보렐 합계

당시 무명의 청년이었던 보렐은 그의 요약법이 많은 고전적인 다이버전트 시리즈에 '올바른' 해답을 주었다는 것을 발견했다. 그는 복잡한 분석의 영주로 인정받는 미타그-레플러를 보기 위해 스톡홀름으로 순례하기로 결심했다. 미타그-레플러는 보렐이 해야 할 말을 공손히 듣고 나서 스승인 위어스트라스의 완결작품에 손을 얹으며 라틴어로 '마스터가 금한다'고 말했다.

Mark Kac, quoted by Reed & Simon (1978, p. 38)

수학에서 보렐 합계는 에밀 보렐(1899년)이 도입한 다이버전트 계열의 합계법이다. 이것은 특히 상이한 무증상 시리즈를 합하는 데 유용하며, 어떤 의미에서는 그러한 시리즈에 대해 가능한 최고의 합을 제공한다. 이 방법에는 보렐 합계라고도 하는 몇 가지 변형이 있으며, 미타그-레플러 합계라고도 한다.

정의

보렐 합계라고 하는 세 가지 약간 다른 방법이 있다. 어떤 시리즈를 합칠 수 있지만 일관성이 있는지는 서로 다르다. 즉, 두 가지 방법이 같은 시리즈를 합치면 같은 답을 낸다는 뜻이다.

$전체적$ 으로 A $(z)$ 가 공식 파워 시리즈를 나타내도록 하십시오.

A(z)=\sum _{k=0}^{\\infit }a_{k}z^{k}}}

$A$ 의 보렐 변환을 등가 지수 영상 시리즈로 정의

{\mathcal {B}A(t)\equiv \sum _{k=0}^{\inflt }{\frac {a_{k}}{k!}}}}{k}.

보렐의 지수 합계법

$A n (z)$ 가 부분 합을 나타내도록 한다.

A_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}.

보렐의 합계법의 약한 형태는 $A$ 의 보렐 합계를 다음과 같이 정의한다.

\lim_{t\rightarrow \}e^{-t}\sum _{n=0}^{n}{\frac{t^{n}}{n!}}}{n}(z).

이것이 z $z C$ 에서 일부 $a (z$ )로 수렴되면 A의 $약한$ 보렐 합이 ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})$ 에서 수렴된다고 하고 $,$ ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})$ k ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})$ = ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})$ ( ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})$ ) ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})$ ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})$ ) ${\displaystyle$ \\\ $sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,$ ({\ $boldmboldmbol{wB$

보렐의 적분 합산법

보렐 변환이 모든 양의 실수에 대해 충분히 느리게 증가하는 함수로 수렴되어 다음 적분(부적합한 적분)이 잘 정의되어 있다고 가정하자. $A$ 의 보렐 합은 다음과 같다.

\int_{0}^{0}^{-t}{\mathcal{B}A(tz)\,dt.

만일 일체형이 $z$ ∈ $C$ 에서 일부 $a (z$ )로 수렴되면 $A$ 의 보렐 합이 $z$ 에서 수렴된다고 하고, ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})$ ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})$ ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})$ = a ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})$ ( z ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})$ ) ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})$ ) ${\displaystyle$ \\\\ $textstyle \}a_{k}z^{k}=a(z)\,$ ({\ $boldmboldmbol{B$

해석적 연속성을 갖는 보렐의 통합적 합계법

이는 보렐 변환이 모든 $t$ 에 대해 수렴할 필요가 없다는 점을 제외하고, 보렐의 통합적 합계 방법과 유사하며, 이는 양의 실제 축을 따라 분석적으로 지속할 수 있는 $t$ 에 가까운 분석 함수로 수렴할 필요가 있다.

기본 속성

규칙성

방법 $(B)$ 과 ( $wB)$ 는 둘 다 정규 합계법으로서, $A (z)$ 가 수렴할 때마다(표준적인 의미에서는), 보렐 합과 약한 보렐 합도 수렴하여 같은 값(즉, 같은 값)으로 한다.

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=A(z)<\infty \quad \Rightarrow \quad {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=A(z)\,\,({\boldsymbol {B}},\,{\boldsymbol {wB}}).

