소효과법

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EE(Elemental Effects) 방법은 민감도 분석에서 가장 많이^{[citation needed]} 사용되는 스크리닝 방법입니다.

EE는 분산 기반 측정과 같은 다른 민감도 분석 측정의 추정 비용이 감당할 수 없는 계산 비용이 많이 드는 수학적 모델 또는 다수의 입력이 있는 모델의 비영향 입력을 식별하기 위해 적용된다.모든 스크리닝과 마찬가지로 EE 방법은 질적 민감도 분석 측정, 즉 비영향적 입력의 식별을 허용하거나 중요도 순서대로 입력 인자의 순위를 매길 수 있는 측정치를 제공하지만 입력의 상대적 중요도를 정확히 정량화하지는 않는다.

방법론

EE 방법을 예시하기 위해$$k\$displaystyle$k 입력$$ 계수를 $갖는{\displaystyle }$ 수학적 모델을 고려한다고 가정하자.$(\displaystyle$ Y$)$를 관심 출력으로 합니다(간단함을 나타내는 스칼라).

${\displaystyle Y=f(X_{1},X_{2}}...X_{k}).}$

Morris의 원래 EE 방법은 각 입력 인자에 대해 두 가지 민감도 측정을 제공합니다.

• 모델 출력에 대한 입력 계수의 전반적인 중요도를 평가하는 $측정{\displaystyle }$μ {\$displaystyle \mu$
• 비선형 효과와 상호작용을 설명하는 척도 ${\(\displaystyle$ \$displaystyle$입니다.

이 두 가지 측정은 입력 공간의 일련의 궤적 구조에 기초한 설계를 통해 얻어지며, 여기서 입력은 한 번에 한 번(OAT)으로 무작위로 이동된다.이 설계에서 각 모델 입력은 입력 요인 공간의 선택된 p$\displaystyle$p 수준에$$ $따라{\displaystyle }$ 다르다고 가정합니다.따라서 실험 영역$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ \$displaystyle \Omega는$$$$\displaystyle$ k$\$$displaystyle$ p$\level$ $그리드$이다.

각 궤적은${\displaystyle }$($k$+$1)${ ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 1}$ /${\displaystyle }$(${\displaystyle p}$ -${\displaystyle 1}$) , ${\displaystyle 2}$/ (${\displaystyle p}$ -${\displaystyle 1}$) ,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$ $}$ ( \ $display$ style$$$\$ $Delta }$ 스텝$$$$$$$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ( \ $display$ style \ $0 , 1$ / ( p - 1 )${\displaystyle }$、 2 / ( $p$- 1 ) 、 \ display style \ 1 $（$ p - $1$） 。

각 궤적을 따라 각 입력 인자에 대한 소위 기본 효과는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle d_{}i}$ (${\displaystyle }$X ) ${\displaystyle =\frac{}{}Y\frac{}{}}$ ( ${\displaystyle \frac{{}_{}{1\mathrm{}}_{}}{}}$ , ${\displaystyle \frac{...}{}}$ , ${\displaystyle \frac{{X\mathrm{i}}_{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{1_{}}{}}$ , ${\displaystyle \frac{{}_{}{}_{}{i}_{}}{}}$ +${\displaystyle \frac{{}_{}\mathrm{\delta }}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ,${\displaystyle \frac{}{}}$X${\displaystyle \frac{{\mathrm{k}}_{}}{}}$) -${\displaystyle \frac{Y\mathbf{}}{}}$ (${\displaystyle \frac{}{}}$X )$$ \ $display style$ d _ { $i$} ( X ) =$frac${ Y ( X $_ {$ 1 , \$ldots$, $X$_ { _ 1$}$ )

$여기$서 X $=$ ( ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$1, X${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle }$. ${\displaystyle X_{}}$k )$${$displaystyle \mathbf {X}$ =($X_{1},X_{2}...$$X_{k}$는 각 $인덱스{\displaystyle }$ i ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \dots ,}$$$. \$displaystyle$$$i$=1,\ldots,k$ .$$$}$에 대해 변환된 포인트가 $δ$ \$displaystyle$ \Omega$$$$}에 있는 δ { displaystyle \Omega $}$

${\displaystyle r}$\ $displaystyle$ r$$${\displaystyle {\mathrm{element<img\; alt="r"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.049ex;\; height:1.676ex;"\; papago-attr-id="68">}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {are}_{}}$ 、 ${\displaystyle X_{}{}_{}{（}^{}{1}^{}}$ ${\displaystyle ）{}_{}}$、${\displaystyle {}^{}}$（ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 、 ...${\displaystyle }$、 ${\displaystyle {}^{}}$ （ r$$） 、 $X$（ ${\displaystyle r^{}}$ ） \ $right$、 $d _$ { $i$} \ 、 d _ $right$、 d _ { i } \ left( $X^$ { (1$)$ } } \ 、 \ $leftwright$ ) 、 \ $lefaults$ 、 \ 、 \ $left$ 、 \ 、 D 、 D (((((((((((((( r r r r r r r r${\displaystyle {(}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle ...}$ ,${\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle r^{}}$) { $displaystyle$ X^ { (1$)$ } , $X^$ { (2$)$ } 、 $\ldots$ , $X^$ { ($$r )$$} 。

