이차 벡터 번들 구조

수학, 특히 미분위상에서의 2차 벡터 번들 구조는 원래의 투영 지도 p : E → M의 푸시포워드 p_∗ : TE → TM에 의해 유도된 매끄러운 벡터 번들(E, p_∗, M)의 탄젠트 번들의 총 공간 TE의 자연 벡터 번들 구조(TE, p, TM)를 말한다.이는 이중 벡터 번들 구조(TE,E,TM,M)를 발생시킨다.

특수 케이스(E, p, M) = (TM, π_TM, M), 여기서 TE = TTM은 이중 접선 번들(TM, (TM_TM,_∗ (π), TM)은 정론적인 플립을 통해 TM의 접선 번들(TTTM, π_TTM, TM)에 이형성을 띤다.null

2차 벡터 번들 구조물의 시공

Let (E, p, M)은 N등급의 매끄러운 벡터 묶음이다.그 후 푸시-포워드 p_∗ : TE → TM의 접선 벡터 X의 프리이미지 (p_∗)(⁻¹X) ⊂ TE는 치수 2N의 부드러운 서브매니폴드로서, 푸시-포워드(push-forward)와 함께 벡터 공간이 된다.

${\displaystyle +_{*}:T(E\time E)\TE,\qquad \lambda _{*:TE\to TE}$

원래의 덧셈과 메스칼 곱셈의

${\디스플레이 스타일 +:E\time E\to E,\qquad \lambda :E\to E}$

벡터 스페이스 연산을 위해.3중(TE, p_∗, TM)은 섬유에 이러한 벡터 공간 연산을 갖는 매끄러운 벡터 번들이 된다.null

증명

(U, φ)가 φ(x) = (x¹, ..., x)인ⁿ 베이스 다지관 M의 로컬 좌표계가 되도록 하고 let (U, φ)은 let(x, ...

${\displaystyle {\displaysty}\case:W\to \varphi(U)\time \mathbf {R} ^{N}\\\\psi \left(v^{k}e_{k} _{x}\right):=\\왼쪽(x^{1},\ldots,x^{n},v^{1},\ldots,v^{N}\오른쪽)\case}}}$

$W{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle U}$) ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle W:=p^{-1}(U)\subset E}$에 적용된$$ 좌표계다.그러면

${\displaystyle p_{*}\왼쪽(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg }_{v}+)Y^{\ell }{\frac {\partial v^{\ell }}}{\bigg }_{v}\right}}=X^{}{\partial x^{k}}{\bigg }}{p(v)}}}}$

그래서 TM의_x X에 있는 2차 벡터 번들 구조의 섬유는 형태다.

${\displaystyle p_{*}^{1}^{-1(X)=\좌측\{X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg }_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg }_{v}\ :\ v\in E_{x};Y^{1},\ldots ,Y^{N}\in \mathbf {R} \right\}.}$

이제 알고 보니

${\displaystyle \chi \left(X^{k}){\frac {\partial }{\partial x^{k}}{\Bigg }_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg }_{v}\right)=\left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg }_{p(v)},\left(v^{1},\ldots ,v^{N},Y^{1},\ldots ,Y^{N}\right)\right)}$

국소적 소급화 χ : TW → TU × R for^2N (TE, p, TM) 및 적응된 좌표에서 읽은_∗ 원래의 벡터 공간 연산의 푸시-포워드(push-forwards)를 제공한다.

${\displaystyle \left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg }_{v}+)Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg }_{v}\right)+_{*}\left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg }_{w}+Z^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg }_{w}\right)=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg }_{v+w}+(Y^{\ell }+Z^{\ell }){\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg }_{v+w}}$

그리고

${\displaystyle \lambda _{*}\왼쪽(X^{k}){\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg }_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg }_{v}\right)=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg }_{\lambda v}+\lambda Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg }_{\lambda v},}$

그래서 각각의 섬유(p_∗)(⁻¹X) ⊂ TE는 벡터 공간이고, 트리플(TE, p_∗, TM)은 부드러운 벡터 번들이다.null

벡터 번들에 대한 연결의 선형성

벡터 번들(E, p, M)의 일반적인 Ehresmann 연결 TE = HE ⊕ VE는 커넥터 맵의 관점에서 특징지을 수 있다.

${\displaystyle {\bases}\kappa :T_{v}E\to E_{p(v)}\\\kappa(X):=\operatorname {vl} _{v}^{-1}(\operatorname {vpr}X)\end{case}}}$

여기서 vl_v : E → VE는_v 수직 상승이고, vpr_v : TE_v → VE는_v 수직 투영이다.맵핑

${\displaystyle {\begin}\nabla :\Gamma(TM)\times \Gamma(E)\\\nabla _{X}v:=\kappa(v_{*}X)\case{case}}}}}}}}$

Ehresmann 연결에 의해 유도된 것은 다음과 같은 의미에서 is(E)의 공변성 파생물이다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\nabla _{X+Y}v&=\nabla _{X}v+\nabla _{Y}v\\\nabla _{\lambda X}v&=\lambda \nabla _{X}v\\\nabla _{X}(v+w)&=\nabla _{X}v+\nabla _{X}w\\\nabla _{X}(\lambda v)&=\lambda \nabla _{X}v\\\nabla _{X}(fv)&=X[f]v+f\nabla _{X}v\end{aligned}}}$

커넥터 맵이 TE의 2차 벡터 번들 구조(TE, p_∗, TM)에 대해 선형인 경우에만.그러면 그 연결을 선형이라고 한다.커넥터 맵은 접선 번들 구조(TE, π_TE, E)와 관련하여 자동으로 선형이라는 점에 유의하십시오.null

참고 항목

• 연결(벡터 번들)
• 이중 접선 번들
• 에레스만 접속
• 벡터 번들

참조

• P. 미코르.미국 수학 협회(2008)의 미분 기하학 항목.