$(B)$ 의 규칙성은 절대 수렴에 의해 유효하며, A(z)가 $z$ 에서 수렴되는 경우에는 ( $B)$ 의 순서가 변경되어 쉽게 나타난다.

A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\left(\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{k}dt\right){\frac {z^{k}}{k!}}}=\int _{0}^{{0}^{-t}\sum _{k=0}^{{k}{\frac {(tz)^{k}}{k!}}{dt,

여기서 가장 오른쪽 표현은 $정확히$ z에서 보렐 합이다.

$(B)$ 와 ( $wB)$ 의 정규성은 이러한 방법이 $A (z$ )에 대한 분석적 확장을 제공한다는 것을 의미한다 $.$

보렐과 보렐 합계의 비양점

$보렐$ 이 $z$ summ C에서 약하게 요약되는 모든 시리즈 A( $z)$ 도보렐이 z에서 $요약$ 된다. 그러나 약한 보렐 합계에서는 다양하지만 보렐 합계에서는 가능한 시리즈의 예를 구성할 수 있다. 다음의 정리는 두 가지 방법의 등가성을 특징으로 한다.

정리 (Hardy 1992, 8.5)

A (z)

를 공식 파워 시리즈로 하고

z

∈

C

를 고정시킨 다음,

If ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})$ , then ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})$ .
If ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})$ , and $\lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(zt)=0,$ then ${\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{$ $k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB$

기타 합계 방법과의 관계

$(B)$ 는 $α$ = $1$ 을 가진 미타그-레플러 합산의 특별한 경우다.
$(wB)$ 는 $q$ → $\infty$ 로서 ( $E, q)$ 방법의 수렴 영역이 ( $B$ )의 수렴 영역으로 수렴된다는 점에서 일반화된 오일러 종합법 $(E, q)$ 의 제한 사례로 볼 수 있다 $.$ ^[1]

고유성 이론

어떤 점증적 팽창과 함께 항상 많은 다른 기능들이 있다. 그러나 일부 지역에서는 유한차원 근사치의 오차가 가능한 한 작다는 점에서 때로는 최선의 함수가 있다. 왓슨의 정리와 칼레만의 정리는 보렐의 합이 그렇게 가능한 시리즈 합계를 만들어 낸다는 것을 보여준다.

왓슨의 정리

왓슨의 정리는 어떤 함수가 점근성 계열의 보렐 합이 될 수 있는 조건을 제시한다. $f$ 가 다음 조건을 만족하는 함수라고 가정하자.

$f$ 는 일부 영역 $z$ < $R$ , $arg(z)$ < $π /2$ + $ε$ 에서 일부 양의 $R$ 과 $ε$ 에 대해 홀모픽이다.
이 $부위$ 에서 f는 점증상 $시리즈 0$ a + $아즈 1$ + $...$ 를 가지고 있다. 오류가 있는 속성을 가지고.

f(z)-a_{0}-a_{1}-a_\cdots -a_{n-1}z^{n-1}}

에 의해 제한되다

C^{n+1}n! z ^{n}}

해당 지역의 모든 z에 대해( $일부$ 양의 상수 $C$ 에 대해)

그러면 왓슨의 정리는 이 지역에서 $f$ 는 점근성 계열의 보렐 합에 의해 주어진다고 말한다. 보다 정확히 말하면, 보렐 변환에 대한 시리즈는 원점 부근에 수렴되며, 분석적으로 양의 실제 축으로 이어질 수 있으며, 보렐 합계를 정의하는 적분은 위의 영역에서 $z$ 의 $경우$ f $(z)$ 로 수렴된다.

