이중 접선 번들

수학, 특히 차등 위상에서는 이중 접선다발이나 제2 접선다발(TTM, π_TTMTM, π, TM)은 매끄러운 다지관 M의 접선다발(TM, π, π, M)의 총 공간 TM의 접선다발(TM, π, TM)을 가리킨다.^[1] 표기법 참고: 이 글에서는 그들의 영역별 투영지도(예: π_TTM : TTM)를 나타낸다. 일부 저자들은 이 지도들을 대신 그들의 범위에 따라 색인화하여, 그들을 위해 그 지도는 π로_TM 쓰일 것이다.

두 번째 접선 번들은 연결 연구와 두 번째 순서 일반 미분방정식, 즉(세미)매끄러운 다지관에 구조물을 분사하며, 두 번째 순서 제트 번들과 혼동해서는 안 된다.

2차 벡터 번들 구조 및 표준 플립

(TM, π_TM, M)은 그 자체로 벡터 번들이기 때문에, 그것의 접선 번들에는 2차 벡터 번들 구조(TTTM, (π_TM))가 있다._*TM), 여기서 (계속_TM):_*TTM→TM은 표준 투영의 푸시 포워드 π_TM:TM→M. 이하에서 우리는

${\displaystyle \xi =\xi ^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big }_{x}\in T_{x}M,\qquad X=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big }_{x}\in T_{x}M}$

그리고 관련 좌표계를 적용한다.

${\displaystyle \xi \mapsto(x^{1},\ldots ,x^{n},\xi ^{1},\dots ,\xi ^{n})}$

TM에. 그런 다음 XtmTM의_x 2차 벡터 번들 구조의 파이버가 형태를 취함

${\displaystyle (\pi _{TM})_{*}^{-1}(X)={\Big \{}\ X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big }_{\xi }+Y^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}{\Big }_{\xi }\ {\Big }\ \xi \in T_{x}M\ ,\ Y^{1},\ldots ,Y^{n}\in \mathbb {R} \ {\Big \}}.}$

이중 접선다발은 이중 벡터다발이다.

표준 플립은^[2] 부드러운 비자발 j:이러한 벡터 공간 구조를 (TTM, tm, TM)과 (TTM, π_TTMTM) 사이의 벡터 번들 이형성이라는 의미에서 교환하는 TTM→TTTM,_*TM). TM의 관련 좌표에 다음과 같이 표시된다.

${\displaystyle j{\Big (}X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big }_{\xi }+Y^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}{\Big }_{\xi }{\Big )}=\xi ^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big }_{X}+Y^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}{\Big }_{X}}.}$

표준 플립은 모든 f: R² → M에 대한 속성을 가지고 있다.

${\displaystyle {\frac {\frac}{\propert t}{\property s}}}=j\prac {\fract f}{\frac s}{\property t}}}}}}}}}$

여기서 s와 t는 R의 표준기준 좌표다. 두 부분파생상품 모두 R에서² TTM까지의 함수라는 점에 유의한다.

사실 이 속성은 표준 플립의 본질적인 정의를 내리는 데 사용될 수 있다.^[3] 실제로 J(R²₀²,M) → TTM이 부여한 Submeration p가 있다.

${\displaystyle p([f])={\frac {\frac f}{{\property t}{\properties s}}}(0,0)}}}}$

여기서 p는 0에서 f까지의 순서에 의존하기 때문에 0에서 2와 2의 공간에서 정의될 수 있다. 이 애플리케이션은 다음과 같다.

$(\displaystyle J:J_{0}^{2}(\mathb {R}^{2},M)\J_{0}^{2}(\mathb {R}^{2},M)\quad /\quad J([f])=[f\circircle \alpha ]}}}}$

여기서 α(s,t)=(t,s) 그러면 J는 투영 p와 호환되며, 지수 TTM의 표준 플립을 유도한다.

접선 번들의 표준 텐서 필드

벡터 번들에 대해서는 접선 번들(TM, TM_TM, M)의 섬유 TM의_x 접선 공간_ξ T(TM_x)를 직접 확인할_x 수 있다. 공식적으로 이것은 수직 리프트를 통해 달성되는데, 이것은 자연 벡터 공간 이형성 vl_ξ:TM_x→V_ξ(TM_x)로 정의됨

${\displaystyle(\operatorname {vl} _{\xi }X)[f]:={\frac {d}{dt}{dt}{\Big }_{t=0}f(x,\xi +tX),\qquad f\in C^{\inflt }(TM).$

수직 리프트는 또한 자연 벡터 번들 이형성 vl:(π_TM)로 볼 수 있다.^*(TM_TM, TM, M_TM)의 풀백 번들에서 TM→VTM:수직 접선 번들에 TM→M

${\displaystyle VTM:=\operatorname {Ker}(\pi _{TM}_{*}\subset TTM).}$

수직 상승은 표준 벡터장을 정의하게 해준다.

