점에서 평면까지의 거리

유클리드 공간에서 점에서 평면까지의 거리는 주어진 점과 평면의 직교 투영 또는 평면의 가장 가까운 점 사이의 거리다.

주어진 점과 일치하도록 원점을 이동한 다음 이동 평면에서 원점에 가장 가까운$$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y}$+ ${\displaystyle c}$ =${\displaystyle }$d ${\displaystyle ax+by+cz=d}$을(를) 찾는 변수의 변화로 시작할 수 있다. 결과 점에는 데카르트 좌표$({\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle(x,y,z)}$이(가) 있음$:$

${\$$$$}}}},\c^ \property \displaystyle y={\frac {bd}{a^{2}+b^{2}+c^{2$$}$$}}}},\c^ \c^ \displaystyle z={\frac {cd}{a^{2}+b^{2}+c^{2$$}$$}}}}$.

원점과 점 사이의 ${\displaystyle \mathrm{거리}}({\displaystyle x,}$ y${\displaystyle ,}$ z ) ${\displaystyle(x,y,z)}$은$($는) $x{\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$+ y ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ {\$displaystyle {\sqrt {x^{2$}+$y^{2}+z^{2$}+z^{2}$}}}}$.

일반 문제를 원거리 문제로 변환하는 중

평면에서 점(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 가장 가까운 점을 찾기를 원한다고 가정합시다.$Y_{0},Z_{0}}$), where the plane is given by ${\displaystyle aX+bY+cZ=D}$. We define ${\displaystyle x=X-X_{0}}$, ${\displaystyle y=Y-Y_{0}}$, ${\displaystyle z=Z-Z_{0}}$, and ${\displaystyle d=D-aX_{0}-bY_{0}-c$$Z_{0}}}$을$($를) 얻으려면 ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y}$+ ${\displaystyle c}$ =${\displaystyle }$d ${\displaystyle ax+by+cz=d}$를 변환된 변수의 관점에서 표현된 평면으로 구하십시오$$. 이제 문제는 이 평면에서 출발지와 가장 가까운 지점, 그리고 출발지와의 거리를 찾는 것의 하나가 되었다. 원래 좌표와 관련된 평면상의 점은 위의 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$과 X ${\displaystyle X}$ 사이의 관계$,$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$과 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $Y$$}$사이의 관계, $z{\displaystyle }$ ${\$$displaysty$ $z}$과 Z$\}$ 사이의 거리를 사용하여 이 지점에서 찾을 수 있다.원래 좌표의 ms는 수정된 좌표의 측면에서 거리와 동일하다.

선형대수를 이용한 재작성

기원에 가장 가까운 점에 대한 공식은 선형대수의 표기법을 사용하여 보다 간결하게 표현할 수 있다. The expression ${\displaystyle ax+by+cz}$ in the definition of a plane is a dot product ${\displaystyle (a,b,c)\cdot (x,y,z)}$, and the expression ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ appearing in the solution is the squared norm ${\displaystyle (a,b,c){}^{}}$${\displaystyle (a,b,c) ^{2}}$. Thus, if ${\displaystyle \mathbf {v} =(a,b,c)}$ is a given vector, the plane may be described as the set of vectors ${\displaystyle \mathbf {w} }$ for which ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =d}$ and the closest point on this plane is the vect또는

${\displaystyle \mathbf{p}}$= ${\displaystyle v\frac{\mathbf{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ v ${\displaystyle \frac{{}^{\mathrm{}}}{}}$ ${\$^[1][2]$mathbf {v}{2}}.$

원점에서 평면까지의 유클리드 거리는 이 지점의 표준이다.

${\$$$$}}}}}$.

왜 여기가 가장 가까운 지점인가?

좌표 또는 벡터 제형 중 하나에서, 평면의 방정식에 점을 연결함으로써 주어진 점이 주어진 평면에 있는지 확인할 수 있다.

평면에서 원점에 가장 가까운 점을 확인하려면 $p{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$이(가) 평면을 정의하는$$ 벡터 $v{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 스칼라 배수로$$, 따라서 평면에 직교하는지 관찰하십시오. Thus, if ${\displaystyle \mathbf {q} }$ is any point on the plane other than ${\displaystyle \mathbf {p} }$ itself, then the line segments from the origin to ${\displaystyle \mathbf {p} }$ and from ${\displaystyle \mathbf {p} }$ to ${\displaystyle \mathbf {q} }$ form a right triangle, and by the Py태고레 정리 원점에서 $q$까지의 거리는 ${\displaystyle q}$이다.