$통상적$으로$$r\$$$displaystyle$r~4-10은 모델의 연산비용과 레벨 $선택{\displaystyle }$ p\$displaystyle$ p\displaystyle p$\backslash$는 탐색 샘플을 얻기 위해서는 높은 궤적으로 균형을 이루어야 하기 때문에 입력요소에 따라 달라집니다.$파라미터{\displaystyle }$ p$\displaystyle$p와$$ $\delta {\displaystyle \mathrm{}}$$$${$$displaystyle$$\Delta}$는 p${\displaystyle /[2(\mathrm{p-1}})]$와 $같은{\displaystyle \mathrm{}}$ p${\displaystyle \backslash }$$displaystyle$p$\$$delta }$가 p/[2(p-1)]와 같은 p\$displaystyle$ p$/[2(p-1)]$로 선택하기에 편리한 것으로 나타났다.

입력 요인이 균일하게 분포되지 않은 경우, 가장 좋은 방법은 분위수 공간에서 표본을 추출하고 역 누적 분포 함수를 사용하여 입력 값을 구하는 것입니다.이 경우$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle \Delta$）은$$(는) 입력에 의해 실행되는 단계입니다.

두 가지 $측정값{\displaystyle }$μ(\$displaystyle \mu ）$와$\mu {\displaystyle }$(\$displaystyle \sigma)$는 각 입력의 원소 효과 분포의 평균 및 표준 편차로 정의됩니다.

${\displaystyle {\mu }_{}}$ i ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{r}}}$ ${\displaystyle \sum \underset{}{\overset{}{}}}$ j ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ r ${\displaystyle {di}_{}}$(${\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle j^{}}$) { $displaystyle$\$mu$_ { i } =$flac {$ { r } { r } \ $sum$_ { j$= 1 r$} d$_$ { $i$} \$left$ ( X$$^ { ( j ) } \ $right )$,

${\displaystyle i_{}}$ i${\displaystyle {}_{}\sqrt{\frac{=}{}}}$ ${\displaystyle 1\sqrt{\frac{\mathrm{}}{}}}$ (${\displaystyle \sqrt{\frac{}{}}}$r${\displaystyle \sqrt{\frac{}{}}}$- ${\displaystyle \sqrt{\frac{1}{}\underset{}{\overset{}{}}}}$) j ${\displaystyle \sqrt{\underset{}{\overset{}{j}}}}$=${\displaystyle \sqrt{{{}_{}}^{}\underset{}{\overset{}{}}{{}^{}}^{}}}$ ( ${\displaystyle \sqrt{{X^{}}^{}}}$(${\displaystyle \sqrt{{{}^{}{}_{}}^{}}}$) -${\displaystyle \sqrt{{{}_{}{\mu }_{}}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{\mathrm{}}^{}}}$) 2 ( \$displaystyle$ \$frac$ { { i } $= sq$ { { \$frac$ { } { （ r - $1$） } } \$sum _${ $r left$ ( d _ {$i$ } \ $leflect$ （ x ^ { j$$} \ i } ) _ i ） _ right ）$$_ mu }

중요도 순서대로 입력 인자의 순위를 매기고 출력 변동성에 영향을 미치지 않는 입력을 식별하기 위해 이 두 가지 척도를 함께 읽을 필요가 있다(예: 2차원 그래프).$\mu {\displaystyle }$$${ $displaystyle$\ $mu }$ ${\$ {\ {\ {\ {\ {\ { $displaystyle$\$sigma }$의 낮은 값은 영향을 받지 않는 입력에 해당합니다$$.

이 방법의 개선은 Campolongo ^[2]등에 의해 개발되었으며, Campolongo 등은 그 자체만으로도 입력 인자의 신뢰할 수 있는 순위를 제공하기에 충분한 $개정$된 측정값 μ $†$ {$displaystyle \mu$을 제안했다.수정된 척도는 입력 요인의 기본 효과의 절대값 분포의 평균입니다.

${\displaystyle {\mu }_{}^{}}$ i ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ r${\displaystyle \underset{1}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{j}}}$ = 1 ${\displaystyle r\underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle {di}_{}}$(${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle j^{}}$ ) { $displaystyle \ mu$_ { i } { { i } =$flac${ $r }$ { r } \ $sum$_ { j$= 1 r$} \ $left$($X^$ { j ) \ $right$

μ ${\$ { \ $displaystyle$\ $mu ^$ { * } $\mu$ modelot and the the the each is cancel cancel signs is is is is is is is is is is is $thedisplaydisplay$ ${\displaystyle$ \mu$$。

EE 방법에 사용되는 궤적을 구성하기 위한 효율적인 기술 계획은 Morris에 의해 원본 논문에 제시되었으며, 입력 공간을 더 잘 탐색하기 위한 개선 전략은 Campolongo 등에 의해 제안되었다.

레퍼런스