등거리 지도

미분 기하학에서 등각 지도(또는 등각 지도)는 한 표면에서 다른 표면으로 그림의 영역을 보존하는 매끄러운 지도다.

특성.

M과 N이 유클리드 공간 R의³ 두 표면인 경우, 등거리 지도 f는 다음과 같은 동등한 조건 중 하나로 특징지어질 수 있다.

• f(U)의 표면적은 M의 모든 오픈 세트 U에 대한 U 면적과 동일하다.
• N의 면적 요소 μ의_N 풀백은 M의 면적 요소인 μ와_M 같다.
• M의 각 지점 p와 접선 벡터 v와 w에서 M까지 p,

${\displaystyle df_{p}(v)\df_{p}(w) = v\put w \,}$

여기서 ×는 벡터의 유클리드 교차 산물을 나타내며 df는 f를 따라 푸시포워드를 나타낸다.

예

시라큐스의 아르키메데스(Archimedes of Syracus)로 인한 등각 지도의 예로는 단위 구² x² + y + z² = 1에서 단위 실린더² x + y² = 1까지 공통 축에서 바깥쪽으로 돌출한 것이 있다.명시적인 공식은

${\displaystyle f(x,y,z)=\left\frac {x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},z\오른쪽)}$

(x, y, z) 단위 구체의 점.

선형 변환

유클리드 평면의 모든 유클리드 이등분법은 동일하지만 그 반대는 사실이 아니다.사실 전단 매핑과 스퀴즈 매핑은 반대편에 대한 counterrexamp이다.

전단 매핑은 직사각형을 같은 영역의 평행사변형에 취한다.매트릭스 형태로 작성되며, X축을 따라 전단 매핑은 다음과 같다.

${\displaystyle {\pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}\,{\\pmatrix}x\y\end{pmatrix}={\pmatrix}x+vy\y\end{pmatrix}}.}$

압착 맵핑은 사각형의 옆면이 길어지고 수축되어 면적이 보존되도록 역순으로 한다.매트릭스 형태로 쓰여, λ > 1로 압착 판독한다.

${\displaystyle {\pmatrix}\data &0\0&1/\data \end{pmatrix}\{pmatrix}x\y\end{pmatrix}={\nd{pmatrix}\pmatrix}\pmatrix/\fda.\end{pmatrix}}}$

선형 변환 ) ${\$은(는) 결정 요인 광고의 절대값을 기준으로 영역을 곱한다.

가우스 제거는 모든 등거리 선형 변환(회전 포함)은 축을 따라 최대 두 개의 시어, 압착 및 (결정 요인이 음인 경우) 반사를 통해 얻을 수 있다는 것을 보여준다.

지도 투영에서

지리적 지도의 맥락에서, 영역이 일정한 요소까지 보존되는 경우 지도 투영을 동일 영역, 등가 영역, Authalic, 등가 영역 또는 영역 보존이라고 부른다; 일반적으로 R의² 부분집합으로 간주되는 표적 지도를 R의³ 명확한 방법으로 내장하면, 위의 요건은 다음과 같이 약화된다.

${\displaystyle df_{p}(v)\df_{p}(w) =\kappa v\pa w }$

$v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$ 및$$ $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$에 종속되지 않는 일부 κ > 0의 경우$.$ 이러한 투영의 예는 동일 영역 지도 투영을 참조하십시오.

참고 항목

• 야코비안 행렬과 결정인자

참조

• Pressley, Andrew (2001), Elementary differential geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series, London: Springer-Verlag, ISBN 978-1-85233-152-8, MR 1800436