디파이티

수학에서 diffiety(/dfafaɪəˌtitiː/)는 현대적인 부분 미분 방정식 이론에서 대수적 품종이 하는 역할, 즉 보다 개념적인 방법으로 해법의 공간을 인코딩하는 것과 같은 역할을 하는 기하학적 물체다. 1984년 알렉상드르 미하일로비치 비노그라도프가 이 말을 차등 다양성 출신의 포르만테우(Portmanteau)라고 신조어한 것에 의해 도입되었다.^[1]

직관적 정의

대수 기하학에서 주요 연구 대상(변수)은 대수 방정식 시스템의 해법 공간(즉, 다항식 집합의 영점 위치)과 그 모든 "영점 결과"를 모델링한다. 즉, 이 집합에 대수적 연산을 적용하면(예: 그러한 다항식을 서로 추가하거나 다른 다항식과 곱하기) 동일한 영점 연산을 발생하게 된다. 즉, 다항식의 초기 집합에 의해 생성된 대수적 이상에 대한 영점을 실제로 고려할 수 있다.

미분 방정식을 다룰 때, 위와 같이 대수적 연산을 적용하는 것 외에, 출발 방정식을 구별할 수 있는 옵션도 있어 새로운 미분 제약을 얻는다. 따라서, 품종의 미분 아날로그는 모든 "차분 결과"와 함께 미분 방정식 시스템의 해법 공간이 되어야 한다. 대수적 이상에 대한 영점을 고려하는 대신에, 사람들은 차동적 이상과 함께 일할 필요가 있다.

따라서 초등 차이점은 특수 분포에 의해 제공되는 추가 $구조$와 함께 $미분방정식{\displaystyle \mathcal{}}$ E ${\displaystyle \infty }$ ${\$$E}{\matcal$}{\$m)$의 무한 연장 $E{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ∞ ${\$matcal$}{\$$m}$로 구성된다$.$ 초급적 디피티는 미분 방정식 이론에서 아핀 대수 품종들이 대수 방정식 이론에서 하는 것과 같은 역할을 한다. 따라서, 품종이나 체계가 교정할 수 없는 붙임성 품종이나 붙임성 체계로 구성되어 있는 것처럼, 국소적으로 보이는 (비원소성) 차이점을 (초등성) 차이의 개체로 정의한다.

형식 정의

미분방정식과 그 해법에 대한 기하학적 접근방법에 의존하는 디파티의 공식적 정의는 아래에서 상기되는 서브매니폴드, 연장, 카르탄 분포의 제트기 개념을 요구한다.

서브매니폴드의 제트 공간

$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$을(를${\displaystyle )}$ a${\displaystyle }$(${\displaystyle m}$ +${\displaystyle e}$ )$${\$displaystyle(m+e)}$ -차원$$ 평활 다지관으로 한다$$. Two ${\displaystyle m}$-dimensional submanifolds ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle M'}$ of ${\displaystyle E}$ are tangent up to order ${\displaystyle k}$ at the point ${\displaystyle p\in M\cap M'\subset E}$ if one can locally describe both submanifolds as zeroes of functions $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 인접 지역에서 정의되며$,$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$에 있는 파생상품은 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$을(를) 주문하는 데 동의한다$.$ 주문 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 접하는 것이 좌표 상 변이 개념이며 동등성 관계라는$$ 것을 보여줄 수 있다.[2] One says also that ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle M'}$ have same ${\displaystyle k}$-th order jet at ${\displaystyle p}$, and denotes their equivalence class by ${\displaystyle [M]_{p}^{k}}$ or ${\displaystyle j_{p}^{k}M}$. The ${\displaystyle k}$-jet space of ${\displaystyle k}$-submanifolds of ${\displaystyle E}$, denoted by ${\displaystyle J^{k}(E,m)}$, is defined as the set of all ${\displaystyle k}$-jets of ${\displaystyle m}$-dimensional submanifolds of ${\displaystyle E}$ at all points of $$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle$ E$\}:$ $${\displaystyle J^{k}(E,m):=\\{[M]_{p}^{k}}~{p\in M,~{\text{dim}(M)=M,M\subset E\{submanifold}}\}}}}}$$ 주어진 제트${\displaystyle }$[${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle p_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$은(는) $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ p$}$을(를$)$ $중심$으로 ${\displaystyle M_{}^{}}$ {\$displaystyle$ M}을(를$)$ 설명하는 $함수$ 중 k {\$displaystystyle$ $k$${\displaystyle {}_{}^{}}$을(를$)$ 주문할 때까지 파생상품에 의해 로컬로 결정되므로$,$ 이러한${\displaystyle {}^{}}$함수를 사용할 수 있다$.$$u_{\sigma }^{j}}$을(를) 제공하고 $($, ${\displaystyle m}$ ) {\$displaystyle J^{k$}(E$,m)}$에 부드러운 다지관의 자연 구조를 제공한다$$.[2] For instance, for ${\displaystyle k=1}$ one recovers the Grassmannian of ${\displaystyle n}$-dimensional subspaces of ${\displaystyle TE}$. More generally, all the projections ${\displaystyle J^{k}(E)\to J^{k-1}E}$ are fibre bundles.

