디마주어 모듈

수학에서 데마주어(1974a, 1974b)가 도입한 데마주어 모듈은 보렐 하위골격의 작용으로 극한체중공간에 의해 생성되는 유한차원표현의 서브모듈이다.데마주어(1974b, 정리2)가 도입한 데마주어 캐릭터 공식은 데마주어 모듈의 캐릭터를 부여하며, 웨일 문자 공식의 일반화다.데마주어 모듈의 치수는 가장 높은 중량의 다항식이며, 데마주어 다항식이라고 불린다.

디마주어 모듈

g가 Cartan subalgebra h를 포함하는 Borel subalgebra b와 함께 복잡한 semisimple Lie 대수라고 가정하자.g의 unreduccessible 유한차원 표현 V는 h의 eigenspaces의 합으로 갈라지며, 가장 높은 중량 공간은 1차원이며 b의 eigenspace이다.Weyl 그룹 W는 V의 무게에 작용하며, 이 작용에 따른 가장 높은 무게 벡터 of의 접합자는 모두 1차원 무게의 극한 무게다.

데마주어 모듈은 극한 벡터 wλ의 중량 공간에 의해 생성된 V의 b-하위모듈이므로, V의 데마주어 하위 모형은 Weyl 그룹 W에 의해 파라메트리된다.

극단적인 두 가지 경우가 있는데, w가 사소한 경우 데마주어 모듈은 1차원일 뿐이고, w가 W의 최대 길이의 요소라면 데마주어 모듈은 불가해한 표현 V의 전체가 된다.

디마주어 모듈은 Kac-Moody 알헤브라의 최대 중량 표현을 위해 유사한 방법으로 정의할 수 있다. 단, 현재 보렐 하위 알제브라 b 또는 반대편 아발지브라에 의해 생성된 하위 모델을 고려할 수 있기 때문에 2개의 사례가 있다.유한 차원에서는 이러한 것들이 Weyl 그룹의 가장 긴 원소에 의해 교환되지만, 가장 긴 원소가 없기 때문에 더 이상 무한 차원에서는 그렇지 않다.

데마주어 문자식

역사

데마주어 문자 공식은 (데마주어 1974b, 정리 2)에 의해 도입되었다.빅터 칵은 데마주르의 증거가 (Demazure 1974a, 발의안 제11조, 제2항)에 의존하고 있기 때문에 심각한 간극을 가지고 있다고 지적했는데, 이는 거짓이다; 칵의 백범례는 (Joseph 1985, 제4항)를 참조하라.안데르센(1985)은 라마난&라마나단(1985)과 메타&라마나단(1985)의 슈베르트 품종 기하학을 소재로 한 작품을 이용해 드마주어의 캐릭터 공식에 대한 증거를 제시했다.요셉(1985)은 리 대수 기법을 사용하여 충분히 큰 지배적인 최고 중량 모듈에 대한 증거를 제시했다.가시와라(1993)는 리텔만(1995)이 추측한 데마주어 캐릭터 공식의 정제된 버전을 증명했다(많은 경우에서 증명).

성명서

데마주어 캐릭터 공식은

${\displaystyle {\text{Ch}(F(w\lambda )}=\Delta _{1}\Delta _{2}\cdots \Delta _{n}e^{\lambda }}}}}}}}}}}}$

여기:

• w는 Weyl 그룹의 한 요소로, 간단한 뿌리의 반사의 산물로 분해 w = s₁...s가_n 감소한다.
• λ은 가장 낮은 중량이며, e 중량^λ 격자의 그룹 링의 해당 요소.
• Ch(F(w))는 디마주어 모듈 F(w)의 캐릭터다.
• P는 웨이트 격자, Z[P]는 그룹 링이다.
• ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho}$은(는) 기본 가중치의 합이며 도트 동작은 w $w{\displaystyle u}$= ${\displaystyle w(u}$+ ${\displaystyle \rho }$) -${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle w\cdot u=w(u+\rho )-\rho }$에 의해 정의된다$.$
• α에 대한 Δ_α a root는 다음에 의해 정의된 Z-module Z[P]의 내형성이다.

${\displaystyle \Delta _{\alpha }(u)={\frac {u-s_{\alpha }\cdot u}{1-e^{-\alpha }}}}}}}}}}}}:$

및 Δ는_j s의_j 근원인 α에 대한 Δ이다_α.

참조

• Andersen, H. H. (1985), "Schubert varieties and Demazure's character formula", Inventiones Mathematicae, 79 (3): 611–618, doi:10.1007/BF01388527, ISSN 0020-9910, MR 0782239, S2CID 121295084
• Demazure, Michel (1974a), "Désingularisation des variétés de Schubert généralisées", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, 7: 53–88, doi:10.24033/asens.1261, ISSN 0012-9593, MR 0354697
• Demazure, Michel (1974b), "Une nouvelle formule des caractères", Bulletin des Sciences Mathématiques, 2e Série, 98 (3): 163–172, ISSN 0007-4497, MR 0430001
• Joseph, Anthony (1985), "On the Demazure character formula", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, 18 (3): 389–419, doi:10.24033/asens.1493, ISSN 0012-9593, MR 0826100
• Kashiwara, Masaki (1993), "The crystal base and Littelmann's refined Demazure character formula", Duke Mathematical Journal, 71 (3): 839–858, doi:10.1215/S0012-7094-93-07131-1, ISSN 0012-7094, MR 1240605
• Littelmann, Peter (1995), "Crystal graphs and Young tableaux", Journal of Algebra, 175 (1): 65–87, doi:10.1006/jabr.1995.1175, ISSN 0021-8693, MR 1338967
• Mehta, V. B.; Ramanathan, A. (1985), "Frobenius splitting and cohomology vanishing for Schubert varieties", Annals of Mathematics, Second Series, 122 (1): 27–40, doi:10.2307/1971368, ISSN 0003-486X, JSTOR 1971368, MR 0799251
• Ramanan, S.; Ramanathan, A. (1985), "Projective normality of flag varieties and Schubert varieties", Inventiones Mathematicae, 79 (2): 217–224, doi:10.1007/BF01388970, ISSN 0020-9910, MR 0778124, S2CID 123105737