두 번째 파생상품의 고유값과 고유벡터

경계 조건이 다른 두 번째 파생상품의 고유값과 고유 벡터에 대한 명시적 공식은 연속적인 경우와 이산적인 경우 모두에 대해 제공된다.이산형 사례에서 두 번째 파생상품의 표준 중심차 근사치는 균일한 그리드에 사용된다.

이 공식들은 변수가 분리될 경우 라플라시안의 고유함수에 대한 표현을 도출하기 위해 사용되며, 1차원 단위의 이산 라플라시안의 크론커 합으로 제시되는 다차원 이산 라플라시안의 고유값과 고유 벡터를 일반 그리드에서 찾는데 사용된다.

연속 케이스

지수 j는 J번째 고유값 또는 고유벡터를 나타내며 1부터 $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$까지 ${\displaystyle \infit }$까지 실행된다$.$ 등식이 도메인 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$[ ${\displaystyle 0,}$ L ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ x$\in [0,L]$에 정의된다고 가정하면 다음과 같은 고유값과 정규화된 고유벡터들이다$.$고유값은 내림차순으로 정렬된다.

순수 디리클레 경계 조건

${\displaystyle \lambda _{j}=-{\frac {j^{2}\pi^{2}}:{L^{2}}:}$

${\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}\sin \left({\frac {j\pi x}{L}{L}\right)}}$

순수 노이만 경계 조건

${\displaystyle \lambda _{j}=-{\frac {(j-1)^{2}\pi ^{2}}:{L^{2}}$

${\displaystyle v_{j}(x)=\left\{{\begin{array}{lr}L^{-{\frac {1}{2}}}&j=1\\{\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos \left({\frac {(j-1)\pi x}{L}}\right)&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}$

주기적 경계 조건

${\displaystyle \lambda _{j}=\left\{\begin{array}-{lr}-{\frac {j^{2}\pi^{2}}{L^{2}}&{\mbox{j는 짝수다.}}\\-{\frac{(j-1)^{2}\pi^{2}}{L^{2}}}&{\mbox{j는 홀수다.}}}\end{array}\오른쪽.}$

(즉, $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$은(는) 단순한 고유값이며 모든 추가 고유값은 $j{\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ 2 ${\displaystyle \frac{{}^{}{}^{}}{}}$ 2 ${\displaystyle \frac{{L\mathrm{}}^{}}{}}$ 2 ${\$${\displaystyle }j{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$…$${\$displaysty j=1,2,\ldots$}에 의해 각각 주어진다.

${\displaystyle v_{j}(x)={\reason{case}L^{-{\frac {1}{1}:{2}}&{{\mbox{if{}j=1.\\{\sqrt {\frac {2}{L}}\sin \left({\frac {j\pi x}{L}\right)&{\mbox{j가 짝수인 경우.}}\\{\sqrt {\frac {2}{L}}\cos \left({\frac {(j-1)\pi x}{L}\right)&{\mbox{j가 홀수인 경우.}}}\end{case}}$

Dirichlet-Neumann 경계 조건 혼합

${\displaystyle \lambda _{j}=-{\frac {(2j-1)^{2}\pi ^{2}}{4}L^{2}}:}}$

${\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}\sin \left({\frac {(2j-1)\pi x}{2}{2}L}\오른쪽)}$

Neumann-Dirichlet 혼합 경계 조건

${\displaystyle \lambda _{j}=-{\frac {(2j-1)^{2}\pi ^{2}}{4}L^{2}}:}}$

${\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}\cos \left({\frac {(2j-1)\pi x}{2}{2}}L}\오른쪽)}$

이산형 케이스

표기법:지수 j는 J번째 고유값 또는 고유벡터를 나타낸다.지수 i는 고유 벡터의 ith 성분을 나타낸다.i와 j 둘 다 1에서 n으로 가고, 여기서 행렬은 n x n 사이즈다.고유 벡터는 정규화된다.고유값은 내림차순으로 정렬된다.