${\displaystyle }$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M$$}$과(와$)$ $M{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ {\$displaystyle p\in E}$에서 1제트가 동일하고, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle$ $M$$}$과(와) $M{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {″}^{}}$ ${\$ M$''$은 3제트가 동일하다$$$$.

특히 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$이(가) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -차원$$ $다지관{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle X}$ 위에 섬유화된 다지관 구조를 가지고$$ 있는 경우$,$ $\pi {\displaystyle }$: E${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$의$$로컬 섹션 그래프에 의해 $주어지는$ E${\$$displaystyle$ $\pi :$$E\to X$ 그러면 서브매니폴드의 제트 개념은 섹션의 제트라는 표준 개념으로 요약되며, 제트 번들 $J{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ (${\displaystyle {}^{}\pi }$) ${\displaystyle J^{k}(\pi$)은 ${\displaystyle {Jk}^{}}$(${\displaystyle E}$ ${\displaystyle ,}$ m${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ J$^{k}(E,m)$의 개방적이고 밀도 높은 서브셋으로 판명된다$.$^[3]

서브매니폴드의 연장

서브매니폴드 $M{\displaystyle }$⊆ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M\subseteq E}$의 k ${\displaystyle k}$ -jet$$ 연장은

${\displaystyle j^{k}(M):M\오른쪽 화살표 J^{k}(E,m),\quad p\mapsto [M]_{p}^{k}}}}}}}$

The map ${\displaystyle j^{k}(M)}$ is a smooth embedding and its image ${\displaystyle M^{k}:={\text{im}}(j^{k}(M))}$, called the prolongation of the submanifold ${\displaystyle M}$, is a submanifold diffeomorphic to ${\displaystyle M}$.

제트 공간의 카르탄 분포

A space of the form ${\displaystyle T_{\theta }(M^{k})}$, where ${\displaystyle M}$ is any submanifold of ${\displaystyle E}$ whose prolongation contains the point ${\displaystyle \theta }$, is called an ${\displaystyle R}$-plane (or jet plane, or Cartan plane) at the point ${\displaystyle \theta \in J^k(}$${\displaystyle \theta \in J^{k}(E,m)}$. The Cartan distribution on the jet space ${\displaystyle J^{k}(E,m)}$ is the distribution ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq T(J^{k}(E,m))}$ defined by

여기서 $C{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\$theta $}}$은(는)${\displaystyle {}^{}}\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle {Jk}^{}}$ (E , m${\displaystyle }$) ${\displaystyle \theta \in J^{k}(E,m)}$에 있는 모든 $R{\displaystyle }$ ${\displaysty R}$ -plane의$$ 스팬이다$.$

미분 방정식

A differential equation of order ${\displaystyle k}$ on the manifold ${\displaystyle E}$ is a submanifold ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$; a solution is defined to be an ${\displaystyle m}$-dimensional submanifold ${\displaystyle S\subset {\mathcal {E}}}$ such 저 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle E\mathcal{}}$ ${\$ $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $E$$}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에 대한 섬유형 다지관일 때, 제트 번들과 그 해법에 대한 부분 미분 방정식의 개념을 회복시켜 수학적인 개념을 설명하는 좌표 없이 설명할 수 있다$.$ysis. 제트 번들은 기하학에서 발생하는 많은 방정식을 다루기에 충분하지만, 서브매니폴드의 제트 공간은 라그랑지아 서브매니폴드와 최소 표면과 같이 주어진 다지관의 서브매니폴드에 부과되는 몇 가지 PDE를 다루는데 사용되는 더 큰 일반성을 제공한다.

