디리클레 문제

수학에서 디리클레 문제는 지역 경계에서 규정된 값을 취하는 특정 지역 내에서의 특정 부분미분 방정식(PDE)을 해결하는 함수를 찾는 문제다.

디리클레 문제는 원래 라플레이스의 방정식을 위해 제기되었지만, 많은 PDE에서 해결할 수 있다. 그 경우에 그 문제는 다음과 같이 진술할 수 있다.

R의ⁿ 한 지역의 경계 어디에나 값을 갖는 함수 f를 고려할 때, 내부에서는 u가 조화롭고 경계에서는 u = f가 연속적으로 두 번 다를 수 있는 고유한 연속함수가 있는가?

이 요건을 디리클레 경계 조건이라고 한다. 주요 쟁점은 해결책의 존재를 증명하는 것이다; 독특성은 최대 원리를 사용하여 증명될 수 있다.

역사

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디리클레 문제는 1828년 발간된 전기와 자력의 이론에 수학적 분석의 적용에 관한 논문에서 일반적인 경계 조건을 가진 일반 영역의 문제를 연구한 조지 그린에게 거슬러 올라간다. 그는 그 문제를 지금 우리가 그린의 기능이라고 부르는 것을 구성하는 문제로 축소시켰고, 그린의 기능은 어떤 영역에도 존재한다고 주장했다. 그의 방법은 오늘날의 기준으로는 엄격하지 않았지만, 그 아이디어들은 이후의 전개에 큰 영향을 미쳤다. The next steps in the study of the Dirichlet's problem were taken by Karl Friedrich Gauss, William Thomson (Lord Kelvin) and Peter Gustav Lejeune Dirichlet, after whom the problem was named, and the solution to the problem (at least for the ball) using the Poisson kernel was known to Dirichlet (judging by his 1850 paper submitted to the Prussian a캐드 켈빈 경과 디리클레트 경은 "디리클레트의 에너지"의 최소화에 기초한 가변적 방법에 의한 문제의 해결책을 제시했다. 한스 프로이덴탈(과학 전기 사전, 제11권)에 따르면, 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)은 그가 디리클레트의 원리라고 부르는 방법에 기초하여 이 변이적인 문제를 푼 최초의 수학자였다. 고유한 해결책의 존재는 "물리적 주장"에 의해 매우 그럴듯하다. 즉, 경계에 대한 모든 전하 분포는 전기학 법칙에 의해 해결책으로서의 전기 전위를 결정해야 한다. 그러나 칼 위어스트라스는 리만의 주장에서 결점을 발견했고, 엄격한 존재의 증거는 1900년에야 데이비드 힐베르트에 의해 변주 미적분학에서 그의 직접적 방법을 사용하여 발견되었다. 해결책의 존재는 경계의 부드러움과 규정된 자료에 따라 섬세하게 좌우되는 것으로 나타났다.

일반용액

경계가 충분히 ${\displaystyle \mathrm{부드러운}}$ 도메인$$ $D{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \partial D}$의 경우 Dirichlet 문제에 대한 일반적인 해결책은 다음과 같다$.$

${\displaystyle u(x)=\int _{\partial D}\nu(s){\partial G(x,s)}{\partial n}\}ds,}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $G{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle G(x,y)}$은 부분 미분 방정식에 대한 Green 함수로서,

${\displaystyle {\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}={\widehat{n}\cdot \n}\n(x,s)=\sum _{i}{\frac {\partial G(x,s)}{\partial s_{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:{\partial s.$

내부 포인트 단위 일반 벡터 $n{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$을(를) 따라 그린 함수의 파생 모델이다$.$ 통합은 경계에서 측정 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle ds}$과(와) 함께 수행된다$.$ $함수{\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle s}$ )$${\$displaystyle \nu(s)}$는 두 번째 종류의 프레드홀름 적분 방정식에 대한 고유한 솔루션에 의해 주어진다$$.

