지수형

복잡한 분석에서 수학의 한 분야인 홀로모르픽 함수는 그 성장이 z → ∞의 일부 실제 값 상수 C에 대해 지수함수 e에^{C z} 의해 제한되는 경우 지수함수 C형이라고 한다.어떤 함수가 이런 식으로 경계가 되어 있을 때, 보렐 합과 같은 기법을 적용할 수 있을 때, 또는 예를 들어, 멜린 변환을 적용하거나, 오일러-마클라우스를 이용하여 근사치를 수행할 수 있을 때를 이해하는 것뿐만 아니라, 일련의 다른 복잡한 함수에 대한 특정한 종류의 수렴 합산으로 표현하는 것이 가능하다.공식으로일반사례는 e와^z 반대로 일반함수 ψ(z)에 대한 ψ형의 유사개념을 규정하는 나흐빈의 정리에 의해 처리된다.

기본 아이디어

복합 평면에 정의된 함수 f(z)는 다음과 같은 실제 값 상수 M과 τ이 존재하는 경우 지수형이라고 한다.

${\displaystyle \왼쪽(re^{i\theta }\오른쪽)\오른쪽 \leq Me^{\tau r}}$

$r{\displaystyle }$→$∞{\displaystyle r\to \infit }$의 한계에서$.$ 여기서 복합 변수 z는 $z{\displaystyle }$= r ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {\theta }^{}}$ ${\$로 표기하여$$ 한계가 모든 방향으로 유지되어야 함을 강조하였다.τ을 그러한 모든 τ의 최소치를 나타내기 위해, 함수 f는 지수형 τ이라고 말한다.

예를 들어 $f{\displaystyle }$(${\displaystyle z}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \sin }$sin (${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle f(z)=\sin(\pi$ z$)\}$ .그런 다음${\displaystyle \sin }$( ${\displaystyle \mathrm{axis}}$ z ) {\$displaystyle \sin(\pi z)}$이(가$)$ 지수형 π이라고 말하는데, π은 상상의 축을 따라$$ ${\displaystyle 죄}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (\pi }$ ${\displaystyle z}$) ${\displaysty \sin(\pi$ z$)}$의 성장을 제한하는 가장 작은 수이기 때문이다.그래서 이 예에 대해서는 π 이하의 지수형의 기능을 필요로 하기 때문에 칼슨의 정리는 적용할 수 없다.마찬가지로 오일러-마클라우린 공식 역시 유한차이론에 궁극적으로 고정된 정리를 표현하기 때문에 적용할 수 없다.

형식 정의

홀모픽 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ $F{\displaystyle (}$ z${\displaystyle }$) ${\displaystyle F(z)}$은 > 0 ${\$$displaystyle$ $\sigma >0}$이며, 매 > ${\$displaystyle $\$$varepsilon$$>0$$}$에 대해 실제$$ 값 $상수{\displaystyle {}_{}}$ A $ε{\displaystysty$ }이 존재한다고 한다$$.

${\displaystyle F(z) \leq A_{\varepsilon }e^{(\sigma +\varepsilon ) z }}$

for ${\displaystyle z \to \infty }$ where ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$. We say ${\displaystyle F(z)}$ is of exponential type if ${\displaystyle F(z)}$ is of exponential type ${\displaystyle \sigma }$ for some ${\displaystyle \sigma >0}$.갯수

${\displaystyle \tau(F)=\sigma=\displaystyle \limsup _{ z \rightarrow \infit }z ^{-1}\log F(z) }$

$F{\displaystyle (}$ ${\displaystyle z}$)의 지수 유형 ${\displaystyle F(z)}$ 입니다$.$여기서 상위의 한계는 반경이 무한대로 갈 때 주어진 반지름을 벗어나는 비율의 우월성의 한도를 의미한다.이것은 또한 반경이 무한대로 갈 때 주어진 반지름에서 비율의 최대치보다 상위의 한계다.r이 무한대로 가듯이 반경 r의 최대치에 한계가 없더라도 한계 상위가 존재할 수 있다.예를 들어, 함수의 경우

