파생 집합(수학)

수학에서, 좀 더 구체적으로 점 집합 위상에서, 위상학적 공간의 하위$$ $집합{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$의 파생 집합은 $S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle S}$의 모든 한계점 집합이다. 보통$$ $S{\displaystyle {}^{}}$.${\displaystyle {}^{}\prime .}$ ${\displaystyle$ S$.'}$로 표시된다.

이 개념은 1872년 게오르크 칸토르에 의해 처음 소개되었고 그는 실제 라인에서 파생된 세트를 연구하기 위해 상당부분 세트 이론을 발전시켰다.

예

R ${\$통상적인 유클리드 위상이 부여된$$ 경우, 하프오픈 간격의 파생 집합 $[{\displaystyle }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle ,}$ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle [0$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ .${\displaystyle [0,1]$이 된다$.{\displaystyle }$$}$

위상(열린 세트)으로 구성된 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$과(와) 1이 포함된$$ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 하위 집합으로 구성된 R {\displaystyle \mathb {R}을$($를) 고려하십시오.$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=}${ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle A:=\{1\}$의 파생 집합은 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle \mathrm{R}}$ ${\displaystyle \setminus }${${\displaystyle }$1${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ A$'=\mathb {R} \setminus \{1\}$이다.$}$^[1]

특성.

${\displaystyle A}$ $및{\displaystyle }$ B$$ ${\displaystyle B}$이($가{\displaystyle }$) 위상학적 공간$({\displaystyle X\mathcal{}}$, F${\displaystyle }$)$$, {\$displaystyle \left(X$, ${\mathcal {F}\right)$의 하위 집합인$$ 경우 파생$$ 집합은 다음과 같은 속성을 갖는다.^[2]

• ${\displaystyle \varnothy '=\varnothy}$
• $(A'\displaystyle a\in\implies a\in)(A\setminus \{a\}})}$
• $(A\displaystyle (A\cup B))'=A'\컵 B'}$
• $A\subseteq B\implies A'\subseteq B'}$

위상 공간의 부분$$ 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S$}$은^[1] $S{\displaystyle {}^{}}$′ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle S'\subseteq S,$ $즉{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$이(가) 모든 한계점을 포함할$$ 때 정확하게 닫힌다.모든 부분 집합 $S{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ S$,}$에 대해 집합 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \cup }$ S ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$이(가) 닫히고$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S${\displaystyle \stackrel{}{\}(<img\; alt="S"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.499ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="82">}}$즉, $집합{\displaystyle \stackrel{}{}}$ S ${\$이(가) 닫히는 것이다.$$^[3]

공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 파생된 집합은 일반적으로 닫을 필요가$$ 없다.For example, if ${\displaystyle X=\{a,b\}}$ with the trivial topology, the set ${\displaystyle S=\{a\}}$ has derived set ${\displaystyle S'=\{b\},}$ which is not closed in ${\displaystyle X.}$ But the derived set of a closed set is always closed. (Proof:Assuming ${\displaystyle S}$ is a closed subset of ${\displaystyle X,}$ which shows that ${\displaystyle S'\subseteq S,}$ take the derived set on both sides to get ${\displaystyle S''\subseteq S',}$ i.e., ${\displaystyle S'}$ is closed in ${\displaystyle X.}$) In addi$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) T₁ 공간인 경우 X ${\displaystyle$ $X$$}$의 모든 부분 집합이 X${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$}$에서 닫힌다$$.

두 하위 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$과 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$이(가) 분리될 때 정확히 분리되며 각각은$$ 다른 파생 집합에서 분리된다(파생 집합은 서로 분리할 필요가 없음).이 조건은 폐쇄를 사용하는 경우가 많으며, 다음과 같이 기록된다.

${\displaystyle \left(S\cap {\t}\right)\cupt({\bar {S}\cap T\right)=\varnothy,}$

그리고 하우스도르프-렌즈 분리 조건으로 알려져 있다.^[6]

두 위상학적 공간 사이의 편향은 첫 번째 공간의 어떤 부분집합에서 이미지의 파생된 집합이 해당 부분집합 집합의 파생된 이미지인 경우에만 동형상이다.^[7]

공백은 단일 점으로 구성된 모든 부분집합이 닫힌 경우₁ T 공간이다.^[8]T₁ 공간에서는 단일 요소로 구성된 집합의 파생 집합이 비어 있다(위의 예 2는 T 공간이₁ 아니다).T₁ 공간에서는 유한 집합의 파생 집합이 비어 있고 더 나아가서

$왼쪽(S-\{p\}\오른쪽)=S'=\left(S\cup \{p\}\right),}$

공간의 모든$$ 부분 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ 및$$ $점{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$에 대해.즉, 파생된 집합은 주어진 집합에 한정된 수의 점을 추가하거나 제거해도 변경되지 않는다.^[9]또한₁${\displaystyle {}^{}}$T ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$에서는 ${\displaystyle {}^{}}$ 집합 $S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle S.$ {\displaystyle$\left(S'\right)\subseteq S'}$을(를${\displaystyle {)}^{}}$ 확인할 수 있다.