좀 더 일반적으로 $f$ 는 위의 오차 추정치의 $n!$ 이 $kn!$ 으로 대체되는 경우, 조건 $arg(z)$ < $π /2$ + $ε$ 이 $arg(z)$ < $kπ /2$ + $ε$ 으로 대체되는 경우, 여전히 점증상 시리즈로 결정된다. 이것은 어떤 의미에서 가장 좋은 방법이다. 숫자 k $k /2$ 를 더 작은 숫자로 교체할 경우 counterexamp가 있기 때문이다.^{[clarification needed]}

칼레만의 정리

칼레만의 정리를 보면 유한 순서 근사치의 오차가 너무 빨리 커지지 않는 한 섹터의 점증상 시리즈에 의해 함수가 고유하게 결정된다는 것을 알 수 있다. 보다 정확히 말하면, $이$ $영역$ 에서는 f가 모든 n에 $대해$ z < $C,$ $Re (z$ ) > $0$ 과 f( $z$ ) < $bz$ 의_n 내부에 분석적이라면, $시리즈 0$ 1/ $b$ + $11$ /b + $...$ 의 경우에 $f$ 는 0이다. 갈라지다

칼레만의 정리는 용어가 너무 빨리 자라지 않는 모든 점증적 시리즈에 대해 합계 방법을 주는데, 그 합이 존재한다면 적절한 섹터에서 이 점증적 시리즈를 가진 고유함수로 정의할 수 있기 때문이다. 보렐 합계는 $b n$ = $cn$ 이 일부 상수 $c일$ 때 이것의 특별한 경우보다 약간 약하다. $보다 n$ 일반적으로는 b = $cnlog$ $n$ 또는 $b n =cnlog$ $n$ $로그$ $n$ 과 같은 숫자 $b$ 를_n 약간 더 크게 가져옴으로써 보렐보다 약간 더 강한 합계 방법을 정의할 수 있다. 보렐의 방법으로도 요약할 수 없는 이 방법으로 요약할 수 있는 시리즈에 대한 자연적인 예는 거의 없기 때문에 실제로 이 일반화는 별로 쓸모가 없다.

예

$f (z)$ = $exp(-1/ z)$ 함수에는 점증상 $시리즈$ 0 + $0z+ ...$ 지역 $arg(z)$ < $θ /2$ 에 대해 위 형식의 오류 경계가 있는 경우, 그러나 점근성 계열의 보렐 합에 의해 주어지지 않는다. 이것은 왓슨의 정리에서 $숫자$ $//2$ 를 더 작은 숫자로 대체할 수 없다는 것을 보여준다(오차의 한계를 더 작게 하지 않는 한).

예

기하 급수

기하 급수적 연속성을 고려하십시오.

A(z)=\sum _{k=0}^{\\infit }z^{k}}

$z$ < $1$ 의 경우 ( $표준적$ 의미에서는) $1/(1$ - z $)$ 로 수렴한다. 보렐 변환은

{\mathcal{B}A(tz)\equiv \sum _{k=0}^{\flac{z^{k}}{k!}}}}}{k}=e^{zt}

거기서 우리는 보렐 합을 얻는다.

\int_{0}^{0}^{-t}{-t}{\mathcal{B}A(tz)\,dt=\not_{0}^{-t^{t}e^}\,dt={\frac {1}{1-z}}}}}}}}}}}}}}}

더 큰 영역인 $Re(z)$ < $1$ 에서 수렴하여 원래의 영상 시리즈의 분석적 연속성을 제공한다.

대신 약한 보렐 변환을 고려했을 때 부분 $합$ 은_N $A (z)$ = $(1 N +1$ - $z)/(1$ - z $)$ 로 주어지기 때문에 약한 보렐 합은

\lim _{t\wrightarrow \}e^{-t}\sum _{n=0}^{n=0}}{\frac {1-z^{1-z+1}{1-z}}{\frac{t^{n}}}{n!}}}=\lim _{t\오른쪽 화살표 \}{\frac {e^{-t}}{1-z}{\big (}e^{t}-z^{\big )}={\frac {1}{1-z},}}

여기서 다시, 수렴은 $Re(z)$ < 1. $또는$ $Re(z)$ < $1$ 의 경우, 동등성 정리의 제2부에 호소함으로써 알 수 있다.

\lim_{t\오른쪽 화살표 \}e^{-t}({\mathcal{B}A)=e^{t(z-1)=0.