제트 번들 사례에서와 같이 카르탄 분포는 순수 기하학적 용어로 용액을 인코딩할 수 있기 때문에 미분 방정식에 대한 알헤브로-지오메트리 접근법에서 중요하다. Indeed, a submanifold ${\displaystyle S\subset {\mathcal {E}}}$ is a solution if and only if ${\displaystyle T_{\theta }S\subset {\mathcal {C}}_{\theta }}$ for all ${\displaystyle \theta \in S}$.

또한 PDE $E{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {Jk}^{}}$(${\displaystyle E}$, ${\displaystyle m}$) ${\displaystyle {\mathcal {E}\subset J^{k}(E,m)}$의 카르탄 분포도 보다$$ 본질적으로 살펴볼 수 있으며, 이를 정의한다.

${\displaystyle {\mathcal{C}({\mathcal{E}):=\{{\mathcal{C}_{\theta }\cap T_{\theta }}({\mathcal {E}})~~\theta \in {\\mathcal}}}$

이러한 의미에서 쌍$({\displaystyle E}$, ${\displaystyle C\mathcal{}}$( E$){\displaystyle({\mathcal{E},{\mathcal{C})({\mathcal{E})$은 $미분방정식{\displaystyle \mathcal{}}$ E${\$의 해법에 대한 정보를 인코딩한다$.$

PDE 연장

순서 $l{\displaystyle }$ ${\displaystyle l}$의 차등 방정식 $E{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle J^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle E}$, m${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal$ {$E}\subset$ J^{l$}(E,m)$을 지정하면 해당 k ${\displaysty k}$ -th$$ 연장은 $다음$과 같이 정의된다$.$

${\displaystyle {\mathcal{E}^{k}:=J^{k}({\mathcal {E},m)\cap J^{k+l}(E,m)\subseteq J^{k+l}(E,m)}}$

where both ${\displaystyle J^{k}({\mathcal {E}},m)}$ and ${\displaystyle J^{k+l}(E,m)}$ are viewed as embedded submanifolds of ${\displaystyle J^{k}(J^{l}(E,m),m)}$, so that their intersection is well-defined. 단, ${\displaystyle {그러한}^{}}$ 교차점이 반드시 다지관은 아니므로 E $k{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\$는 $순서{\displaystyle }$ k${\displaystyle }$+ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle k+l}$의 방정식이 아닐 수 있다$$$.$ 따라서 $적어도{\displaystyle \mathcal{}}$ 첫 번째 연장이 ${\displaystyle {Jk}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle E}$, m$){\displaystyle J^{k+1}(E,m)$의 하위 관리인일 수 있도록 일반적으로$E$ {\displaystyle {\m}이(가$)$ "충분히 양호함"을$$ 요구한다$.$

지금부터 모든 연장 $E{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$은(는) 부드러운 다지관이며 모든 $돌출{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle E^{}{}^{}}$k →${\displaystyle {}^{\mathcal{}}}$ - ${\displaystyle 1^{}}${\$displaystyle{E}}\mathcal{E}^{k-1}은$$($는) 부드러운 돌출부하관이라고 할 것을 요청하겠다. 그런 다음 그러한 시퀀스의 역한계는 이 정의가 다음과 같은 경우로 연장 정의를 확장한다.

