도날드슨의 정리

수학, 특히 미분 위상과 게이지 이론에서 도날드슨의 정리는 콤팩트하고, 지향적이며, 단순하게 연결되고, 차원 4의 매끄러운 다지관의 확실한 교차 형태는 대각선이라고 기술하고 있다.교차로 형태가 양(음)으로 확연한 경우, 정수에 걸쳐 식별 행렬(음(음)으로 대각화될 수 있다.

역사

그 정리는 사이먼 도날드슨에 의해 증명되었다.이것은 1986년 필즈 메달로 인용된 기여였다.

증거 아이디어

Donaldson's proof utilizes the moduli space ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{P}}$ of solutions to the anti-self-duality equations on a principal ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-bundle ${\displaystyle P}$ over the four-manifold ${\displaystyle X}$. By the Atiyah–Singer index theorem, the dim모듈리 공간의 안착은 에 의해 주어진다.

${\dim 스타일 \\mathcal {M}=8k-3(1-b_{1}(X)+b_{+}(X),}$

where ${\displaystyle c_{2}(P)=k}$, ${\displaystyle b_{1}(X)}$ is the first Betti number of ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle b_{+}(X)}$ is the dimension of the positive-definite subspace of ${\displaystyle H_{2}(X,\mathbb {R} )}$ with respect to교차점When ${\displaystyle X}$ is simply-connected with definite intersection form, possibly after changing orientation, one always has ${\displaystyle b_{1}(X)=0}$ and ${\displaystyle b_{+}(X)=0}$. Thus taking any principal ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-bundle with ${\displaystyle }$${\displaystyle k}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k=1$ 치수 5의$$ 모듈리 공간 $M{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을 얻는다.

이 모듈리 공간은 비압축적이고 전체적으로 매끄러우며, 특이점은 환원 ${\displaystyle {가능}_{}}$한 연결부에 해당하는 지점에서만 발생하며, 그 중 정확히 $b{\displaystyle {}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$( $){\displaystyle b_{2}(X)}$가 많다$$.^[1]Clifford Taubes와 Karen Uhlenbeck의 $결과$는 M ${\$displaystyle {\$mathcal{M}}$이(가) 비작용이긴 하지만 무한대의 구조를 쉽게 설명할 수 있다는 것을 보여준다.^[2][3][4]즉, $M{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\$이라고 하는 M ${\$M$}_{\$bar렙실론$\}\}\}\}$의 일부 개방적인 부분집합이 있어 매개 변수 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaysty \varepsilon}$의 선택이 충분히 적다$.$

${\displaystyle {\mathcal{M}}_{}}$ ${\displaystyle {\epsilon }_{}\stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \stackrel{}{\cong }\stackrel{}{X}\times }$ ( ${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle }${ ) ${\displaystyle${\$mathcal{M}$_{\$barepsilon }{\xrightarrow {\quad \quad \quad$ \quad$}}}X\time (0,\barepsilon$ $)\}\}.$

타우베와 Uhlenbeck의 작업은 기본적으로 곡률이 주어진 단일 지점 x${\displaystyle x}$ X ${\displaystyle x\in X}$에 무한 집중되는 4-manifold$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x\in$X$}에 ASD 연결의 시퀀스를 구성하는 것과 관련이 있다$.$ 그러한 지점마다 한계는 고유한 ASD 연결을 얻는데, 이 연결이 된다.Uhlenbeck의 탈착 가능한 특이점 정리를 사용하여 그 지점에서 잘 정의된 매끄러운 ASD ^[4][1]연결

Donaldson은 축소 가능한 연결에 해당하는$$ $M{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ 내부 단수 지점도 설명할 수 있다고 관찰했다$.$ 단수 지점은 방향을 반대로 하여 복잡한 투사 평면 $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{P}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$^$2}} 위$에 있는 원추처럼 보였다.

따라서 다음과 같이 모듈리 공간을 압축할 수 있다.첫째, 각 원뿔을 환원 가능한 특이점에서 잘라내고 C ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ 둘째, $무한대$에서 X ${\displaystyle X}$ 그 자체로$$ 접착한다.결과 공간은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 사이의 $코보디즘$과${\displaystyle {}_{}{b\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 2}$( X$$) {\$displaystyle b_{2$}(X$)}$의 C P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 분리 결합이며, 방향은$$ 반대로 된다.4매니폴드의 교차로 형태는 2차 형태의 이형성까지 불변하는 거미줄 형태인데, 여기서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 교차로 형태는 대각선이 가능하다$$.

확장

마이클 프리드먼은 이전에 어떤 단변형 대칭 이선형 형태도 어떤 폐쇄적이고 지향적인 4-매니폴드의 교차형 형태로 실현된다는 것을 보여주었다.이 결과를 세레 분류 정리, 도날드슨의 정리 등과 결합하면 다음과 같은 몇 가지 흥미로운 결과를 볼 수 있다.

1) 모든 비대각성 교차로 형태는 4차원 위상학적 다지관(따라서 평활할 수 없음)을 발생시킨다.

2) 매끄러운 단순연결 4마니폴드 2개는 동형(동형)이며, 만약의 경우 교차로 형태가 같은 순위, 시그니처, 패리티를 가진다.

참고 항목

• 단모듈라 격자
• 도날드슨 이론
• 양-밀스 방정식
• 로클린의 정리

메모들

참조

• Donaldson, S. K. (1983), "An application of gauge theory to four-dimensional topology", Journal of Differential Geometry, 18 (2): 279–315, doi:10.4310/jdg/1214437665, MR 0710056, Zbl 0507.57010
• Donaldson, S. K.; Kronheimer, P. B. (1990), The Geometry of Four-Manifolds, Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850269-9
• Freed, D. S.; Uhlenbeck, K. (1984), Instantons and Four-Manifolds, Springer
• Freedman, M.; Quinn, F. (1990), Topology of 4-Manifolds, Princeton University Press
• Scorpan, A. (2005), The Wild World of 4-Manifolds, American Mathematical Society