순수 디리클레 경계 조건

${\displaystyle \lambda _{j}=-{\frac {4}{h^{2}}\\sin ^{2}\왼쪽 \frac {\pi j}{2(n+1)}\오른쪽)}$

${\displaystyle v_{i,j}={\sqrt {2}{n+1}}\sin \left\frac {ij\pi }{n+1}\오른쪽)}$ ^[1]

순수 노이만 경계 조건

${\displaystyle \j}=-{\frac {4}{h^{2}}\\sin ^{2}\왼쪽 \frac {\pi(j-1){2n}}\오른쪽)}$

${\displaystyle v_{i,j}={\begin{cases}n^{-{\frac {1}{2}}}&{\mbox{j = 1}}\\{\sqrt {\frac {2}{n}}}\cos \left({\frac {\pi (j-1)(i-0.5)}{n}}\right)&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

주기적 경계 조건

${\displaystyle \j}={\j}={\frac {4}{h^{2}}:}\sin ^{2}\pi(j-1){2n}\오른쪽)&{\mbox{n.}}\\-{\frac{4}{h^{2}}\\sin ^{2}\왼쪽 ^{\pi j}}\frac {\n}\right)&{\mbox{j가 짝수인 경우.}}}\end{case}}$

(n이 짝수인 경우 0과 가장 큰 값을 제외하고 고유값이 반복된다는 점에 유의하십시오.)

${\displaystyle v_{i,j}={\preas}n^{-{\frac {1}{1}:{2}}:}&{\mbox{}j=1.\\n^{-{\frac {1}{1}:{2}}(-1)^{i}&{\mbox{if{}j=n{\mbox{와 n은 짝수다.}}\\{\sqrt {\frac {2}{n}}\sin \left\frac {\pi(i-0.5)j}{n}\right)&{\mbox{j가 짝수인 경우.}}\\{\sqrt {\frac {2}{n}}\cos \left \frac\frac {\pi(i-0.5)(j-1)}{n}\right)&{\mbox{그렇지 않은 경우.}}}\end{case}}$

Dirichlet-Neumann 경계 조건 혼합

${\displaystyle \j}=-{\frac {4}{h^{2}}\sin ^{2}\좌측 ^\frac\pi(j-{\frac {1}{1}2}})}{2n+1}\오른쪽)}$

${\displaystyle v_{i,j}={\sqrt {\frac {2}{n+0.5}}\sin \왼쪽 \frac {\pi i(2j-1)}{2n+1}\오른쪽)}$

Neumann-Dirichlet 혼합 경계 조건

${\displaystyle \j}=-{\frac {4}{h^{2}}\sin ^{2}\좌측 ^\frac\pi(j-{\frac {1}{1}2}})}{2n+1}\오른쪽)}$

${\displaystyle v_{i,j}={\sqrt {\frac {2}{n+0.5}}\cos \left({\frac {\pi(i-0.5)}{2n+1}\오른쪽)}$

이산형 케이스에서 고유값과 고유벡터의 도출

디리클레 케이스

디리클레 경계 조건이 있는 1D 이산 사례에서 우리는 해결 중이다.

${\displaystyle {\frac {v_{k+1}-2v_{k}+v_{k-1}{h^{2}}=\h^v_{k}}}\k=1, ...,n,\{0}=v_{n+1}=0}=0.}$

용어를 재배치하면

${\displaystyle v_{k+1}=(2+h^{2}\chda )v_{k}-v_{k-1}.\!}$

Now let ${\displaystyle 2\alpha =(2+h^{2}\lambda )}$. Also, assuming ${\displaystyle v_{1}\neq 0}$, we can scale eigenvectors by any nonzero scalar, so scale ${\displaystyle v}$ so that ${\displaystyle v_{1}=1}$.

그리고 나서 우리는 재발하는 것을 발견한다.

${\displaystyle v_{0}=0\,\!}$

${\displaystyle v_{1}=1.\,\!}$

${\displaystyle v_{k+1}=2\put v_{k}-v_{k-1}\,\!}$

$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$을(를) 미확정으로 간주하면$$,

${\displaystyle v_{k+1}=U_{k}(\alpha )\,\!}$

여기서 $U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 두 번째 종류의 k번째 체비셰프 다항식이다.

${\displaystyle {vn}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle v_{n+1}=0}$을$($를) 받았으므로

${\displaystyle U_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$(${\displaystyle \alpha }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ $displaystyle U_{n}(\alpha )=0\,\!}$.

우리 문제의 고유값은 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \alpha }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$+ h ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ $)[\displaystyle 2\alpha$ = $(2+h^{2}\lambda )}}$과(와) 관계가 있는 n번째 체비셰프 다항식의 0이 될 것이 분명하다$.$

이러한 0은 잘 알려져 있으며 다음과 같다.

${\displaystyle \cHB_{k}=\cos \left\frac {k\pi }{n+1}\오른쪽).\,\!}$

$\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$의 공식에 연결$$중.