교대 요인 열

시리즈를 고려

A(z)=\sum _{k=0}^{\npty }k!(-1\cdot z)^{k}}

그러면 $A (z)$ 는 0이 아닌 $z$ ∈ $C$ 에 대해 수렴하지 않는다. 보렐 변환은

{\mathcal {B}A(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infit }\왼쪽(-1\cdot t\오른쪽)^{k}={\frac {1}{1+t}}

$t$ < $1$ 의 경우, 분석적으로 모든 $t$ ≥ $0$ 까지 지속될 수 있다. 따라서 보렐 합은 다음과 같다.

\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1+tz}}\,dt={\frac {1}{z}}\cdot e^{1/z}\cdot \Gamma \left(0,{\frac {1}{z}}\right)

(여기서 $γ$ 은 불완전한 감마함수다.)

이 일체형은 모든 $z$ ≥ $0$ 에 수렴되므로 원래의 다이버전트 시리즈는 그러한 모든 $z$ 에 대해 Borel summitable이다. 이 함수는 $z$ 가 원래 다이버전트 계열에 의해 주어지는 0을 경향이 있기 때문에 점증하지 않는 팽창을 가진다. 이것은 보렐 합계가 때때로 "정확하게" 분산된 점증적 팽창이 된다는 사실을 보여주는 전형적인 예다.

다시, 그 이후로

\lim_{t\오른쪽 화살표 \e^{-t}({\mathcal{B}A)=\lim_{t\frac {e^{-t}{1+zt}=0,

모든 $z$ 에 대해 동등성 정리는 약한 보렐 합계가 동일한 수렴 $영역$ 인 z ≥ $0$ 을 갖도록 보장한다.

동등성이 실패하는 예제

다음 예는 (Hardy 1992, 8.5)에 제시된 예에 해당된다. 고려하다

A(z)=\sum _{k=0}^{\inflt }{\nt=0}^{\flt }{\frac {(-1)^{\el(-2\ell +2)^{k}{{k}}{(2\ell +1)!}}}\오른쪽)z^{k}.

합계 순서를 변경한 후 Borel 변환은 다음과 같이 주어진다.

{\begin{aigned}{\mathcal{B}A(t)&=\sum_{\ell =0}^{\npt(\sum_{k=0}^{\flt}}{\frac {{\big (}){k!}}}\오른쪽){\frac {(-1)^{\ell}}}{{(2\ell +1)!}}\\&=\sum _{\ell =0}^{\inful }e^{{(2\ell +2)t}{\frac {(1)^{\ell }}{{(2\ell +1)!}}}\\\\\\\#{\ell =0}^{\not}}{\big (}e^{t}{\big )}^{2\el+1}{\frac {(1)^{{}{{{{{\ell +1)!}}\\&=e^{t}\sin(e^{t}).\end{정렬}}

$z$ = $2$ 에서 보렐 합은

\int_{0}^{0}^{\e^{t}\sin(e^{2t}\,dt={1}^{1}^{\in(u^{2})\,du={\sqrt{\frac {}-S(1)\flot;

여기서 $S (x)$ 는 프레스넬 적분이다. 화음을 따라 수렴 정리를 통해 보렐 적분은 모든 $z$ ≤ 2 ( $z$ > $2$ 에 대한 적분 다이버)에 대해 수렴한다.

약한 보렐 합을 위해 우리는 다음과 같이 언급한다.

\lim _{t\오른쪽 화살표 \infit }e^{(z-1)t}\sin(e^{zt}=0

$z$ < $1만$ 을 보유하므로 약한 보렐 합은 이 작은 영역으로 수렴된다.

존재 결과 및 수렴 영역

화음의 합계성

공식 시리즈 $A (z)$ 가 $z 0$ ∈ $C$ 에서 보렐을 합한 경우, $z$ 와₀ 원점을 연결하는 $오즈$ 의₀ 모든 지점에서 보렐도 합산이 가능하다. 더욱이, 다음과 $같은 0$ 반경 Oz를 가진 함수 $a (z)$ 분석물이 디스크 전체에 존재한다.

