특성방법

미분 방정식
장애물 주위의 공기 흐름을 시뮬레이션하는 데 사용되는 Navier-Stokes 미분 방정식
범위
필드 자연과학 공학 천문학 물리학 화학 생물학 지질학 응용 수학 연속체 역학 혼돈 이론 다이너믹 시스템 사회과학 경제학 인구역학
분류
종류들 보통 부분적 차동알지브라질 인터그로 차동 분수 선형 비선형 변수 유형별 종속변수와 독립변수 자율적 콤플렉스 결합/분리됨 정확한 동종/비동종 특징들 주문 연산자 표기법
프로세스와의 관계 차이(구체 아날로그) 스토카스틱 확률적 부분 지연
해결책
존재와 고유성 피카르-린델뢰프 정리 페아노 존재 정리 카라테오도리의 존재 정리 카우치-코왈레프스키 정리
일반 주제 룬스키안 위상 초상화 위상공간 랴푸노프 / 점근증 / 지수 안정성 수렴율 시리즈/적분 솔루션 수치적 통합 디라크 델타 함수
솔루션 방법 감사 특성방법 오일러 지수 반응식 유한차이 (크랭크-니콜슨) 유한요소 무한요소 유한 부피 갤러킨 페트로프-갈러킨 집적인자 적분 변환 섭동 이론 룬게쿠타 변수의 분리 결정되지 않은 계수 모수의 변동
사람
리스트 아이작 뉴턴 고트프리드 라이프니즈 레온하르트 오일러 에밀 피카르 요제프 마리아 회네브로이스키 에른스트 린델뢰프 루돌프 립시츠 아우구스틴루이코치 존 크랭크 필리스 니콜슨 칼 데이비드 톨메 룬지 마르틴 쿠타
v t

수학에서 특성의 방법은 부분 미분 방정식을 푸는 기법이다. 일반적으로 특성의 방법이 쌍곡선 부분 미분 방정식에 유효하지만, 일반적으로 1차 방정식에 적용된다. 이 방법은 부분 미분 방정식을 일반적인 미분 방정식 계열로 줄여 적절한 초면에 주어진 초기 데이터에서 솔루션을 통합할 수 있도록 하는 것이다.

1차 부분 미분방정식의 특성

1차분차방정식(부분미분방정식)의 경우 특성의 방법은 곡선(특성곡선 또는 정의특성이라고 함)을 발견하며, 따라서 PSE가 일반미분방정식(OSDE)이 된다.^[1] 일단 ODE가 발견되면 특성 곡선을 따라 해결되어 원래의 PDE를 위한 솔루션으로 변형될 수 있다.

단순성을 위해 당분간 두 개의 독립 변수 x와 y의 함수의 경우에 대해서만 주의를 기울인다. 양식의 quasilinar PDE 고려

${\displaystyle a(x,y,z){\frac {\frac}{\fract x}+b(x,y,z){\fract z}{\fract y}}=c(x,y,z){\fract z}.}$

(1)

솔루션 z가 알려져 있다고 가정하고 표면 그래프 z = R의³ z(x,y)를 고려하십시오. 이 표면의 정상 벡터는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \left \frac}{\present z}{\present z}(x,y),{\frac {\present z}{\presid y}}}(x,y),-1\right.\,}$

결과적으로 방정식 (1)은 벡터장이 갖는 기하학적 문과 동등하다.^[2]

${\displaystyle(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z)\,}$

모든 점에서 표면 z = z(x,y)에 접하며, 위의 정규 벡터를 가진 이 벡터 필드의 도트 곱은 0이다. 즉, 용액의 그래프는 이 벡터 필드의 적분 곡선 조합이어야 한다. 이러한 적분 곡선은 원래 부분 미분 방정식의 특성 곡선이라고 하며, 라그랑주-차르핏 방정식에^[3] 의해 주어진다.

${\displaystyle {\dt}{rcl}{dx}{dt}&a(x,y,z)\\\\frac {dt}&b(x,y,z)\\\\frac {dz}{dt}&c(x,y,z)&c(x,y,z)\end{array}}}$

라그랑주-샤르핏 방정식의^[3] 파라메트리제이션 불변형식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z)}}}}}}$

선형 및 Quasilinar 발생 사례

이제 양식의 PDE를 고려하십시오.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}(x_{1},\reason,x_{n},u){\frac {\fract u}{\preason x_{i}}}}=c(x_{1},\fla_{n},n}u).}$

이 PDE가 선형이 되려면 계수_i a는 공간 변수의 함수일 수 있으며 u와는 독립적일 수 있다. 그것이 quasilinar이 되려면 a도_i 함수의 가치에 따라 달라질 수 있지만 파생상품에는 의존하지 않는다.^[4] 이 두 사건의 구별은 여기서 논의하는데 필수적이다.