${\displaystyle F(z)=\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {z^{10^{n!}}}{{(10^{n!})!}}}$

의 가치

${\displaystyle(\max _{ z =r}\log F(z) )/r}$

$at{\displaystyle }$ r${\displaystyle }$= ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$!${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$은(는) $n{\displaystyle }$- ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\text{st}}^{}}$ ${\$st$}}$ 용어에 의해 지배되므로$$ 점증적 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\왼쪽(\max _{z =10^{n!-1}\log F(z) \right)/10^{n!-1}&\sim(\log {\frac {(10^{n!-1})^{10^{(n-1)!}}}{{(10^{(n-1)!}}!}\*\오른쪽)/10^{n!-1}\&\sim (\log 10)\왼쪽[(n!-1)10^{(n-1)!}-10^{(n-1)!}}(n-1)!\오른쪽]/10^{n!-1}\\&\sim(\log 10)(n!-1-(n-1)!/10^{n!-1-(n-1)!}}\\\end{aigned}}$

그리고 이것은 n이 무한대로 갈 때 0으로 가지만,^[1] 그럼에도 불구하고 F(z)는 지수 타입 1의 것으로, $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle {10}^{}}$ n${\displaystyle {!}^{}}$ ${\$$}}$.

대칭 볼록체 관련 지수형

스타인(1957)은 여러 복잡한 변수의 전체 함수에 대해 지수 유형의 일반화를 제공했다.$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$이(가) ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$^{$n}$의 볼록하고 컴팩트하며 대칭적인 부분 집합체라고 가정해 보십시오$.$ 이러한 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에 대해 해당 속성과 연관된 표준${\displaystyle k_{}}$ K$dot \K}$이 있는$$ 것으로 알려져 있다.

${\displaystyle K=\{x\in \mathb {R} ^{n:\ x\ _{K}\leq 1\}}$

즉, $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$은 }$$$\Vert {\displaystyle {}_K}$ ${\$$mathb{R$$} ^n}$의 $단위{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 공이다$.$세트

${\displaystyle K^{*}=\{y\in \mathb {R} ^{n}}:x\cdot y\leq 1{\text{{}}모든 }x\in {K}}}}}에 대해$

폴라 세트라고 불리며, R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 볼록하고 콤팩트하며 대칭적인 부분집합이기도 하다$.$ 게다가 우리는 글을 쓸 수 있다.

${\displaystyle \ x\ _{K}=\displaystyle \sup _{y\in K^{*}}x\cdot y .}$

$\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$\cdot $\{K}}$을(를) ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$^{$n}$에서 $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$로 확장함

${\displaystyle \\_{K}=\displaystyle \sup_{y\in K^{*}}z\cdot y .}$

${\displaystyle n}$ -complex$$ 변수의$$ F($z)$ $displaystyle$ F($z)}$ 전체$$함수는 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$과 관련하여 지수형이라고 하며 0 ${\displaystyle \$$varepsilon$$>0}$마다 실제 값 $상수{\displaystyle {}_{}}$ A $ε{\displaystystyton$}이$$ 있다.

${\displaystyle F(z) <A_{\varepsilon }e^{2\pi(1+\varepsilon )\z\ _{K}}}$

모든 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대해$.$

프레셰트 공간

지수 타입 ${\displaystyle \tau}$의 함수 모음은 표준의 계수 가능한 계열에 의해 유도된 위상에 의해 완전한 균일한 공간, 즉 프레셰트 공간을 형성할$$ 수 있다.

${\displaystyle \ f\ _{n}=\sup \mathb {C}}\exp \왼쪽(\tau +{n1}{n}\오른쪽) z \right] f(z) .}$

참고 항목

• 팰리-위너 정리
• 팰리-위너 공간

참조

• Stein, E.M. (1957), "Functions of exponential type", Ann. of Math., 2, 65: 582–592, doi:10.2307/1970066, JSTOR 1970066, MR 0085342