${\displaystyle f(x)=-{\frac {\nu(x)}{2}}+\int_{\partial D}\nu(s){\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}\,ds.}$

위의 적분에서 사용되는 그린의 기능은 다음과 같은 경계에서 사라진다.

${\displaystyle G(x,s)=0}$

$s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{\partial }}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle s\in \partial D}$ $및{\displaystyle }$ x$$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle$ x$\in D}$의 경우$.$ 이러한 그린의 함수는 대개 자유장 그린의 함수와 미분 방정식의 조화 해법의 합이다.

존재

조화함수에 대한 디리클레 문제는 항상 해결책이 있으며, 경계가 충분히 평활하고 $f{\displaystyle }$( $){\displaystyle f(s)}$가 연속적일$$ 때 그 해결책은 독특하다. 좀 더 정확히 말하면, 그것은 다음과 같은 경우에 해결책을 가지고 있다.

${\displaystyle \partial D\in C^{1,\alpha }}$

일부 $\alpha {\displaystyle }$α (${\displaystyle 0}$, 1$$) {\$displaystyle \alpha \in (0$1)}에 대해, $여기$서${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 1^{}}$,$$α {\$displaystyle C^{1$,\$alpha$}}}는 쾰더 조건을 나타낸다$$.

예: 2차원의 단위 디스크

몇몇 간단한 경우 디리클레 문제는 명시적으로 해결될 수 있다. 예를 들어, R의² 단위 디스크에 대한 디리클레 문제에 대한 해결책은 포아송 적분 공식에 의해 주어진다.

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 오픈 유닛 $디스크{\displaystyle }$ D ${\displaystyle D}$의 ${\displaystyle \mathrm{경계}}$ $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ D ${\displaystyle \partial D$$\}$에 대한 연속 함수인$$ 경우 Diriclet 문제의 해결책은 다음에서 제공한$$ $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle u(z)$이다.

${\displaystyle u(z)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(e^{i\psi }){\frac {1- z ^{2}}{ 1-ze^{-i\psi } ^{2}}}\,d\psi &{\text{if }}z\in D,\\f(z)&{\text{if }}z\in \partial D.\end{case}}}$

솔루션 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u$$}$은(는) 닫힌 장치 디스크$D$에 연속적이고$$$$ $D{\displaystyle }$. ${\displaystyle D$에 조화롭다$.$$}$

통합은 포아송 커널로 알려져 있다. 이 솔루션은 그린의 기능에서 두 가지 차원으로 나타난다.

${\displaystyle G(z,x)=-{\frac {1}{2\pi }\log z-x +\gamma(z,x),}$

where ${\displaystyle \gamma (z,x)}$ is harmonic (${\displaystyle \Delta _{x}\gamma (z,x)=0}$) and chosen such that ${\displaystyle G(z,x)=0}$ for ${\displaystyle x\in \partial D}$.

해결 방법

경계 도메인의 경우, 디리클레 문제는 하위조화 함수에 대한 최대 원리에 의존하는 페론 방법을 사용하여 해결할 수 있다. 이러한 접근방식은 많은 교과서에 설명되어 있다.^[1] 경계가 부드러울 때 해결책의 부드러움을 설명하는 것은 적합하지 않다. 소볼레프 공간을 통한 또 다른 고전적인 힐베르트의 공간 접근은 그러한 정보를 산출한다.^[2] 평면영역에 대한 소볼레프 공간을 이용한 디리클레 문제의 해법은 리만 매핑 정리의 매끄러운 버전을 증명하는 데 사용될 수 있다. 벨(1992)은 스제그와 버그만의 재생성 알맹이를 바탕으로 매끄러운 리만 지도 정리 확립을 위한 다른 접근법을 개략적으로 설명했고, 차례로 디리클레 문제를 해결하는 데 사용했다. 전위 이론의 고전적인 방법은 디리클레 문제를 적분 연산자의 관점에서 직접 해결할 수 있도록 하며, 여기에 콤팩트 및 프레드홀름 연산자의 표준 이론이 적용된다. 같은 방법이 노이만 문제에도 똑같이 작용한다.^[3]

일반화

디리클레 문제는 타원 부분 미분 방정식과 전위 이론, 특히 라플라스 방정식의 전형이다. 다른 예로는 탄성 이론의 생물학적 방정식과 관련 방정식이 있다.