선형 또는 quasilinar pDE의 경우 특성 곡선은 다음과 같이 모수적으로 주어진다.

${\displaystyle(x_{1},\display,x_{n},u)=(x_{1}s),\display,x_{n}s,u(s)}$

${\displaystyle u(\mathbf {X})(s)=U}$

다음과 같은 OSE 시스템이 만족되도록.

${\dplaystyle {\frac {dx_{i}}}{ds}=a_{i}(x_{1},\reason,x_{n}u)}$

(2)

${\displaystyle {\frac {du}{ds}}=c(x_{1},\reason,x_{n}u).}$

(3)

방정식 (2)와 (3)은 PDE의 특성을 나타낸다.

Quasilinear 케이스에 대한 증거

Quasilinar의 경우, 특성 방법의 사용은 Grönwall의 불평등에 의해 정당화된다. 위의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

우리는 ODE에 대한 해결책과 우리가 선험적으로 동일하다고 알지 못하는 PDE에 대한 해결책을 구별해야 한다. 대문자로 ODE의 해결책이 될 수 있도록 하는 것

$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle s}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle u}$( ${\displaystyle X}$( s${\displaystyle }$)${\displaystyle }$-${\displaystyle U}$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ${\$^{$2$ 이를 $구분$하면 알 수 있다.

어느 것이 와 같은가.

We cannot conclude the above is 0 as we would like, since the PDE only guarantees us that this relationship is satisfied for ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$, ${\displaystyle \mathbf {a} (\mathbf {x} ,u)\cdot \nabla u(\mathbf {x} )=c(\mathbf {x} ,u)}$, and we do not yet know that ${\displaystyle U}$(${\displaystyle s}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle u}$( ${\displaystyle X}$( s${\displaystyle }$)${\displaystyle U(s)=u(\mathbf {X})}$.

그러나, 우리는 그것을 알 수 있다.

PDE에 의해, 마지막 항은 0이다. 이것은 대등하다.

삼각형 불평등에 의해, 우리는

,${\displaystyle c}${\$displaystyle \mathbf {a},c}$이(가) $적어도{\displaystyle {}^{}}$ C ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle C^{$1}이라고 가정할 때, 우리는 이것을 작은 시간 동안 바인딩할 수 있다$.$ $주변{\displaystyle \mathbf{}\mathrm{\Omega }\{\backslash }$$displaystyle \Oomega}$을(를) X (0 ) , ${\displaystyle U}$($0$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathbf {X}, U (0)$ 충분히 작아서$$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaysty \mathbf {a},c}$이(가) 로컬 Lipschitz를 선택하십시오$$. By continuity, ${\displaystyle (\mathbf {X} (s),U(s))}$ will remain in ${\displaystyle \Omega }$ for small enough ${\displaystyle s}$. Since ${\displaystyle U(0)=u(\mathbf {X} (0))}$, we also have that ${\displaystyle (\mathbf {X} (s)$$,u(\mathbf {X} (s))}$은(는) 연속성에 의해$$ 충분히 $작은{\displaystyle }$ s ${\displaystyle s}$에 대해 Ω ${\displaystyle \Oomega }$이(가) 될 것이다$$. So, ${\displaystyle (\mathbf {X} (s),U(s))\in \Omega }$ and ${\displaystyle (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s)))\in \Omega }$ for ${\displaystyle s\in [0,s_{0}]}$. Additionally, ${\displaystyle \ \nabla u(\mathbf {X}$$(s)\$ 일부 ${\displaystyle M\mathbb{}}$$q$R ${\$에서$$s $for$ [${\displaystyle 0}$, s ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s\in [0,s_{0}]$에 대한$$ \leq M$}$ 이로부터 우리는 위의 내용이 다음과 같이 한정되어 있음을 알게 된다.

for some ${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$. It is a straightforward application of Grönwall's Inequality to show that since ${\displaystyle \Delta (0)=0}$ we have ${\displaystyle \Delta (s)=0}$ for as long as this inequality holds. $우리$는 이 간격에${\displaystyle }$$u{\displaystyle }$(${\displaystyle }$${\displaystyle X}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle U}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle$$[0,\epsilon )}$이$(가)$ 있다$.$ 가장$$ 큰 $ϵ{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon }$을(를) 선택하십시오. Then, by continuity, ${\displaystyle U(\epsilon )=u(\mathbf {X} (\epsilon ))}$. Provided the ODE still has a solution in some interval after ${\displaystyle \epsilon }$, we can repeat the argument above to find that ${\displaystyle u(X(s))=U(s)}$ in a larger interval. 따라서, ${\displaystyle \mathrm{ODE}}$에 해결책이 있는 한, 우리는 $u{\displaystyle (X}$( )${\displaystyle }$= ${\displaystyle U}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle u(X)=U}$가 있다$.$

완전 비선형 케이스

부분 미분 방정식을 고려하십시오.

