차등등급 리 대수

수학에서 특히 추상대수와 위상에서 차등등급의 리 대수(또는 dg Lie 대수, dg Lie 대수, dgla)는 호환 가능한 리 대수 및 체인 복합 구조를 더한 등급화된 벡터 공간이다.그러한 물체는 변형 이론과^[1] 합리적인 호모토피 이론에 응용된다.

정의

A differential graded Lie algebra is a graded vector space $L=\bigoplus L_{i}$ over a field of characteristic zero together with a bilinear map $[\cdot ,\cdot ]\colon L_{i}\otimes L_{j}\to L_{i+j}$ and a differential $d:L_{i}\to L_{i-1}$ ${\displaystyle d:$ $L_{i}\to L_{i-1}$ 만족 $d:L_{i}\to L_{i-1}$

[x,y]=(-1)^{ x y +1}[y,x],

등급이 매겨진 자코비 정체성:

{\displaystyle(-1)^{x z }[y,z]+(-1)^{y x }[y,z,x]+(-1)^{ z }[z,[x,y]=0,}

레이브니즈(Leibniz)의 등급 규칙은 다음과 같다.

d[x,y]=[dx,y]+(1)^{ x }[x,dy]}

L의 모든 동질 원소 x, y 및 z에 대해.여기서 유의할 점은 미분류가 도를 낮추고 따라서 이 미분류의 Lie 대수학은 동질학적으로 등급이 매겨진 것으로 간주된다는 것이다.만일 그 대신에 차등 상승된 정도 대신에 차등 등급이 매겨진 Lie 대수학(보통 이 점을 보강하기 위해 등급이 위첨자: $L^{i}$ $L^{i}$ ${\$ 으로 기록된다고 한다. $L^{i}$ 동족학 등급의 선택은 대개 동일하기 때문에 개인의 선호나 상황에 따라 달라진다: 동족학적으로 등급이 매겨진 $L^{i}=L_{-i}$ 은 $L^{i}=L_{-i}$ = $L^{i}=L_{-i}$ - $L^{i}=L_{-i}$ ${\$ 을 설정하여 동족학 등급으로 지정할 수 있다.

차등 등급의 Lie 대수학의 대체 등가 정의에는 다음이 포함된다.

a 체인 복합체 범주의 내부에 있는 Lie 대수 객체.
엄격한 $∞{\$ -algebra $L_{\infty }$

차등 등급이 매겨진 리알헤브라의 형태론은 등급이 매겨진 $f:L\to L^{\prime }$ 지도 $f:L\to L^{\prime }$ f : $f:L\to L^{\prime }$ → L $f:L\to L^{\prime }$ ${\$ map f $:$ 브래킷과 미분, 즉 $f[x,y]_{L}=[f(x),f(y)]_{L^{\prime }}$ [ $f[x,y]_{L}=[f(x),f(y)]_{L^{\prime }}$ x $f[x,y]_{L}=[f(x),f(y)]_{L^{\prime }}$ , $f[x,y]_{L}=[f(x),f(y)]_{L^{\prime }}$ $f[x,y]_{L}=[f(x),f(y)]_{L^{\prime }}$ L $f[x,y]_{L}=[f(x),f(y)]_{L^{\prime }}$ = $f[x,y]_{L}=[f(x),f(y)]_{L^{\prime }}$ [ $f[x,y]_{L}=[f(x),f(y)]_{L^{\prime }}$ ( $f[x,y]_{L}=[f(x),f(y)]_{L^{\prime }}$ ) $f[x,y]_{L}=[f(x),f(y)]_{L^{\prime }}$ , f $f[x,y]_{L}=[f(x),f(y)]_{L^{\prime }}$ ( $f[x,y]_{L}=[f(x),f(y)]_{L^{\prime }}$ ) $f[x,y]_{L}=[f(x),f(y)]_{L^{\prime }}$ ] $f[x,y]_{L}=[f(x),f(y)]_{L^{\prime }}$ $f[x,y]_{L}=[f(x),f(y)]_{L^{\prime }}$ ${\$ _과 통근하는 $f:L\to L^{\prime }$ $L\to$ L $^{\prime }}$ ${L}=[f(x),f(y)]_{L^{\prime }},$ $f(d_{L}x)=d_{L^{\prime }}f(x)$ x $f(d_{L}x)=d_{L^{\prime }}f(x)$ ) $f(d_{L}x)=d_{L^{\prime }}f(x)$ = d $f(d_{L}x)=d_{L^{\prime }}f(x)$ ′ $){\displaystyle f(d_{L}x)=d_$ {{{{{{{{}}}}=d_{{{{{{{}}}}}}}}}}} = d_ $}$ $L^{\prime }}f(x$ 차등 등급의 리 알헤브라와 그 형태는 범주를 정의한다.

제품 및 공동 생산물

The product of two differential graded Lie algebras, $L\times L^{\prime }$ , is defined as follows: take the direct sum of the two graded vector spaces $L\oplus L^{\prime }$ , and equip it with the bracket $[(x,x^{\prime }),(y,y^{\prime })]=([x,y],[x^{\prime },y^{\prime }])$ $[(x,x^{\prime }),(y,y^{\prime })]=([x,y],[x^{\prime },y^{\prime }])$ and differential $D(x,x^{\prime })=(dx,d^{\prime }x^{\prime })$ .

$L*L^{\prime }$ 등급의 L alge L $′{\$ L* $L^{\prime}}}$ 두 리알헤브라의 코프로덕트는 종종 무료 제품이라고 불린다 $L*L^{\prime }$ 그것은 두 개의 원래의 차이를 확장하는 독특한 차이를 가진 두 개의 기본 벡터 공간에서 자유 등급의 리 대수학으로 정의된다.

변형 이론과의 연결

(특히 복잡한 숫자에 대한) 특성 0의 영역에 대한 변형 이론이 주된 적용 대상이다.그 생각은 이성적인 호모토피 이론에 대한 다니엘 퀼렌의 연구로 거슬러 올라간다.이 논문을 공식화하는 한 가지 방법(Vladimir Drinfeld, Boris Feigin, Pierre Deligne, Maximic Kontsevich 등)은 다음과 같을 수 있다.^[1]