{\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}),

모든 $z$ = $θz 0, θ$ [ $0,1]$ 에 대해

즉각적인 결과는 보렐섬의 수렴영역이 $C$ 의 별영역이라는 것이다. 보렐 합계의 융합영역에 대해서는 보렐 폴리곤(Borel polygon)이라고 일컬어지는 별영역이며, 시리즈 $A (z$ )의 특이점에 의해 결정된다는 점보다 더 많은 것을 말할 수 있다 $.$

보렐 폴리곤

$A (z)$ 가 엄격히 양의 수렴 반경을 가지고 있기 때문에 원점을 포함하는 비교 영역에서 분석된다고 가정하고, $S$ 가_A $A$ 의 특이점 집합을 나타내도록 한다. 즉, $A$ 가 0에서 $P$ 까지의 개방현재를 따라 분석적으로 계속 진행할 수 있는 경우에만 $P$ ∈ $S$ 를_A 의미하지만 P $자체$ 는 아니다. $P$ ∈ $S$ 의_A 경우, $L$ 은_P 현 $OP$ 에 $수직$ 인 P를 통과하는 선을 나타내도록 한다. 세트 정의

\Pi _{P}=\{z\in \mathb {C} \,\colon \,Oz\cap L_{P}=\varnotty \}}

$L$ 의_P 원점과 같은 면에 놓여 있는 점 세트 $A$ 의 보렐 폴리곤은 집합이다.

\Pi _{A}=\operatorname {cl} \왼쪽(\bigcap _{P\in{A}\Pi _{P}\오른쪽).

대체 정의는 보렐과 프라그멘(Sansone & Gerretsen 1960, 8.3)이 사용하였다. Let $S\subset \mathbb {C}$ denote the largest star domain on which there is an analytic extension of $A$ , then $\Pi _{A}$ is the largest subset of $S$ such that for all $P\in \Pi _{A}$ the interior of the circle with diameter OP is contained in $S$ . Referring to the set $\Pi _{A}$ as a polygon is somewhat of a misnomer, since the set need not be polygonal at all; if, however, $A (z)$ has only finitely many singularities then $\Pi _{A}$ will in fact be a polygon.

보렐과 프라그멘으로 인한 다음의 정리는 보렐 합산을 위한 수렴 기준을 제공한다.

정리(Hardy 1992, 8.8).

The series

A (z)

is

(B)

summable at all

z\in \operatorname {int} (\Pi _{A})

, and is

(B)

divergent at all

z\in \mathbb {C} \setminus \Pi _{A}

.

$z\in \partial \Pi _{A}$ $z\in \partial \Pi _{A}$ $z\in \partial \Pi _{A}$ ∂ ∂ \ \ $\partial \Pi _{A}$ 에 대한 ( $B)$ 종합성은 점의 특성에 따라 다르다는 $z\in \partial \Pi _{A}$ 점에 유의하십시오.

예 1

$Ω i$ ∈ $C$ 는 단결의 m-th 뿌리, $i$ = 1, $...,$ $m$ 을 나타내며 고려한다.

{\begin{aligned}A(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }(\omega _{1}^{k}+\cdots +\omega _{m}^{k})z^{k}\\&=\sum _{i=1}^{m}{\frac {1}{1-\omega _{i}z}},\end{aligned}}

which converges on $B (0,1) \subset C$ . Seen as a function on $C$ , $A (z)$ has singularities at $S A = {ω i : i = 1, ..., m}$ , and consequently the Borel polygon $\Pi _{A}$ is given by the regular $m$ -gon centred at the origin, and such that $1 \in C$ is a midpoint of an edge.