${\displaystyle F(x_{1},\dots,x_{n},u,p_{1},\dots,p_{n}=0}$

(4)

여기서 변수 p는_i 부분파생상품의 속칭이다.

${\displaystyle p_{i}={\frac {\frac {\fract u}{\reason x_{i}}.}$

(x_i),u,p는_i R의²ⁿ⁺¹ 곡선이 되도록 한다. 당신이 어떤 해결책이라고 가정해 봅시다.

${\displaystyle u(s)=u(x_{1}s),\display,x_{n}s.}$

솔루션을 따라, s에 대해 차별화(4)하는 것은 다음과 같다.

${\displaystyle \sum \sum _{x_{i}}+F_{u}p_{i}{i}}{\dot{p_{p}}}}{p}}}{p}}}}}{i}=0}$

${\dot스타일 {\dot{u}-\sum _{i}p_{i}{\dot{x}_{i}=0}$

${\displaystyle \sum _{i}({\dot{x}}_{i}dp_{i}-{\dot{p}_{dx_{i}}=0).}$

두 번째 방정식은 솔루션 u에 체인 규칙을 적용하는 것에서 따르며, 세 번째 방정식은 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ -${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{p}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ $[\displaystyle du-\sum _{i}p_{i}\,dx_{i}=0}$관계의 외부 파생물을 취함으로써 따르게 된다$.$ 이러한 방정식을 조작하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\dot스타일 {\x}_{i}=\lambda F_{p_{i}},\quad {\p}_{i}}=-\lambda(F_{x_{i}+F_{u}p_{i}),\quad {\}}}}{i}}}}}}}}\lambda \sum \i}F_{p_{i}}}$

여기서 λ은 상수다. 이러한 방정식을 보다 대칭적으로 작성하면 특성에 대한 라그랑주-샤르핏 방정식을 얻게 된다.

${\daptyle {{\frac {{\x}_{i}}{F_{p_{i}}}-{\frac {{p}_{i}}{F_{x_{i}}+F_{u}}}}={\frac {\dot{}}}{\sump_{i}F_{p_{i}}}.}$

기하학적으로, 완전 비선형 사례의 특성 방법은 미분 방정식의 몽게 원뿔이 용액의 그래프에 닿는 것을 요구하는 것으로 해석할 수 있다.

예

예를 들어 부속 방정식을 고려하십시오(이 예는 PDE 표기법과 기본 ODE에 대한 해법에 익숙하다고 가정함).

${\displaystyle a{\frac {\fract u}{\preason x}+{\fract u}{\preason t}=0}$

$여기$서 ${\displaystyle a}$은(는) 일정하고$$ $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$은(는) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및 $t$ ${\displaystytle t}$의 함수$.$ 이 선형 1차 PSE를 적절한 곡선을 따라 ODE로 변환하고자 한다. 즉, 형식의 일부

${\displaystyle {\frac {d}{ds}u(x),t(s)=F(u,x),t(s),}$

여기서${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$(${\displaystyle }$) ,${\displaystyle t}$ (${\displaystyle }$) , ${\displaystyle t}$ (${\displaystyle }$)${\displaystyle (x(s), t(s)}$은 특성 선입니다. 첫째, 우리는 발견한다.

${\displaystyle {\frac {d}{ds}{ds}}{\frac {\frac}{dx}{ds}}+{\frac {\frac {dt}{ds}}}}}}{\frac {ds}{\frac {d}{ds}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}?$

사슬로 $이제{\displaystyle \frac{}{}}$ d ${\displaystyle \frac{x}{}}$ d ${\displaystyle \frac{s}{}}$= ${\dplaystyle {\frac {dx}{ds}}=a$$}$ 및 $d{\displaystyle \frac{}{}}$ t ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{s}{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1}$을(를$$) ${\displaystyle \mathrm{설정하면}}$

${\displaystyle a{\frac {\preason u}{\preason x}+{\fract u}{\preason t}}}$

우리가 시작한 PDE의 왼편이야 그러므로

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\frac}{\fract u}{\fract u}{\fract t}=0.}$

So, along the characteristic line ${\displaystyle (x(s),t(s))}$, the original PDE becomes the ODE ${\displaystyle u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0}$. That is to say that along the characteristics, the solution is constant. 따라서 $u{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle s_{}{}_{}}$, t$$${\displaystyle s_{}}$) =${\displaystyle u}$(${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle 0}$ )$${\$displaystyle$$u(x_{s$$},t_{s$$u$$($$x_$${$$0},0$$)}$가 동일한$$ ${\displaystyle {특성}_{}}$에${\displaystyle }$놓여$있다.$ 따라서, 일반적인 해결책을 결정하기 위해서는, ODE의 특성 시스템을 해결함으로써 그 특성을 찾기에 충분하다.

• ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{t}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\frac {dt}{dds}=1$ $t{\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t(0)=0}$을(를) $확인$하면 ${\displaystyle t}$= s ${\displaystyt t=s$
• ${\displaystyle \frac{}{}d}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{s}{}}$= ${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=a$${\displaystyle }x{\displaystyle }$ ${\displaystyle (0}$) = ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle$x ($0)=x_{0},$ ${\displaystyle \mathrm{x<img\; alt="x(0)=x\_\{0\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/20c92f17b65057cd0714e255b61557b6ba31f61b"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:9.784ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="292">}}$= s${\displaystyle }$+ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= t${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ = ${\displaystyle t}$ + x 0$(\displaystystyle x=as$+x_${0$}=$at$+x_${0}={$0}={0}}$x_{0$
• ${\displaystyle {\frac {du}{ds}}=0}$, letting ${\displaystyle u(0)=f(x_{0})}$ we know ${\displaystyle u(x(t),t)=f(x_{0})=f(x-at)}$.

이 경우 특성 선은 $기울기$가 ${\displaystyle a}$인$$직선이며, $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ u$}$의 값은 특성 선을 따라 일정하게$$ 유지된다.

선형 미분 연산자의 특성

X를 가변성 매니폴드로 하고 P를 선형 차동 연산자로 두십시오.

$[\displaystyle P:C^{\potty }(X)\to C^{\potty }(X)}$

순서 k의 로컬 좌표계 x에서ⁱ,

${\displaystyle P=\sum _{ \alpha \leq k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial x^{\alpha }}}}}}}}$

α는 다중 지수를 의미한다. P의 주요 기호는 σ으로_P 표시되며, 이 로컬 좌표에 정의된 Cotangent 번들 TX의^∗ 함수로서,

${\displaystyle \sigma _{P}(x,\xi )=\sum \{\alpha =k}P^{\alpha }x(x)\xi _{\alpha }}}}}}}}}$

여기서 ξ은_i 좌표 차분 dx에ⁱ 의해 유도된 등각 번들의 섬유 좌표다. 이것이 특정 좌표계를 사용하여 정의되지만, ξ과_i x와ⁱ 관련된 변환 법칙은 σ이_P 등각 번들에 잘 정의된 함수임을 보장한다.

함수 σ은_P ξ 변수에서 도 k의 동질이다. TX의^∗ 0 구간에서 떨어져 있는_P of의 0은 P의 특성이다. F(x) = c 등식으로 정의된 X의 과외면을 x에서 특성 과외면이라고 한다.

${\displaystyle \sigma _{P}(x,dF(x)=0).}$

항상 특징적인 초면이란 P의 특징적인 집합에 있는 초면체다.

특성 정성분석

특성은 또한 PDE에 대한 질적 통찰력을 얻기 위한 강력한 도구다.

그 특징들의 교차점을 이용하여 압축성 유체의 잠재적 흐름에 대한 충격파를 찾을 수 있다. 직관적으로 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$에 대한 솔루션을 암시하는 각 특성 선을 그 자체를 따라$$ 생각해 볼 수 있다. 따라서 두 특성이 교차하면 함수는 다중값이 되어 비물리적 해결책이 된다. 물리적으로 이 모순은 충격파, 접선 불연속성 또는 약한 불연속성의 형성에 의해 제거되며, 초기 가정을 위반하여 비전위적 흐름을 초래할 수 있다.^[5]

특성이 PDE 영역의 일부를 포함하지 못할 수 있다. 이것을 희소 반응이라고 하며, 용액이 일반적으로 약함, 즉 적분 방정식에만 존재함을 나타낸다.

특성 선의 방향은 위의 예에서 알 수 있듯이 용액을 통한 값의 흐름을 나타낸다. 이러한 종류의 지식은 어떤 유한한 차이 체계가 문제에 가장 적합한지를 나타낼 수 있기 때문에 수치적으로 PDE를 해결할 때 유용하다.

참고 항목

• 양자특성법

메모들

참조

• Courant, Richard; Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volume II, Wiley-Interscience
• Evans, Lawrence C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2
• Polyanin, A. D.; Zaitsev, V. F.; Moussiaux, A. (2002), Handbook of First Order Partial Differential Equations, London: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X
• Polyanin, A. D. (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9
• Sarra, Scott (2003), "The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws", Journal of Online Mathematics and Its Applications.
• Streeter, VL; Wylie, EB (1998), Fluid mechanics (International 9th Revised ed.), McGraw-Hill Higher Education

외부 링크

• 스콧 사라 교수 특성의 방법에 관한 자습서
• 앨런 후드 교수 특성 연구