${\displaystyle 2\cos \left\frac {k\pi }{n+1}}\오른쪽)=h^{2}\h^da _{k}+2\,\!}$

${\displaystyle \k}=-{\frac {2}{h^{2}}}\좌측[1-\cos \좌측\frac {k\pi }{n+1}\우측)]\,\!}$

트리그 공식을 사용하여 단순화하면

${\displaystyle \pyda _{k}=-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\frac {k\pi }{2(n+1)}\오른쪽).\,\!}$

노이만 사건

노이만 사건의 경우, 우리는 문제를 해결하고 있다.

${\displaystyle {\frac {v_{k+1}-2v_{k}+v_{k-1}{h^{2}}=\\da v_{k},\k=1, ...,n,\ v'_{0.5}=v'_{n+0.5}=0.\,\!}$

표준 디스커트화에서는 $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ $displaystyle v_{0}\,\!}$ 및$$ vn + $displaystyle v_{n+1}\,\}$을(를) 소개하고$$ 정의를 내린다.

${\displaystyle v'_{0.5:={\frac {v_{1}-v_{0}}{h}},\ v'_{n+0}.5:={\frac {v_{n+1}-v_{n}}{h}\,\!}$

그러면 경계 조건은 다음과 같다.

${\displaystyle v_{1}-v_{0}=0,\ v_{n+1}-v_{n}=0.}$

변수를 바꾸면

${\displaystyle w_{k}=v_{k+1}-v_{k},\k=0, ...,n\,\!}$

다음 사항을 도출할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{alignedat}{2}{\frac{v_{k+1}-2v_{k}+v_{k-1}}{h^{2}}}&=\lambda v_{k}\\v_{k+1}-2v_{k}+v_{k-1}&, =h^{2}\lambda v_ᆵ\\(v_{k+1}-v_{k})-(v_{k}-v_{k-1})&, =h^{2}\lambda v_{k}\\w_{k}-w_{k-1}&, =h^{2}\lambda v_{k}\\&, =h^{2}\lambda w_{k-1}+h^{2}\lambda v_{k-1}\\&, =h^{2}\lambda w_{k-1}+w_{k-1}-w_{k-2}\\w_{k}&.)(2+h^{.2}\lambda)w_{k-1}-w_{k-2}\\w_{k+1}&=(2+h^{2}\buffda )w_{k}-w_{k-1}\\&=2\buffs w_{k}-w_{k-1}.\end{aignedat}}}$

${\displaystyle w_{}}$= ${\displaystyle {w\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle w_{n}=w_{0}=0}$이(가) 경계 조건인$$ 경우.

이것은 $정확히{\displaystyle }$ N -${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n-1}$개의$$ 내부 격자점과 격자 간격 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$을(를) 가진 디리클레 공식이다$.$ ${\displaystyle {위}_{}}$에서 본 것과 유사하며, w $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0}${\$displaystyle w_{1}\neq$ 0$}$을(를)로 가정하면$,$ 우리는 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \k}=-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\왼쪽 ^{k\pi }{2n}\오른쪽)\k=1,...,n-1.}$

This gives us ${\displaystyle n-1}$ eigenvalues and there are ${\displaystyle n}$. If we drop the assumption that ${\displaystyle w_{1}\neq 0}$, we find there is also a solution with ${\displaystyle v_{k}=\mathrm {constant} \ \forall \ k=0,...,n+1,}$$$ 그리고 이것은 고유값 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$에 해당된다$.$

위의 공식에서 지수를 다시 샘플링하고 0 고유값과 결합하면, 우리는,

${\displaystyle \k}=-{\frac {4}{h^{2}}\\sin ^{2}\왼쪽 ^{(k-1)\pi{2n}\right)\k=1,...n.}$

디리클레-뉴만 사건

디리클레-뉴만 사건의 경우, 우리는 해결 중이다.

${\displaystyle {\frac {v_{k+1}-2v_{k}+v_{k-1}}{h^{2}}}=\lambda v_{k},\ k=1,...,n,\ v_{0}=v'_{n+0.5}=0.}$,

여기서 $v{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$+ ${\displaystyle 0_{}^{}}$.5${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle \frac{v_{}}{}}$ n${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$+ 1${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{n_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$. ${\displaystyle v'_{n+0.$$5:={\frac {v_{n+1}-v_{n}}{h}}.$$}$

보조 변수 $v{\displaystyle {}_{j\mathrm{}}}$+ ${\displaystyle {0.5}_{}}$,${\displaystyle \text{j}}$ =${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. ${\displaystyle n}$ . . ${\displaystyle v_{j+0.5}\j=0$, $...,n.}$을(를) 도입해야 한다.

