타원 부분 미분 방정식

2차 선형 부분 미분 방정식(PDE)은 타원형, 쌍곡선 또는 포물선으로 분류된다. 두 변수의 모든 2차 선형 PDE는 양식으로 작성할 수 있다.

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,\,}$

where A, B, C, D, E, F, and G are functions of x and y and where ${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}}$, ${\displaystyle u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}}$ and similarly for ${\displaystyle u_{xx},u$$_{y},u_{y$ 이 형태로 작성된 PDE는 다음과 같은 경우 타원형이다.

${\displaystyle B^{2}-AC<0,}$

평면 타원에 대한 방정식에서 영감을 받은 명명 규칙과 함께.

The simplest nontrivial examples of elliptic PDE's are the Laplace equation, ${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0}$, and the Poisson equation, ${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=f(x,y).$$}}$ 어떤 의미에서$$ 두 변수의 다른 타원형 PDE는 언제나 표준형식으로 넣을 수 있기 때문에 이러한 방정식 중 하나를 일반화한 것으로 볼 수 있다.

${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}+{\text{(저차 항)}}=0}$

변수의 ^[1][2]변화로

질적 행동

타원 방정식은 실제 특성 곡선이 없으며, 따라서 코치 문제의 조건에서$$ $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$의 최소 1초 분산을 제거할 수 없다.^[1] 특성 곡선은 부드러운 매개변수를 가진 부분 미분방정식에 대한 해법이 불연속 파생상품을 가질 수 있는 유일한 곡선이기 때문에 타원방정식에 대한 해법은 어디에서도 불연속 파생상품을 가질 수 없다. 이는 타원 방정식이 모든 불연속부가 이미 평활화된 평형 상태를 설명하기에 적합하다는 것을 의미한다. 예를 들어, ${\displaystyle u_{}}$${\displaystyle {}_{}{t}_{}}$ = ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{t}=\Delta u}$의 열 방정식에서 u${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle u_{t}=0}$을 설정함으로써$$ 라플레이스의 방정식을 얻을 수 있다$.$ 이것은 라플레이스의 방정식이 열 방정식의 안정된 상태를 설명한다는 것을 의미한다.^[2]

포물선과 쌍곡선 방정식에서 특성은 초기 데이터에 대한 정보가 이동하는 선을 설명한다. 타원 방정식은 실제 특성 곡선이 없기 때문에 타원 방정식에 대한 의미 있는 정보 전파의식이 없다. 이것은 타원 방정식을 동적 공정이 아닌 정적 공정을 설명하는데 더 적합하게 만든다.^[2]

표준형식의 파생

u x +${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ x ${\displaystyle y_{}}$+ ${\displaystyle u_{}}$ y${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle \text{(저차}}$ 항${\displaystyle \text{)}}$의 두 변수에서 타원 방정식에 대한 표준 형식을 도출한다${\displaystyle .}$ = 0 ${\displaystyle u_{xx}+u_{xy}+u_{y$}+{y$}+{y$}+{\$text(저차$ 항$){$저차 항$)$$}}=0}$.

${\displaystyle \xi }$= ${\displaystyle \xi }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \xi =\xi (x,y)}$ 및$$ $\eta {\displaystyle }$= ${\displaystyle \eta }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle \eta =\eta (x,y)}$.

만일 $u{\displaystyle (\xi }$ ,${\displaystyle \eta }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle u}$[${\displaystyle \xi }$ ( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \eta }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle u(\xi ,\eta )=u[\xi (y),\eta (x,y$ 체인 규칙을 적용하면, 일단 주어진다.

${\displaystyle u_{x}=u_{\xi }\xi _{x}+u_{\eta }\eta _{x}}$ and ${\displaystyle u_{y}=u_{\xi }\xi _{y}+u_{\eta }\eta _{y}}$,

두 번째 신청은 다음과 같다.

${\displaystyle u_{xx}=u_{\xi \xi }{\xi ^{2}}_{x}+u_{\eta \eta }{\eta ^{2}}_{x}+2u_{\xi \eta }\xi _{x}\eta _{x}+u_{\xi }\xi _{xx}+u_{\eta }\eta _{xx},}$

${\displaystyle u_{yy}=u_{\xi \xi }{\xi ^{2}}_{y}+u_{\eta \eta }{\eta ^{2}}_{y}+2u_{\xi \eta }\xi _{y}\eta _{y}+u_{\xi }\xi _{yy}+u_{\eta }\eta _{yy},}$ and

${\displaystyle u_{xy}=u_{\xi \xi }\xi _{x}\xi _{y}+u_{\eta \eta }\eta _{x}\eta _{y}+u_{\xi \eta }(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+u_{\xi }\xi _{xy}+u_{\eta }\eta _{xy}.}$

x와 y의 PDE를 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi }$ 및$$ $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }$의 등가 방정식으로 대체할 수 있다.