${\displaystyle \sqrt{\mathbf{p}}}$ ${\displaystyle \sqrt{2\mathbf{}{}^{}}}$+ p -${\displaystyle \sqrt{{}^{\mathrm{}}}}$ 2 ${\$ -$\mathbf {q} ^2$

${\displaystyle p\mathbf{}}$ -${\displaystyle q\mathbf{}}$ ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ${\$은 양수여야 하므로$$, 이 거리는 출발지부터 $p{\displaystyle \mathbf{}}${\$displaystyle \mathbf {p}}$까지의 거리인$$${\displaystyle p\mathbf{}}$ ${\displaystyle \{\backslash }$$displaysty \mathbf {p}$보다 크다$.$^[2]

또는 $v{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$이(가) 있는 원래 도트 제품 대신$$ $p{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$가) 있는 도트 제품을 사용하여 평면의 방정식을 다시 쓸 수 있으며,$$ 그 후에 $p{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$가)가)라는$$ 사실이 된다.e 가장 가까운 지점은 Cauchy-Schwarz 불평등의 즉각적인 결과가 된다.^[1]

하이퍼플레인 및 임의 점의 가장 가까운 점 및 거리

The vector equation for a hyperplane in ${\displaystyle n}$-dimensional Euclidean space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ through a point ${\displaystyle \mathbf {p} }$ with normal vector ${\displaystyle \mathbf {a} \neq \mathbf {0} }$ is ${\displaystyle (\mathbf {x} -\$$mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} =0}$ or ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {a} =d}$ where ${\displaystyle d=\mathbf {p} \cdot \mathbf {a} }$.^[3] The corresponding Cartesian form is ${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2$$}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=d}$ where ${\displaystyle d=\mathbf {p} \cdot \mathbf {a} =a_{1}p_{1}+a_{2}p_{2}+\cdots a_{n}p_{n}}$.^[3]

이 하이퍼플레인에서 임의 지점 $y{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$에 가장 가까운 점은

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {y} -\left[{\dfrac {(\mathbf {y} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} }{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a} =\mathbf {y} -\left[{\dfrac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d}{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a} }$

$y{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$에서 하이퍼플레인까지의$$ 거리는

${\displaystyle \left\ \mathbf {x} -\mathbf {y} \right\ =\left\ \left[{\dfrac {(\mathbf {y} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} }{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a} \rig$$ht\ ={\dfrac {\left (\mathbf {y} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} \right }{\left\ \mathbf {a} \right\ }}={\dfrac {\left \mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d\right }{\left\ \mathbf {a} \right\ }}}$.^[3]

데카르트 $형식$으로 작성된 가장 가까운 지점은 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle i}$${\displaystyle {}_{}}$ n $displaystyle x_{i}=y_{i}-$$ka_{$$i$}}}에 대해 x i = y i$$ - ${\displaystyle \mathrm{ka\_}}$${i$$}}}$에 의해 부여된다$$.

${\displaystyle k={\dfrac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d}{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\dfrac {a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+\cdots a_{n}y_{n}-d}{a_{1}^{2}+a_{2$$}}^{2}+\cdots a_{n}^{2$

$y{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$에서 하이퍼플레인까지의$$ 거리는

${\displaystyle {\dfrac {\left a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+\cdots a_{n}y_{n}-d\right }{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2$$}}^{2}+\cdots a_{n}^{2}}}$.

Thus in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ the point on a plane ${\displaystyle ax+by+cz=d}$ closest to an arbitrary point ${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}$ is ${\displaystyle (x,y,z)}$ given by

$왼쪽.{\cHB{array}{l}x=x_{1}-ka\y=y_{1}-kb\\z=z_{1}-kcc\end}\오른쪽\}}}}$

어디에

${\dfrac {ax_{1}+by_{1}+cz_{1}-d}{a^{$$$$}}}}$,

그리고 지점에서 평면까지의 거리는

${\$$$$}}}}}$.

참고 항목

• 점에서 선까지의 거리
• 헤세 정상형
• 스큐 라인#거리

참조