타원 연산자

부분 미분 방정식 이론에서 타원 연산자는 라플라스 연산자를 일반화하는 미분 연산자다. 그것들은 가장 높은 순서의 파생상품의 계수가 양수라는 조건에 의해 정의되며, 이는 주요 상징이 변위할 수 없다는 핵심 특성을 내포하거나 또는 실제 특성 방향이 없다는 동등하게 의미한다.

타원 연산자는 전위 이론의 전형이며, 전기학 및 연속체 역학에서 자주 나타난다. 타원형 정규성은 그 해답이 부드러운 함수(운용자의 계수가 부드러운 경우)를 의미한다. 쌍곡식과 포물선 방정식에 대한 정상 상태 해법은 일반적으로 타원 방정식을 해결한다.

정의들

$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$을(를) R의ⁿ 도메인 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega }$에서 순서 m의 선형 차등 연산자로 사용$$

where ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},...,\alpha _{n})}$ denotes a multi-index, and ${\displaystyle \partial ^{\alpha }u=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{n}^{\alpha _{n}}u}$ denotes the partial derivative of order ${\dis$$x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 있는 재생 $스타일 \cHB$ _{i$\}.$

그 다음 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ $L$$}$의 모든 x와 R의ⁿ 모든 0이 아닌 모든 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$에 대해 $L{\displaystyle }${\displaystyle L$}$을(를) 타원이라고 한다.

여기서 ${\displaystyle {\alpha }^{}}$= ${\displaystyle {\alpha 1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{\alpha 1\mathrm{}}_{}}_{}^{}{\alpha n}_{}^{}}$ αn ${\$ {\displaystyle \$xi ^{\n1}^{{1}\cdots \xi _{n}^{n}{n$

많은 애플리케이션에서, 이 조건은 충분히 강하지 않으며, 대신에 순서 m = 2k의 연산자에 대해 균일한 타원성 조건이 부과될 수 있다.

여기서 C는 양의 상수다. 타원성은 가장 높은 순서의 항에만 의존한다는 점에 유의하십시오.^[1]

비선형 연산자

선형화가 타원형인 경우, 즉 u에 대한 1차 테일러 확장 및 임의 지점에 대한 파생 모델이 타원형 연산자일 경우.

예 1

R에서^d 라플라크의 음은 다음과 같다.

$${\displaystyle -\Delta u=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}^{2}u}$$

균일 타원 연산자. 라플라스 연산자는 전기 공학에서 자주 발생한다. 만약 ρ이 어떤 영역 내의 전하 밀도 Ω이면, 전위 φ은 방정식을 만족해야 한다.

$${\displaystyle -\Delta \delta \Phi =4\pi \rho .}$$

예 2

매트릭스 값 함수 A(x)는 모든 x에 대해 대칭적이고 양수이며 성분 a를^ij 갖는 연산자

$${\displaystyle Lu=-\partial _{i}\left(a^{ij}(x)\partial _{j}u\오른쪽)+b^{j}\partial _{j}u+cu}$$

타원형이다. 이것은 선형 타원 미분 연산자 형태의 가장 일반적인 2차 분기 형태다. 라플라스 연산자는 A = I를 취함으로써 얻는다. 이러한 연산자는 편광 매체에서 전기 공학에서도 발생한다.

예 3

p 음수가 아닌 숫자의 경우, p-Laplacian은 다음에 의해 정의된 비선형 타원 연산자다.

$${\displaystyle L(u)=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}\left(\nabla u ^{p-2}\partial _{i}u\right).}$$

빙하 역학에서 유사한 비선형 연산자가 발생한다. 글렌의 흐름 법칙에 따르면, 카우치 스트레스 텐서(Cauchy stress tensor of ice)는 에 의해 주어진다.

$${\displaystyle \tau _{ij}=B\left(\sum _{k,l=1}^{3}\left(\partial _{l}u_{k}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{3}}}\cdot {\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}u_{i}+\partial _{i}u_{j}\right)}$$

어떤 일정한 B를 위해서. 안정된 상태의 빙상의 속도는 비선형 타원계를 해결할 것이다.

$${\displaystyle \sum \sum _{j=1}^{3}\partial _{j}\tau_{ij}+\rho g_{i}-\partial _{i}p=Q,}$$

여기서 ρ은 얼음 밀도, g는 중력 가속 벡터, p는 압력, Q는 강제항이다.

타원 정규성 정리

L은 2k 연속 유도체를 갖는 계수를 가진 2k 순서의 타원 연산자가 되도록 한다. L에 대한 Dirichlet 문제는 함수 f와 Lu = f 및 적절한 경계 값과 같은 일부 적절한 경계 값을 주어진 함수 u를 찾는 것이다. 게딩의 불평등과 락스-밀그램 보조정리법을 이용한 타원 연산자의 존재이론은 소볼레프 공간 H에^k 약한 해법 u가 존재한다는 것만을 보장한다.