${\displaystyle au_{\xi \xi }+2bu_{\xi \eta }+cu_{\eta \text{}{\text{ (저차 용어)}}=0,\,}$

어디에

${\displaystyle a=A{\xi _{x}^{2}+2B\xi _{x}\xi _{y}+C{\xi _{y}^{y}}}}}$

${\displaystyle b=2$$A$$\xi _{x}\eta _{x}+2B(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\c_2C\xi _{y}\eta _{y})$ 및

${\displaystyle c=A{\eta_{x}^{2}+2B\eta_{x}\eta_{y}+C{\eta_{y}^{2}}.}$

PDE를 원하는 표준 형식으로 변환하기 $위해{\displaystyle }$a = ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle$ $\xi }$ 및$$ $\eta {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\$$eta }$을(를$)$ 구한다$.$ 이것은 우리에게 방정식의 체계를 준다.

${\displaystyle a-c=A({\xi _{xi _{xi _{x}-{xi _{x}-\i _{y}-\eta _{xi _{y}}}}+C({xi _{y}-}}-{{y^}}-{y^{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}=0}=0}}=0}=0}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle b=0=2A\xi _{x}\eta _{x}+2B(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\c_2C\xi _{y}\eta _{y}}}}}}}}$

$첫{\displaystyle }$ 번째 방정식에 i ${\displaystyle$ i$}$을(를) 추가하고 ${\displaystyle \varphi }$= and + i ${\displaystyle \pi =\xi +i\eta }$을(를) 설정하면 2차 방정식이 제공됨$$

${\displaystyle A{\phi _{x}^{2}+2B\phi _{x}\phi _{y}+C{\pi _{y}^{2}=0.}$

- < 0 ${\displaystyle$ B$^{2}-AC<0}$ 이후 이 방정식은 두 가지 뚜렷한 해법이 있다.

${\displaystyle {\phi _{x},{\phi _{y}={\frac {B\pm i{\sqrt{AC-B^{2}}:}}{\frac {B\pm i\pm i}}}}}}{\pm}}}}}}}{A}}$

복잡한 결합체야 Choosing either solution, we can solve for ${\displaystyle \phi (x,y)}$, and recover ${\displaystyle \xi }$ and ${\displaystyle \eta }$ with the transformations ${\displaystyle \xi =\operatorname {Re} \phi }$ and ${\displaystyle \eta =\operatorname {Im} \phi }$. Since ${\di$$splaystyle \eta }$ 및$$$$} {\$displaystyle \$$xi$$}$은(는) - c =$$ $displaystyle a-c=0}$ 및$$ b${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle b=0$을(를$)$ 충족하므로$$, x와 $y$에서$$y {\$displaystytype \x}$로 변수를 변경하면 PDE가 변환된다$$.

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,\,}$

표준형식으로

${\displaystyle u_{\xi \xi }+u_{\eta \eta }+{\text{ (저차 항)}}=0,}$

소원대로

더 높은 차원으로

n 변수의 일반적인 2차 부분 미분 방정식은 형태를 취한다.

${\displaystyle \sum \sum _{i=1}{j=1}a_{n}a_{n,j}{\frac {\fract ^{2}u}{\propert x_{j}}}\\text{{{{}}}}}}+(저주문 조건)=0.}}$

이 방정식은 특성 표면, 즉 코치 문제의 조건에서 u의 최소 1초 분산을 제거할 수 없는 표면이 없는 경우 타원형으로 간주된다.^[1]

이 방정식은 2차원 사례와 달리 일반적으로 단순한 표준형식으로 축소될 수 없다.^[2]

참고 항목

• 타원 연산자
• 쌍곡선 부분 미분 방정식
• 포물선 부분 미분 방정식
• 두 번째 순서의 PDE(전체 토론용)

참조

외부 링크

• "Elliptic partial differential equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Elliptic partial differential equation, numerical methods", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Elliptic Partial Differential Equation". MathWorld.