그것들은 네우만 문제와 카우치 문제를 포함하여 경계에서 주어진 정보에 의해 정의된 여러 종류의 PDE 문제들 중 하나이다.

예제: 하나의 움직이는 벽에 부착된 유한 문자열 방정식

한쪽 끝이 영구적으로 부착된 벽과 일정한 속도로 움직이는 벽 사이에 부착된 끈을 설명하는 파동 방정식에 대해 디리클레 문제를 고려하십시오. 즉, 공간과 시간의 카르테시안 곱의 삼각형 영역에 대한 달랑베르 방정식:

${\displaystyle {\frac {\fract ^{2}}u(x,t)-{\frac {\fract ^{2}}:{\propert x^{2}}:{\preason x^{2}}u(x,t)=0,}}$

${\displaystyle u(0,t)=0,}$

$u(\displaystyle u(\da t,t)=0.}$

교체로 쉽게 확인할 수 있는 만큼 첫 번째 조건을 만족시키는 해결책은

${\displaystyle u(x,t)=f(t-x)-f(x+t)}$

추가로 우리는 원한다.

$[\displaystyle f(t-\data t)-f(\data t+t)=0.}$

대체

${\displaystyle \tau =(\displayda +1)t,}$

우리는 자기 만족의 조건을 얻는다.

${\displaystyle f(\displaystyle \tau )=f(\tau ),}$

어디에

${\displaystyle \property ={\frac {1-\probda }{\putda +1}.}$

예를 들어 복합함수에 의해 충족된다.

${\displaystyle \sin[\log(e^{2\pi }x)]=\sin[\log(x)]}$

와 함께

${\displaystyle \lambda =e^{2\pi}=1^{-i}}$

따라서 대체로

${\displaystyle f(\tau )=g[\log(\light \tau )],}$

여기서 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$은(는${\displaystyle )}$ 기간 로그 ${\displaystyle }$( ${\displaystyle \log }$) ${\displaystyle \log(\displaystyle )}$을(를) 가진 주기 함수임$:$

${\displaystyle g[\tau +\log(\tau )]=g(\tau ),}$

그리고 우리는 일반적인 해결책을 얻는다.

$[\displaystyle u(x,t)=g[\log(t-x)]-g[\log(x+t)].}$

메모들

참조

• A. Yanushauskas (2001) [1994], "Dirichlet problem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• S. G. 크랜츠 디리클레 문제. 복합 변수 핸드북 제7.3.3조. 보스톤, MA: 비르카유저, 1999 페이지 93, ISBN 0-8176-4011-8.
• S. 액슬러, P. 고킨, K. Voss, 2차 표면의 디리클레트 문제, Mathical of Computing 73 (2004), 637–651.
• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001), Elliptic partial differential equations of second order (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-41160-4.
• 제라드, 패트릭, 라이프트남, 에리치: 디리클레 문제에 대한 고유 기능의 에르고딕 특성. Duke Math. J. 71 (1993년), 2, 559–607번.
• John, Fritz (1982), Partial differential equations, Applied Mathematical Sciences, vol. 1 (4th ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6.
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• Agmon, Shmuel (2010), Lectures on Elliptic Boundary Value Problems, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4910-7
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• Taylor, Michael E. (2011), Partial differential equations I. Basic theory, Applied Mathematical Sciences, vol. 115 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-1-4419-7054-1.
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• Schiffer, M.; Hawley, N. S. (1962), "Connections and conformal mapping", Acta Math., 107: 175–274, doi:10.1007/bf02545790

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외부 링크

• "Dirichlet problem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Dirichlet Problem". MathWorld.