아래에서는 모든 연장 $E{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$이(가) 부드러운 다지관이며$$ 모든 돌출 ${\displaystyle E^{}}$ ${\displaystyle k^{}{}^{}}$→ ${\displaystyle {\mathrm{E}}^{}}$- 1 ${\$) 부드러운$$ 돌출부하관이라고 가정한다. 그런 다음 그러한 시퀀스의 $역한계$는 k ${\displaystyle k}$이(가) 무한대로 가는$$ 경우까지 연장 정의를 확장하고, 공간 $E{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\infty }^{\mathrm{}}}$ ${\$은 무한 차원 다지관의 구조를 가지고 있다$$.

차이 정의

An elementary diffiety is a pair ${\displaystyle ({\mathcal {E}}^{\infty },{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty }))}$ where ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$ is a ${\displaystyle k}$-th order differential equation on some manifold, ${\displaystyle {\mathcal{E}}^{\mathrm{\infty }}}$${\displaystyle {\mathcal{E}^{\nft}}$ 무한연장$$ 및 $∞){\displaystyle {\mathcal {$C}({\$mathcal{E}^{\infty })}$ 카르탄$$ 분포. 유한한 경우와는 달리 카르탄 $분포{\displaystyle \mathcal{}}$ C${\displaystyle ({\mathcal{}}^{\mathrm{}}}$ $){\displaystyle${\$mathcal {C}({\mathcal{E}^{\inflt }}})$가 $m{\displaystyle }$ ${\displaystym m}$ -dension이고$$ 비자발적이라는 것을 보여줄 수 있다는 점에 유의하십시오.

diffiety는 ${\displaystyle 3중\mathcal{}}({\displaystyle O\mathcal{}}$, F${\displaystyle }$(${\displaystyle }$O )${\displaystyle }$, ${\displaystyle C\mathcal{}}$( )${\displaystyle({\mathcal{O},{\mathcal{F}},{\mathcal$ {$O}),{\mathcal{C}({\mathcal${O$\})\}\}\}\}\}\}$로 구성되어 있다.

• a (일반적으로 무한 차원) 다지관 $O{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$
• 부드러운 함수 $F{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle O}$) ${\displaystyle {\mathcal {F}({\mathcal {O})$의 대수
• 유한 차원 분포 $C{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle O}$) ${\displaystyle {\mathcal {C}({\mathcal {O$

such that ${\displaystyle ({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))}$ is locally of the form ${\displaystyle ({\mathcal {E}}^{\infty },{\mathcal {F}}({\mathcal {E}}^{\infty }),{\mathcal {C}}({$$\mathcal {E}}^{\infty }))}$, where ${\displaystyle ({\mathcal {E}}^{\infty },{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty }))}$ is an elementary diffiety and ${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {E}}^{\infty })}$ denotes the algebra of smooth functions on ${\di$$splaystyle {\mathcal{E}^{\nflt$ $\}\}.$ 여기서는 대수 F${\displaystyle }$($){\displaystyle {\mathcal {F}({\mathcal {O})}$에 해당하는 Zariski 위상에 관한 적절한 국소화를 로컬로 의미한다$.$

The dimension of ${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {O}})}$ is called dimension of the diffiety and its denoted by ${\displaystyle \mathrm {Dim} ({\mathcal {O}})}$, with a capital D (to distinguish it from the dimension of ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ as a manifold).

조화의 형태론

A morphism between two diffieties ${\displaystyle ({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))}$ and ${\displaystyle ({\mathcal {O}}',{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}'),{\mathcal {C}}({\mathcal {O'}}))}$ consists of a smooth map ${\displaystyle \Phi :{\mathcal {O}}\rightarrow {\mathcal {O}}'}$ whose pushforward preserves the Cartan distribution, i.e. such that, for every point ${\displaystyle \theta \in {\mathcal {O}}}$, one has ${\displaystyle d_{\theta$$}\Phi({\mathcal{C}_{\theta }})\subseteq {\mathcal$ {$C}{\Phi(\theta$ $)\}\}\}\}\}.$

차이점은 형태와 함께 미분방정식의 범주를 정의한다.^[3]

적용들

비노그라도프 수열

비노그라도프 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ - 스펙트럼$$ 시퀀스(또는 줄여서 비노그라도프 시퀀스)는 차등 분포 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 이용하여 미분방정식의 공식 솔루션 공간의 특정 특성을 조사하는 데 사용할 수 있다.$}}$.^[4]

