디락 연산자

수학과 양자역학에서 디락 연산자는 라플라크와 같은 2차 연산자의 공식 제곱근(반반복)인 미분 연산자다. 폴 디락과 관련된 원래의 경우는 공식적으로 밍코우스키 공간의 연산자를 고려하는 것이었고, 특수 상대성 이론과 양립할 수 있는 양자 이론의 형태를 얻는 것이었으며, 관련 라플라시안을 그가 스피너들을 소개한 1차 연산자의 산물로서 얻는 것이었다.

형식 정의

일반적으로 D는 리만 다지관 M을 통해 벡터 번들 V에 작용하는 1차 차동 운영자가 되도록 한다. 만약

${\displaystyle D^{2}=\Delta ,\,}$

여기서 ∆은 V의 라플라시아인이고, 그 다음에 D를 디락 연산자라고 부른다.

고에너지 물리학에서 이 요건은 종종 완화된다. D의² 2차 부분만 라플라시안과 같아야 한다.

예

예 1

D = -i ∂_x은 선 위의 접선 번들에 있는 Dirac 연산자다.

예 2

물리학에서 주목할 만한 중요성을 지닌 간단한 번들, 즉 스핀이 있는 입자의 구성 공간을 고려하십시오. 1/2은 기본 다지관인 평면에 국한된다. 파동함수 ψ² : R → C로² 표현된다.

${\displaystyle \cHBMatrix}\chi(x,y)\\eta(x,y)\end{bmatrix}}}$

여기서 x와 y는 R². χ의 일반적인 좌표함수로서, 입자가 스핀업 상태에 있을 확률 진폭과 η의 확률 진폭을 지정한다. 소위 스핀 디락 연산자는 그 다음에 쓰일 수 있다.

${\displaystyle D=-i\sigma _{x}\partial _{x}-i\sigma _{y}\partial _{y}}}$

Pauli_i 행렬은 어디에 있다. Pauli 매트릭스에 대한 반공관계는 위의 정의한 재산에 대한 증거를 사소한 것으로 만든다는 점에 유의한다. 그 관계들은 클리포드 대수학의 개념을 정의한다.

스피너장에 대한 디랙 방정식의 해법은 흔히 조화 스피너라고 불린다.^[1]

예 3

파인만의 디락 연산자는 프리 페르미온의 전파를 3차원으로 묘사하고 있으며 우아하게 쓰여져 있다.

$\displaystyle D=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\equiv \partial \!\!\!/,}$

파인만 슬래시 표기법 사용. 양자장 이론의 입문 교재에서 이것은 형태로 나타날 것이다.

${\displaystyle D=c{\vec {\alpha }}\cdot(-i\hbar \nabla _{x})+mc^{2}\beta }}$

where ${\displaystyle {\vec {\alpha }}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})}$ are the off-diagonal Dirac matrices ${\displaystyle \alpha _{i}=\beta \gamma _{i}}$, with ${\displaystyle \beta =\gamma _{0}}$ and the remaining constants are ${\displays$$tyle c}$ 빛의 속도, $\hslash {\displaystyle }$ ${\displaystyle \hbar }$ Planck의 상수, m ${\displaystyle$ m} 페르미온의 질량$($예: 전자)이다. 그것은 매끄럽고 사각 통합 가능한 함수의 소볼레브 공간인 4개의$$구성 요소 파동 함수 $\psi {\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$)$(\displaystyle \psi (x)\in L^{2}(\mathb {R} ^3},\mathb {C} ^4})$에 작용한다. 그것은 그 도메인의 자칭 연산자로 확장될 수 있다. 이 경우 사각형은 라플라시안이 아니라 ${\displaystyle {D2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$+ ${\displaystyle {m\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$$\hslash {\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{c}}$= 1.${\displaystyle \hbar$=c$=$$1$).$}$)

예 4

또 다른 디락 연산자는 클리포드 분석에서 발생한다. 유클리드 n-공간에서 이것은

${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}}}}}}$

여기서 {e_j: j = 1, ..., n}은(는) 유클리드 n-공간에 대한 정형근거이며, R은ⁿ 클리포드 대수학(Clifford 대수학)에 내장되어 있는 것으로 간주된다.

이것은 스피너 번들의 섹션에 작용하는 아티야-싱어-디락 운영자의 특별한 경우다.

예 5

스핀 다지관 M의 경우 아티야-싱어-디락 연산자는 다음과 같이 로컬로 정의된다. x ∈ M 및 e₁(x), ..., e_j(x) x에서 M의 접선 공간에 대한 국부적 정형외과적 기준의 경우, Atiyah-Singer-Dirac 연산자는

${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}(x){\tilde{\\gamma }}{e_{j}(x)}},}$

여기서 $~{\$은(는) 회전 연결로, M 위의 회전기 번들에 대한 M의 Levi-Civita 연결의 리프팅이다. 이 경우 사각형은 라플라시안이 아니라 $D{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$+ R${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 4\mathrm{}}$ ${\displaystyle$ D$^{2}=\Delta +R/4}$이며, $여기$서 R ${\displaysty R}$은 연결부의 스칼라 곡률이다.^[2]

일반화

Clifford 분석에서, 연산자 D : C^∞(R^k rⁿ R, S) → C^∞(R^k rⁿ R, C^k s S)가 정의한 스피너 값 함수에 작용한다.

${\displaystyle f(x_{1},\ldots,x_{k})\mapsto {\pmatrix}\mapsto {\\cH00FF\\{\\nowledline {x_{1}{1}2}}:f\\dots\\\{\\\\\\nowline {x_{pmatrix}}}}$

k Clifford 변수로는 Dirac 연산자라고도 한다. In the notation, S is the space of spinors, ${\displaystyle x_{i}=(x_{i1},x_{i2},\ldots ,x_{in})}$ are n-dimensional variables and ${\displaystyle \partial _{\underline {x_{i}}}=\sum _{j}e_{j}\cdot \partial _{x_{ij}}}$ is the Dirac i번째 변수의 연산자. 이것은 디락 연산자(k = 1)와 돌벌 연산자(n = 2, k 임의)의 일반적인 일반화다. 불변 미분 연산자로, 그룹 SL(k) × 스핀(n)의 작용에 따라 불변한다. D의 해상도는 일부 특수한 경우에만 알려져 있다.

참고 항목

참조

• Friedrich, Thomas (2000), Dirac Operators in Riemannian Geometry, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2055-1
• Colombo, F., I.; Sabadini, I. (2004), Analysis of Dirac Systems and Computational Algebra, Birkhauser Verlag AG, ISBN 978-3-7643-4255-5