이러한 상황은 궁극적으로 만족스럽지 못하며, 약한 해결책 u는 고전적인 의미에서 루라는 표현이 잘 정의될 만한 충분한 파생상품을 가지고 있지 않을 수 있기 때문이다.

타원형 정규성 정리는 f가 사각형 통합이라면 u는 사실상 2k 사각형 통합형 약한 파생상품을 가질 것임을 보장한다. 특히 f가 무한히 다른 경우가 많다면 u도 마찬가지다.

이 특성을 나타내는 모든 차등 연산자는 차등 연산자라고 불리며, 따라서 모든 타원 연산자는 차등 연산자다. 그 속성은 또한 타원 연산자의 모든 근본 해결책은 0을 포함하지 않는 어떤 동네에서도 무한히 다를 수 있다는 것을 의미한다.

애플리케이션으로서 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) Cauchy-Remann 방정식을 만족한다고$$ 가정해 보십시오. Cauchy-Remann 방정식이 타원 연산자를 형성하므로 f {\$displaystyle$ f$}$이(가$)$ $평활하다는{\displaystyle }$ 것을$$ 따른다.

일반적 정의

$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$을(를) 모든 등급의 벡터 번들 간에 (비선형적으로 비선형적인) 차등 연산자가 되도록$$ 한다. 단일 형식 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi }$에 대한$$ 주 기호 ${\displaystyle {\sigma }_{}}$ $){\displaystyle \sigma _{\xi }(D)$를 취하십시오$($기본적으로 현재 수행 중인 작업은 가장 높은 순위의 공변량 파생 모델$\$ {\$displaystyle \nabla$}을 $벡터{\displaystyle }$ 필드 $\$ {\\\$xi xi$ {\\\xi$}$로 대체하는 것이다).$$

우리는 $){\displaystyle$ $D}$가 0이 아닌 모든 non {\$displaystyle{\displaystyle }$ \$sigma$ _${\xi }(D)$에 대한 선형 이형성인 경우 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$은 약하게 타원형이라고 말한다$.$

우리는 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$이(가) 일부 상수 > ${\displaystyle c>0}$에 대해 강하게 타원형이라고$$ 말한다

${\displaystyle \left([\sigma _{\xi }(D)](v),v\right)\geq c\v\v\^{2}}:$

${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle \Vert }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \xi \=1}$ 및 모든$$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$에 대해$.$ 기사의 앞부분에서 타원성의 정의는 강한 타원성이라는 점에 유의해야 한다. 여기서 (${\displaystyle \cdot }$ ,$){\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$은 내제품이다. $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$은(는) 코브터 필드 또는 단일 형식이지만 v ${\displaystyle v}$은(는) $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$이(가) 작용하는 벡터 번들의 요소라는 점에 유의하십시오.

(강력하게) 타원 연산자의 주요 예는 라플라시안(또는 관례에 따라 음수)이다. $강한{\displaystyle }$ 타원성을 선택하기 위해서는 D ${\displaystyle D}$이(가) 짝수일 필요가 있다는$$ 것을 어렵지 않게 알 수 있다. $그렇지{\displaystyle }$ 않으면 ▼ ${\displaystyle \xi }$과(와) 음수를 모두 연결하십시오. 반면에 디락 연산자와 같은 약하게 타원형 1차 연산자는 정사각형을 이루어서 라플라시안처럼 강한 타원형 연산자가 될 수 있다. 약하게 타원 연산자의 구성은 약하게 타원이다.

약한 타원성은 그럼에도 불구하고 프레드홀름 대안과 아티야-싱어 지수 정리에는 충분히 강하다. 반면에 최대 원리를 위해서는 강한 타원성이 필요하고, 고유치가 이산적이며, 그 한계점이 무한하다는 것을 보증하기 위해서는 필요하다.

참고 항목

• 타원 부분 미분 방정식
• 쌍곡선 부분 미분 방정식
• 포물선 부분 미분 방정식
• 홉프 최대 원리
• 타원복합체
• 울트라하이퍼볼릭파 방정식
• 반엘립트 연산자
• 바일 보조정리

메모들

참조

• Evans, L. C. (2010) [1998], Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics, vol. 19 (2nd ed.), Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4974-3, MR 2597943
  검토:
  Rauch, J. (2000). "Partial differential equations, by L. C. Evans" (pdf). Journal of the American Mathematical Society. 37 (3): 363–367. doi:10.1090/s0273-0979-00-00868-5.
• Gilbarg, D.; Trudinger, N. S. (1983) [1977], Elliptic partial differential equations of second order, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 224 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13025-3, MR 0737190
• Shubin, M. A. (2001) [1994], "Elliptic operator", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

외부 링크

• EqWorld의 선형 타원 방정식: 수학 방정식의 세계.
• EqWorld의 비선형 타원 방정식: 수학 방정식의 세계.