차이점$({\displaystyle O\mathcal{}}$$$, ${\displaystyle F}$( ${\displaystyle O}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle C\mathcal{}}$( ${\displaystyle O\mathcal{}}$)$){\displaystyle({\mathcal{O},{\mathcal{F}},{\mathcal{O}),{\mathcal{C}({\$$mathcal {$$O})}}}$을(를$)$에 대한 차이점 형태의 대수학을 고려하십시오$.$

${\displaystyle \Oomega({\mathcal{O}):=\sum _{i\geq 0}\오메가 ^{i}({\mathcal {O})}}$

해당 de Rham 복합체:

${\displaystyle C^{\inful }({\mathcal {O})\longrightarrow \O1}Oomega ^{1}({\mathcal {O})\longrightarrow \cdots }}$

그것의 공동 호몰로지 그룹 ${\displaystyle Hi\mathcal{}{}^{}}$( O${\displaystyle }$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle \text{ker}}$ ${\displaystyle ({}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \text{im}}$(${\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle 1_{}}$ )${\displaystyle H^{i}({\mathcal {O}):$$={\text{d}}}({\text{d}_{i})/{\text{im}}}({\text{d}}}}})$에는 PDE에 대한 일부 구조 정보가 포함되어 있지만$$, 푸앵카레 레마 때문에 모두 로컬로 사라진다. 따라서 훨씬 더 많은 현지 정보를 추출하기 위해서는 카르탄 분포를 고려하고 보다 정교한 시퀀스를 도입할 필요가 있다. 이를 위해.

${\displaystyle {\mathcal {C}\O}\Oomega({\mathcal {O}})=\sum _{i\mathcal {C}\O}\subseteq \mathcal {O}}}}}}$

$분산{\displaystyle \mathcal{}}$ C$${\$displaystyle${\$mathcal {O}$에 대한 제한이 사라지는$$$$ O ${\$에 대한 차등 형식의 하위 집합입니다.

${\displaystyle {\mathcal{C}\Oomega ^{p}({\mathcal {O}):=\\{w\in \Omathcal{O}}\mid w(X_{1},\cdots,X_{p})=0\quad \forall ~X_{1},ldots,X_{p}\mathcal {C}}({\mathcal {O})\}.}$

Note that ${\displaystyle {\mathcal {C}}\Omega ^{i}({\mathcal {O}})\subseteq \Omega ^{i}({\mathcal {O}})}$ is actually a differential ideal since it is stable w.r.t. to the de Rham differential, i.e. ${\displaystyle {\text{d}}({\math$$cal{C}\Oomega ^{i}({\mathcal {O})\subset {\mathcal {C}\Oomega ^{i+1}({\mathcal {O})}$.

Now let ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}\Omega ({\mathcal {O}})}$ be its ${\displaystyle k}$-th power, i.e. the linear subspace of ${\displaystyle {\mathcal {C}}\Omega }$ generated by ${\displaystyle w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k},~w_{i}\in {\mat$$hcal {{C}\오메가$ 그러면 여과물을 얻는다.

${\displaystyle \O}\supset {\mathcal {C}\Mathcal {O}\supset {\mathcal {O}}\supset {\mathcal {C}{2}}\O}Oomega}\supset \codots}}}}}}}}$

그리고 모든 이상 $C{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathrm{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{C}^{k}\Oomega}$이(가) 안정적이기$$ 때문에 이 여과가 다음 스펙트럼 시퀀스를 완전히 결정한다.

${\displaystyle {\mathcal {C}}E({\mathcal {O}})=\{E_{r}^{p,q},{\text{d}}_{r}^{p,q}\}\qquad {\text{where}}\qquad E_{0}^{p,q}:={\frac {{\mathcal {C}}^{p}\Omega ^{p+q}({\mathcal {O}})}{{\mathcal {C}}^{p+1}\Omega ^{p+q}({\mathcal {O}})}},\qquad {\text{and}}\qquad E_{r+1}^{p,q}:=H(E_{r}^{p,q},d_{r}^{p,q}).}$

위의 여과물은 각 도, 즉 매 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle k\geq$ 0$}$에 대해 유한하다.

