandle은 $모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Q\mathrm{}}$ ${\$$displaystyle \mathrm$ {Q}에$$ $대해$ 랙$,$ Q${\displaystyle }$, ${\$$displaystyle a\in \mathrm {Q}$로 정의된다.

$왼쪽 a=a,}$

또는 동등하게

$a=a.}$

예제 및 응용 프로그램

모든 집단은 조작이 조합에서 비롯되는 경우 다음과 같이 난동을 부린다.

${\displaystyle {\regated}a\b&=aba^{-1}\b\b\lineight a&=a^{-1}ba\&=a^{-1}\nd{liged}}}}}$

사실, 집단에서의 결합에 의해 충족되는 모든 등가 법칙은 quandle 공리로부터 따온다.그래서 곱셈, 정체성, 반전을 잊어버릴 때 한 집단의 남은 것으로서 진퇴양난이 생각날 수 있고, 오직 결합의 작동만을 기억할 수 있다.

3차원 유클리드 공간의 모든 길들인 매듭에는 '근본적인 퀀들'이 있다.이를 정의하기 위해 매듭보완의 기본 그룹, 즉 매듭 그룹은 관계에서 결합만을 수반하는 프리젠테이션(웨팅어 프리젠테이션)을 가지고 있다는 점에 유의할 수 있다.그래서, 이 프레젠테이션은 또한 진퇴양난의 프레젠테이션으로도 사용될 수 있다.근본적인 진통은 매우 강력한 매듭 불변제다.특히 2노트의 이형성 근본적 난이도가 있으면 3차원 유클리드 공간의 동형성이 있는데, 이는 방향을 반대로 하여 한 매듭을 다른 매듭으로 가져가는 것일 수도 있다.

덜 강력하지만 더 쉽게 계산할 수 있는 매듭 불변성은 매듭 퀀들 Q에서 고정된 퀀들 $Q$까지 동형성을 계산하여 얻을 수 있다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathrm {Q}.}$ Woatinger 프레젠테이션은 매듭 다이어그램의 각 가닥에 대해 하나의 발전기를 가지고 있기 때문에$$, 이러한 불변성은 각 스트레이트를 표시하는 방법을 계산하여 계산할 수 있다.$그리고{\displaystyle \mathrm{}}$ Q${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm {Q}$의 요소에 의해 특정 제약 조건이 적용된다$$.이런 종류의 보다 정교한 불변제들은 쿼들 코호몰로지(quandle cohomology)의 도움으로 만들어질 수 있다.

그알렉산더 퀀들 또한 중요하다. 왜냐하면 그것들은 매듭의 알렉산더 다항식 계산에 사용될 수 있기 때문이다.$한{\displaystyle \mathrm{}}$ 변수에서$$Laurent 다항식의 $Z$${\displaystyle }$[ t${\displaystyle }$, t${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm$ ${$$A}$을(를) Ring [$t ,t^{-1}]$을(를) 초과하는 모듈이 되도록$$ 한다.그러면 알렉산더 quandle은 $A{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$가) 주어지는 왼쪽 동작으로 quandle로 만들어진다$$.

${\displaystyle a\putleft b=tb+(1-t)a.}$

랙은 위상에서 쐐기를 일반화하는 데 유용하며, 쐐기는 둥근 선형 물체(예: 밧줄이나 실)의 매듭을 나타낼 수 있지만, 랙은 매듭을 지을 뿐만 아니라 꼬일 수도 있는 리본을 나타낼 수 있기 때문이다.

모든 $a{\displaystyle }$ ,${\displaystyle b}$$display$ Q , ${\displaystyle a,$$b\in \mathrm {Q}$에 대해 quandle $Q{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$displaystyle a,$b\in \mathrm {$Q},}$은(는) 비자발적인 것으로 알려져$$ 있다.

$왼쪽(a\displaystyle a\b)=b}$

또는 동등하게

$(b\displaystyle)(b\layeright a)\layeright a=b.}$

모든 대칭 공간은 무의식적으로 qu${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\triangleleleft b}$을(를) 통해 '$b{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$을$($를) 반사시킨 결과물이다$$.$$

참고 항목

• 비락과 비칸들
• 김 테이블

참조

외부 링크

• Quandles에 의해 진압된 매듭 Quandaries - 학부생들의 quandle과 또 다른 매듭 불변제에 대한 소개
• 스콧 카터의 퀀들 아이디어 조사
• 가마다 세이이치(가마다 세이이치)가 콴들(Quandles)과 랙(Racks)에서 유래한 매듭 불변제
• 선반, 랙, 스핀들 및 콴들, 알리사 크랜스 편 Lie 2-Algebras 56쪽
• https://ncatlab.org/nlab/show/quandle