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$이(가) 있는 세트 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$을(를) 자체 조밀도라고 하며, 격리된 점을 포함할 수 없다.$S{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ S$}$을(를) 가진 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $S}을($를) perfect라고 한다$$.^[11]마찬가지로, 완벽한 세트는 닫힌 밀도 자체 세트 또는 다른 방식으로 말하면 고립된 포인트가 없는 닫힌 세트다.완벽한 세트는 특히 바이어 범주 정리의 적용에 중요하다.

칸토르-벤딕슨 정리에는 어떤 폴란드 공간도 셀 수 있는 세트와 완벽한 세트의 조합으로 쓸 수 있다고 명시되어 있다.폴란드 공간의 어떤 G_δ 부분집합도 다시 폴란드 공간이기 때문에, 그 정리는 폴란드 공간의 어떤 G_δ 부분집합도 유도된 위상에 관해서 완벽한 집합과 계수 가능한 집합의 결합임을 보여준다.

파생 집합의 측면에서 위상

동형성은 전적으로 파생 집합의 관점에서 설명될 수 있기 때문에, 파생 집합은 위상에서 원시 개념으로 사용되어 왔다.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 지점 세트에는 연산자 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ $S$$^*}$의 $서브셋$을 $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ $X$$}$의 서브셋에$$ 매핑할 수 있으며$$, 이$$ 서브셋은 모든 세트 $S{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ S$}$ 및 임의$$ 포인트 ${\displaysty a}$::

1. ${\displaystyle \varnothing ^{*}=\varnothing }$
2. ${\displaystyle S^{**}\subseteq S^{*}\cup S}$
3. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \in }$ $∗{\$는 ${\displaystyle \in }$(${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \setminus }${ ${\displaystyle a{}^{}}$ ) ${\displaystyle {\ast }^{}}${\$displaystyle$a\$in (S\setminus$\{$a\}^{*}}}}}}}}}}}$을(를) 의미한다$$.
4. ${\displaystyle (S\cup T)^{*}\subseteq S^{*}\cup T^{*}}}}$
5. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S\subseteq T}$은(는) $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ S$^{*}\subseteq T^{*}}}$을(를) 암시한다.

Calling a set ${\displaystyle S}$ closed if ${\displaystyle S^{*}\subseteq S}$ will define a topology on the space in which ${\displaystyle S\mapsto X^{*}}$ is the derived set operator, that is, ${\displaystyle S^{*}=S'.}$

칸토르-벤딕슨 순위

순서 번호 $\alpha {\displaystyle }$ , ${\displaystyle \alpha ,}$의 경우$$ 위상학적 공간의 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ -th$$ 칸토르-벤딕슨 파생상품은 다음과 같이 트랜스피나이트 재귀성을 사용하여 파생된 세트 작업을 반복적으로 적용하여 정의한다.

• ${\displaystyle \displaystyle X^{0}=X}$
• ${\displaystyle \displaystyle X^{\alpha +1}=\왼쪽(X^{\alpha }\오른쪽)}$
• $X$ =< <\$displaystyle$\displaystyle \$displaystyle X^{\lambda }=\bigcap _{\ 알파$<\$lambda$ }$X^{\lampa$$}}}.}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 캔터-벤딕슨 파생상품의 트랜스파이널 시퀀스는 결국 일정해야 한다$$.$X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\displaystyle \alpha }$과 같은$$ 가장 작은 서수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\$$^{\displaysty$ X$.}$의 캔터-벤딕슨 순위라고 한다.

참고 항목

• 부착점 – 일부 닫힘에 속하는 점이 위상학적 공간의 하위 집합을 제공
• 응축점
• 절연점 – S의 다른 점이 없는 부분 집합 S의 점
• 한계점 – 위상학적 공간의 점

메모들

참조

• Baker, Crump W. (1991), Introduction to Topology, Wm C. Brown Publishers, ISBN 0-697-05972-3
• Engelking, Ryszard (1989). General Topology. Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3-88538-006-4.
• Kuratowski, K. (1966), Topology, vol. 1, Academic Press, ISBN 0-12-429201-1
• Pervin, William J. (1964), Foundations of General Topology, Academic Press

추가 읽기

• Kechris, Alexander S. (1995). Classical Descriptive Set Theory (Graduate Texts in Mathematics 156 ed.). Springer. ISBN 978-0-387-94374-9.
• 시르피에스키, 와크와프 F.; 크리거, C. 세실리아(1952년).일반 위상.토론토 대학 출판부.

외부 링크

• 캔터-벤딕슨 파생상품에 대한 플래닛매트릭스의 기사