직접다중촬영법

수학적 일반 미분방정식으로 알려진 수학 영역에서 직접 다중촬영법은 경계값 문제해결을 위한 수치적 방법이다.이 방법은 해결책을 모색하는 간격을 몇 개의 더 작은 간격으로 나누고, 더 작은 간격마다 초기 가치 문제를 해결하며, 전체 간격에 대한 해결책을 형성하기 위해 추가적인 매칭 조건을 부과한다.이 방법은 단일 사격법에 비해 비선형성 분포와 수학적 안정성이 크게 개선된 것으로 평가된다.

싱글 슈팅 방식

사격 방법은 다음과 같이 경계값 문제(BVP)를 해결하는 데 사용할 수 있다.

y"=f(t,y(t),y'(t),y'(t)),\property y(t_{a}=y_{a}},\put y(t_{b})=y_{b},},

시간_a t와_b t가 알려지고 우리가 찾는.

y(t),\display t\in(t_{a},t_{b}).

단발 사격 방법은 다음과 같이 진행한다.y(t; t₀, y₀)는 초기값 문제(IVP)의 해결책을 나타내도록 한다.

y''=f(t)=f(t,y(t),y'(t)),\message y(t_{0})=y_{0},\message y'(t_{0})=p

함수 F(p)를 y(t_b; p)와 지정된 경계_b 값 y: F(p) = y(t_b; p) - y의_b 차이로 정의하십시오. 그러면_b 경계 값 문제의 모든 솔루션(y_a, y_b)은 y_a=y이며₀ y는 F의 루트에 해당한다.이 뿌리는 특정 방법 의존적 전제조건이 충족된다는 점을 감안할 때 어떤 뿌리 찾기 방법으로도 해결할 수 있다.이것은 종종 y와_a y에_b 대한 초기 추측을 요구할 것이다.전형적으로, 분석적인 뿌리 발견은 불가능하며, 이 과업에는 뉴턴의 방법과 같은 반복적인 방법이 사용된다.

경계값 문제의 수치해결을 위한 싱글 슈팅의 적용은 여러 가지 단점을 안고 있다.

주어진 초기 값 y에₀ 대해 IVP의 솔루션은 분명히 우리가 뿌리를 찾는 함수 F를 평가할 수 있도록 [t_a,t_b] 간격에 존재해야 한다.

매우 비선형적이거나 불안정한 ODE의 경우, 이를 위해서는 초기 추정 y가₀ 실제 용액 y에_a 극히 근접하지만 알 수 없는 용액 y에 근접해야 한다.참 용액에서 약간 벗어난 초기 값은 특이점 또는 ODE 해결사 방법의 파괴로 이어질 수 있다.그러나 반복적인 뿌리 찾기 방법에서는 이런 해결책의 선택이 불가피하다.

유한 정밀도는 전체 시간 간격에서 ODE의 해법이 가능한 초기 값을 찾는 것을 전혀 불가능하게 할 수 있다.
ODE의 비선형성은 사실상 F의 비선형성이 되며, 비선형 시스템을 해결할 수 있는 뿌리 찾기 기술이 필요하다.그러한 방법은 일반적으로 비선형성이 심해질수록 더 느리게 수렴된다.경계값 문제 해결사의 수행은 이로 인해 어려움을 겪는다.
심지어 안정적이고 양호한 상태의 ODE도 불안정하고 좋지 않은 BVP를 만들 수 있다.초기 값 추측 y를₀ 약간 변경하면 ODEs 솔루션 y(t_b; t_a, y₀)와 따라서 루트를 추구하는 함수 F의 값에 매우 큰 단계가 발생할 수 있다.비분석적 뿌리 찾기 방법은 이러한 행동에 거의 대처할 수 없다.

멀티슈팅

직접 다중 촬영 방법은 격자점을 추가하여 간격[t_a, t_b]을 분할한다.

t_{a}=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{N}=t_{b}

t_{a}=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{N}=t_{b}

=

t_{a}=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{N}=t_{b}

t_{a}=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{N}=t_{b}

<

t_{a}=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{N}=t_{b}

>

t_{a}=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{N}=t_{b}

N

t_{a}=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{N}=t_{b}

=

t_{a}=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{N}=t_{b}

b

{\

방법은 0 grid k t_k N - 1로 모든 격자점 t에서 y 값을 추측하는 것으로 시작한다.이_k 추측들을 y로 나타내시오.y(t; t, y_k_k)는 k번째 격자점, 즉 초기값 문제의 해결책에서 나오는 솔루션을 나타내도록 한다.

y'(t)=f(t,y(t),\display y(t_{k})=y_{k}.

이 모든 솔루션은 y 값이 그리드 포인트에서 일치할 경우 연속적인 궤적을 형성하기 위해 압착될 수 있다.따라서 경계값 문제의 해법은 다음과 같은 N 방정식 시스템의 해법에 해당한다.

{\begin{aligned}&y(t_{1};t_{0},y_{0})=y_{1}\\&\qquad \qquad \vdots \\&y(t_{N-1};t_{N-2},y_{N-2})=y_{N-1}\\&y(t_{N};t_{N-1},y_{N-1})=y_{b}.\end{정렬}}

중심 N-2 방정식은 일치 조건이며, 첫 번째와 마지막 방정식은 경계 값 문제의 조건 y(t_a) = y 및_a y(t_b) = y이다_b.다중 사격법은 이 방정식 체계를 풀어서 경계값 문제를 해결한다.일반적으로 뉴턴의 방법의 수정은 후자의 과제에 사용된다.

다중 촬영 및 병렬 처리 방법

초기 가치 문제에 대한 병렬 해결기를 도출하기 위해 복수의 슈팅이 채택되었다.^[1]예를 들어 파라알 병렬인 시간 통합 방법은 자코비안의 특별한 근사치를 갖는 다중 슈팅 알고리즘으로 도출할 수 있다.^[2]

참조

^ Kiehl, Martin (1994). "Parallel multiple shooting for the solution of initial value problems". Parallel Computing. 20 (3): 275–295. doi:10.1016/S0167-8191(06)80013-X.
^ Gander, Martin J.; Vandewalle, Stefan (2007). "Analysis of the Parareal Time‐Parallel Time‐Integration Method". SIAM Journal on Scientific Computing. 29 (2): 556–578. CiteSeerX 10.1.1.92.9922. doi:10.1137/05064607X.

섹션 7.3.5 및 그 이상을 참조하십시오Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95452-3.
Bock, Hans Georg; Plitt, Karl J. (1984), "A multiple shooting algorithm for direct solution of optimal control problems", Proceedings of the 9th IFAC World Congress, Budapest
Morrison, David D.; Riley, James D.; Zancanaro, John F. (December 1962), "Multiple shooting method for two-point boundary value problems" (PDF), Commun. ACM, 5 (12): 613–614, doi:10.1145/355580.369128

[1] Kiehl, Martin (1994). "Parallel multiple shooting for the solution of initial value problems". Parallel Computing. 20 (3): 275–295. doi:10.1016/S0167-8191(06)80013-X.

[gander2007-2] Gander, Martin J.; Vandewalle, Stefan (2007). "Analysis of the Parareal Time‐Parallel Time‐Integration Method". SIAM Journal on Scientific Computing. 29 (2): 556–578. CiteSeerX 10.1.1.92.9922. doi:10.1137/05064607X.

[1]

[2]

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