오일러 시퀀스

수학에서 오일러 수열은 고리 위에 놓인 n차원 투사공간의 특히 정확한 배열이다.이것은 상대적 미분들의 피복이 세레 비틀림 피복의 이중의 (n + 1)배율 합에 대해 안정적으로 이형성이라는 것을 보여준다.

오일러 시퀀스는 Grassmann 번들뿐만 아니라 투사적 번들의 시퀀스로 일반화된다(이 일반화는 후자 기사 참조).

성명서

A 반지의 경우, 정확한 조각 순서가 있다.

It can be proved by defining a homomorphism ${\displaystyle S(-1)^{\oplus n+1}\to S,e_{i}\mapsto x_{i}}$ with ${\displaystyle S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ and ${\displaystyle e_{i}=1}$ in degree 1, surjective in degrees ${\displaystyle$$\geq 1}$ 및$$ n + 1 표준 차트에서 커널이 상대 차동 모듈에 대해 로컬로 이형성이 있는지 확인하십시오.^[1]

기하학적 해석

우리는 A가 필드 k라고 가정한다.

위의 정확한 순서는 순서와 동일하다.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0}$,

여기서 마지막 0이 아닌 항은 접선 피복이다.

우리는 V를 k에 대한 n+1차원 벡터공간으로 간주하고 정확한 순서를 설명한다.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}_{\mathb {P}(V)}\to {\mathcal {O}_{\mathb {P}(1)\otimes V\to {\mathcal {T}_{\mathb {P}\}\}\to 0}\}to 0}$

이 시퀀스는 벡터 공간 V에서 중심 용어를 1-동종 벡터장 피복으로 해석하면 가장 쉽게 이해할 수 있다.이 피복의 주목할 만한 부분인 오일러 벡터 필드가 존재하며, 벡터 공간의 한 점에 동일하게 연관된 접선 벡터(즉,)를 연관시켜 자동적으로 정의된다.그 자체 : 벡터장(vector field)으로 보이는 ID 맵이다.

이 벡터 장은 0-동종 함수, 즉 동음이의적 리스케일링에 의해 불변하는 함수, 즉 "반동 좌표에서 독립된" 함수에서 균일하게 소멸한다는 의미에서 방사형이다.

$P{\displaystyle \mathbb{}(V}$) ${\displaystyle \mathb {P}(V)}$의 함수(일부 열린 집합에서 정의됨)는 V의 0 동종 함수로 풀백하여 상승한다$$(부분적으로 정의됨).우리는 오일러 벡터 필드에 그러한 함수를 곱하여 1-동종 벡터 필드를 얻는다.이것이 첫 번째 지도의 정의로, 그 주입성은 즉각적이다.

두 번째 지도는 벡터장의 그것과 동등한, 파생의 개념과 관련이 있다.투영 공간 $P{\displaystyle \mathbb{}}$(${\displaystyle V}$) ${\displaystyle \mathb {P}(V)}$의 오픈 세트 U에 있는 벡터 필드는 이 오픈 세트에 정의된 함수의 파생어로 정의할 수 있다는$$ 점을 상기하십시오.V에서 뒤로 젖혀지는 이것은 0-동종 함수를 보존하는 U의 프리이미지에 대한 파생에 해당한다.$따라서{\displaystyle \mathbb{}}$ P${\displaystyle }$(${\displaystyle V}$) ${\displaystyle \mathb {P}(V)}$의 벡터 필드를 얻을 수 있으며$$, 이 매핑의 주입성 결함은 방사형 벡터 필드로 정밀하게 구성된다.

따라서 우리는 두 번째 형태론의 알맹이가 첫 번째 형태론의 범위와 동일시된다고 본다.

투영공간의 표준선다발

외부 파워가 가장 높은 것을 취함으로써 투사적인 공간의 정석적인 피복이 주어지는 것을 알 수 있다.

특히 투영 공간은 파노 품종인데, 이는 표준 다발이 반샘플이고 이 선다발은 0이 아닌 지구 단면이 없으므로 기하속은 0이기 때문이다.이는 오일러 시퀀스를 보고 결정 공식에^[2] 연결하면 알 수 있다. $0{\displaystyle \mathrm{}}$→ ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$→ ${\displaystyle E}$→ E → ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {″}^{}}$→ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}\to {\$mathcal$}\to {\mathcal$}\$to$ {\$mathcal$}\to {\mathcal$}\$to $0$

체르누스

오일러 순서는 체르누스 계급의 투영 공간을 계산하는 데 사용될 수 있다.정확한 연속된 연속된 단층들을 기억하라.

we can compute the total chern class of ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ with the formula ${\displaystyle c({\mathcal {E}})=c({\mathcal {E}}')\cdot c({\mathcal {E}}'')}$.^[3] For example, on ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ we find^[4] 여기서${\displaystyle }$[${\displaystyle H}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [H]}$은(는) 차우 링 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$)$${\$displaystyle A^{\bullet }(\mathb {P}$^{$2})$의 하이퍼플레인 클래스를$$ 나타낸다$.$ 정확한^[5] 시퀀스 사용 우리는 다시 총 체르 클래스 공식으로since we need to invert the polynomial in the denominator, this is equivalent to finding a power series ${\displaystyle a([H])=a_{0}+a_{1}[H]+a_{2}[H]^{2}+a_{3$$}[H]^{$${\displaystyle 3}$$}+\cdots$ ${\displaystyle \}([}H$ ${\displaystyle ]}$ ) ${\displaystyle c({\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a([H])c(\Oomega ^{1}=1$

메모들

참조

• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
• Rubei, Elena (2014), Algebraic Geometry, a concise dictionary, Berlin/Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3