${\displaystyle V:TM\to TTM;\qquad V_{\xi }:=\operatorname {vl} _{\xi }\xi ,}$

슬릿 접선 번들 TM\0에서 매끄러운. 표준 벡터 장은 또한 Lie-group 동작의 최소 생성기로 정의될 수 있다.

${\displaystyle \mathb {R} \time (TM\setminus 0)\TM\setminus 0;\qquad (t,\xi )\mapsto e^{t}\xi.}$

어떤 벡터 번들에 대해서도 정의할 수 있는 표준 벡터장과는 달리, 표준 내형성(cononical endorphism)은

$(\displaystyle J:TTM\to TTM;\qquad J_{\xi }X:=\operatorname {vl} _{\xi }(\pi _{TM}_{*}X,\qquad X\in T_{\xi }TM}}$

접선 보따리에 특별하다. 표준적 내형성 J가 만족한다.

${\displaystyle \operatorname {Ran}(J)=\operatorname {Ker}(J)=VTM,\qquad {\mathcal {L}_{V}J=-J,\qquad J[X,Y]=J[JX,Y]+J[X,JY],}$

그리고 다음과 같은 이유로 접선 구조로도 알려져 있다. If (E,p,M) is any vector bundle with the canonical vector field V and a (1,1)-tensor field J that satisfies the properties listed above, with VE in place of VTM, then the vector bundle (E,p,M) is isomorphic to the tangent bundle (TM,π_TM,M) of the base manifold, and J corresponds to the tangent structure of TM in this isomorphism.

또한 N이 2n차원 다지관이고 N에 만족하는 (1,1)-텐서 필드 J가 존재하는 경우라고 하는 이러한 종류의 더 강력한 결과도 있다.

${\displaystyle \operatorname {Ran}(J)=\operatorname {Ker}(J),\qquad J[X,Y]=J[JX,Y]+J[X,JY],}$

그 다음 N은 일부 n차원 다지관 M의 접선다발 전체 공간의 오픈 집합에 차이점형이며, J는 이 차이점형에서 TM의 접선 구조에 해당한다.

TM의 관련 좌표계에서는 표준 벡터장 및 표준 내형성에는 좌표 표현이 있다.

${\displaystyle V=\xi ^{k}{\frac {\partial \partial \partial \x^{k}},\qquad J=dx^{k}\otimes {\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}}}}.}$

(세미)스프레이 구조물

매끄러운 다지관 M의 세미스라이 구조는 정의상 TM \0의 매끄러운 벡터장 H로 JH=V로 되어 있다. 동등한 정의는 j(H)=H이다. 여기서 j:TTM→TTTM은 표준 플립이다. 반스프리 H는 분무(diffray h)이며, 추가하면 [V,H]=H이다.

분무 구조와 반미스프레이 구조는 M의 2차 일반 미분 방정식의 불변 버전이다. 분무 구조와 반미스레이 구조물의 차이는 분무의 용액 곡선이 M의 점 세트로서 양의 재선정^[jargon] 시 불변성이지만, 반미스레이의 용액 곡선은 일반적으로 그렇지 않다는 것이다.

매끄러운 다지관의 비선형 공변량 유도체

표준 플립은 다음과 같이 부드러운 다지관의 비선형 공변량 유도체를 정의할 수 있게 한다. 내버려두다

${\displaystyle T(TM\setminus 0)=H(TM\setminus 0)\oplus V(TM\setminus 0)}$

슬릿 접선 번들 TM\0에 Ehresmann 연결이 되어 있으며 매핑을 고려한다.

${\displaystyle D:(TM\setminus 0)\time \Gamma(TM)\to TM;\quad D_{X}Y:=(\kappa \circ j)(Y_{*}X),}}$

여기서_* Y:TM→TTM은 푸시 포워드, j:TTM→TTTM은 표준 플립과 κ:T(TM/0)→TM/0은 커넥터 맵이다. Mapping_X D는 M의 smooth 벡터장 모듈 tm(TM)에서 파생된 것이다.

• ${\displaystyle D_{X}(\alpha Y+\beta Z)=\alpha D_{X}Y+\beta D_{X}Z,\qquad \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$.
• ${\displaystyle D_{X}(fY)=X[f]Y+fD_{X}Y,\qquad \qquad \qquad f\in C^{\infty }(M)}$.

이러한 특성을 가진 모든 매핑 D는_X M에서 (비선형) 공변량 파생상품이라고 불린다. 비선형이라는 용어는 이러한 종류의 공변량 파생상품_X D가 X∈ 방향과 관련하여 반드시 선형적이지 않다는 사실을 가리킨다.차별화 기술/0.

현지 표현을 살펴보면, 에레스만 연결부(TM/0,196_TM/0,M)와 M의 비선형 공변량 파생상품이 일대일 일치하는지 확인할 수 있다. 더욱이 D가_X X로 선형인 경우, Ehresmann 연결부는 2차 벡터 번들 구조에서 선형이며, D는_X 선형 공변량 파생상품과 일치한다.

참고 항목

• 스프레이(수학)
• 이차 벡터 번들 구조
• 핀슬러 다지관

참조