${\displaystyle \Oomega^{k}({\mathcal {O})\supset {\mathcal {1}{{\mathcal {O}\c}\supset \cdots \supset {\mathcal {c}}{k+1}\mathc}{k}}}}}}, {O}=0}, {O}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}},$

스펙트럼 시퀀스가 디$$ 램 코호몰로지 $H{\displaystyle }$( ${\displaystyle O}$) ${\displaystyle H({\mathcal{O}})$로 수렴되도록 한다. 따라서 원래의 PDE에 대한 정보를 복구하기 위해 스펙트럼 시퀀스 순서의 조건을 분석할 수 있다. 예를 들어,^[5]

• ${\displaystyle E_{1}^{0,n}}$ corresponds to action functionals constrained by the PDE ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$. In particular, for ${\displaystyle {\mathcal {L}}\in E_{1}^{0,n}}$, the corresponding Euler-Lagrange equation is ${\displaystyle {\t$$ext{d}_{1}^{0,n}{\mathcal{L}=0}$.
• ${\displaystyle E_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{},}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$- ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\$은(는) $E{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 솔루션에 대한 보존법에 해당한다$.$
• ${\displaystyle E_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}: $E{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ 용액의 보르디즘 특성 등급으로 해석된다$.$

많은 고차 용어들은 아직 해석을 하지 않고 있다.

변동 이콤플렉스

특정한 경우, 섬유 다지관 $\pi$로 ${\displaystyle \mathrm{시작}}$하는 경우${\displaystyle }$: ${\displaystyle E}$→ X ${\displaystyle \pi$:$E\to X}$ and its jet bundle ${\displaystyle J^{k}(\pi )}$ instead of the jet space ${\displaystyle J^{k}(E,m)}$, instead of the ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-spectral sequence one obtains the slightly less general variational bicomplex. 보다 정확히 말하면, 어떤 바이콤플렉스가든 두 가지 스펙트럼 시퀀스를 결정한다. 변동 바이콤플렉스에 의해 결정되는 두 스펙트럼 시퀀스 중 하나는 정확히 $비노그라도프{\displaystyle \mathcal{}}$ C ${\$ - 스펙트럼$$ 시퀀스다. 그러나 가변 바이콤플렉스는 비노그라도프 수열과는 독립적으로 개발되었다.^[6][7]

스펙트럼 시퀀스의 조건과 유사하게 변화형 이콤플렉스의 많은 용어는 고전적 장 이론에서 물리적인 해석을 내릴 수 있다. 예를 들어 작용 기능, 보존 전류, 게이지 전하 등에 해당하는 코호몰로지 클래스를 얻는다.^[8]

이차 미적분학

비노그라도프는 주어진 PDE 시스템의 해결 공간(즉, 주어진 분산성의 적분 다지관의 공간)에 대한 미분학의 개념을 공호학적 용어로 공식화하기 위해 이차 미적분학이라고 알려진 이론을 개발했다.^{[9][10][11][3]}

즉, 이차 미적분학에서는 벡터장, 미분형, 미분 연산자 등의 대체물을 (일반적으로) 매우 단수적인 공간에 제공하는데, 이차 미적분학은 이러한 물체를 통상적인 (매끄러운) 방식으로 정의할 수 없다.^[12]

이차 미적분학은 공변량 위상 공간, 즉 라그랑기 장 이론과 연관된 오일러-라그랑주 방정식의 해법 공간과도 관련될 수 있다.^[13]

참고 항목

• 이차 미적분학 및 공생물리학
• 제트 번들의 부분 미분 방정식
• 미분 이상
• 상쇄 알헤브라에 대한 미분학

대수 기하학에서 사상을 일반화하는 또 다른 방법은 미분 대수 기하학이다.

참조

외부 링크

• 디파이티 연구소(2010년 이후 동결)
• Levi-Civita Institute(위 사이트 프로세서)
• 미분방정식의 기하학