재발을 고려하다.

${\displaystyle {vk}_{}}$+${\displaystyle 0_{}}$.5${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \text{일부}}$ ${\displaystyle \beta }$ $displaystyle v_{k+0.5}=2\displaystyle v_{k}-v_{k-0.5},{\text{}, 일부$$}\\\cHB\,\}$ .

또한 v ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle v_{0}=0}$을(를) 알고 $있으며{\displaystyle {}_{\mathrm{,}}}$ v ${\displaystyle 0_{}}$.5${\displaystyle {}_{}}$≠ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle v_{0$}을$($를) 가정한다.${\displaystyle 5_{}}$$}\neq 0$ $v{\displaystyle {}_{\mathrm{}0}}$.5 ${\$}을$($를) 확장할 수 있다.${\displaystyle 5_{}\mathrm{v}}$ 0.5$$= 1. {\$displaystyle v_{0$.5$}=$1$$.}

우리는 또한 쓸 수 있다.

${\displaystyle v_{k}=2\display v_{k-0.5}-v_{k-1}\,\!}$

${\displaystyle v_{k+1}=2\display v_{k+0.5}-v_{k}\,\!}$

이 세 방정식의 정확한 조합을 취하면 우리는 얻을 수 있다.

${\displaystyle v_{k+1}=(4\reason ^{2}-2)v_{k}-v_{k-1}\,\!}$

따라서 우리의 새로운 재발은 우리의 고유가치 문제를 해결할 것이다.

${\displaystyle h^{2}\boda +2=(4\reason ^{2}-2)\,\!}$

$\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$에 대한 해결 방법

${\displaystyle \lambda ={\frac {4(\fract ^{2}-1)}{h^{2}}.}$

우리의 새로운 재발은 도움이 된다.

${\displaystyle v_{n+1}=U_{2n+1}(\beta ),\ v_{n}=U_{2n-1}(\베타 ),\,\!}$

여기서 $U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\beta }$) ${\displaystyle U_{k}(\beta )}$은 다시 두 번째 종류의 k번째 체비셰프 다항식이다.

그리고 우리의 노이만 경계 조건과 결합하여

${\displaystyle U_{2n+1}(\beta )-U_{2n-1}(\beta )=0.\,\!}$

잘 알려진 공식은 첫 번째 ${\displaystyle {종류}_{}}$인 $T{\displaystyle {}_{}}$ k (${\displaystyle {}_{}\beta }$) ${\displaystyle T_{k}(\beta$ $)\}$의 체비셰프 다항식들을 다음에 의한 두 번째 종류와 연관시킨다.

${\displaystyle U_{k}(\beta )-U_{k-2}(\beta )=T_{k}(\베타 \,\!})$

그리하여 우리의 고유값은 해결한다.

${\displaystyle T_{2n+1}(\beta )=0,\\lambda ={\frac {4(\beta ^{2}-1)}{h^{2}}.\,\!}$

이 다항식의 0은 또한 다음과 같이 알려져 있다.

${\displaystyle \property_{k}=\cos \left\frac {\pi(k-0.5)}{2n+1}\right),\k=1,...,2n+1\,\!}$

그래서

${\displaystyle {\pregatedat}{2}\{k}&={\frac {4}{h^{2}}:\왼쪽[\cos ^{2}\left\frace\pi(k-0.5)}{2n+1}-1\오른쪽]\\\\\\&=-{\frac {4}{h^{2}}\sin ^{2}\왼쪽 ^\frac {\pi(k-0.5)}{2n+1}:{2n+1}\오른쪽).\end{aignedat}}}$

이러한 값에는 2n + 1이 있지만 첫 번째 n + 1만 고유하다는 점에 유의하십시오.(n + 1)번째 값은 0의 고유값 0의 고유 벡터로서 0 벡터를 우리에게 주는데, 이것은 사소한 것이다.이것은 원래의 재발로 되돌아가는 것으로 볼 수 있다.따라서 우리는 이 값들 중 첫 번째 n만 디리클레 - 노이만 문제의 고유값으로 간주한다.

${\displaystyle \k}=-{\frac {4}{h^{2}}\\sin ^{2}\좌측\frac {\pi(k-0.5){2n+1}\오른쪽)\k=1,...n.}$

참조