예 2

정식 시리즈

A(z)=\sum _{k=0}^{\nothy }z^{2^{k}},

모든 $|z|<1$ < $|z|<1$ $z <1$ 에 대한 수렴( $|z|<1$ 예를 들어 기하학적 시리즈와의 비교 테스트) 그러나 $A$ 는 어떤 점 $z$ ∈ $C$ 에 대해서도 수렴하지 않는다는 것을 보여줄^[2] 수 있다. 예를 들어 z = $일부 2 n$ $n$ 에 대해서는 $1$ 이다. 그러한 $z$ 의 집합은 단위 원 안에 밀도가 높기 때문에 $B$ ( $0,1$ ) 이외의 $A$ 의 분석적 확장은 있을 수 없다 $.$ 그 후 $A$ 가 분석적으로 확장될 수 있는 가장 큰 항성 $영역$ 은S = $B ($ $\Pi _{A}=B(0,1)$ )이며, 여기서 (두 번째 정의를 통해) $\Pi _{A}=B(0,1)$ A $\Pi _{A}=B(0,1)$ = B $\Pi _{A}=B(0,1)$ 1) ${\displaystyle \Pi _{A}=B (0,1$ )를 얻는다 $\Pi _{A}=B(0,1)$ 특히 보렐 폴리곤은 다각형이 아니라고 본다.

타우베리아의 정리

타우베리안 정리는 한 합계 방법의 수렴이 다른 방법의 수렴을 암시하는 조건을 제공한다. 보렐 합산을 위한 주요 타우베리안 정리는^[1] 약한 보렐 방법이 시리즈의 정합성을 암시하는 조건을 제공한다.

정리(Hardy 1992, 9.13)

A

가

z 0

∈

C

에서

(

wB)

를 합한 경우,

{\textstyle \sum }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})\,({\boldsymbol {wB}})

{\textstyle \sum }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})\,({\boldsymbol {wB}})

{\textstyle \sum }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})\,({\boldsymbol {wB}})

{\textstyle \sum }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})\,({\boldsymbol {wB}})

0

{\textstyle \sum }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})\,({\boldsymbol {wB}})

=

{\textstyle \sum }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})\,({\boldsymbol {wB}})

(

{\textstyle \sum }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})\,({\boldsymbol {wB}})

{\textstyle \sum }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})\,({\boldsymbol {wB}})

(

{\textstyle \sum }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})\,({\boldsymbol {wB}})

B

{\textstyle \sum }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})\,({\boldsymbol {wB}})

)

{\displaystyle {\

displaystyle {\\\

sum }a_{k}z_{0}^{k

}^{k

}=a(z_{0}}}),

({\

boldsymbolmb

a_{k}z_{0}^{k}=O(k^{-1/2}),\qquad \forall k\geq 0,

그러면

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})

∑

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})

=

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})

= a (

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})

)

{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infit }a_{k}z_{0}^{

k}^{

k}=a(z_{0

에 대한 영상 시리즈 수렴이

모든

z < z >에

대해 0

수행된다.

적용들

보렐 합계는 양자장 이론의 섭동 팽창에서 응용을 발견한다. 특히 2차원 유클리드 장 이론에서 슈윙거 기능은 종종 보렐 합계를 사용하여 섭동 시리즈에서 복구할 수 있다(Glim & Jaffe 1987, 페이지 461). 보렐 변환의 특이점 중 일부는 양자장 이론에서 인스턴스(inston)와 뉴노말론(renormalon)과 관련이 있다(Weinberg 2005, 20.7).

일반화

보렐 합계는 계수가 너무 빨리 자라지 않도록 요구한다. 더 정확히 말하면, 일부 $C$ 의 경우 $a$ 는_n $n! C$ 로ⁿ⁺¹ 경계해야 한다. 일부 양의 정수 $k$ 의 경우 요인 $n!$ 을 ( $kn!)$ 로 대체하는 보렐 합계의 변화가 있으며, 이를 통해 일부 시리즈를 $(kn)! C$ 로ⁿ⁺¹ $제한$ 하여_n 일부 C의 경우 일부 $C$ 의 경우 (kn)!C로 합칠 수 있다. 이 일반화는 미타그-레플러 요약에 의해 주어진다.

가장 일반적인 경우, 보렐 합계는 나흐빈 이력화에 의해 일반화되는데, 이것은 경계함수가 지수형이 아닌 어떤 일반형(psi형)일 때 사용할 수 있다.

참고 항목

메모들

^ ^a ^b 하디, G. H. (1992) 다이버전트 시리즈. 로드 아일랜드의 AMS 첼시.
^ "Natural Boundary". MathWorld. Retrieved 19 October 2016.

참조

Borel, E. (1899), "Mémoire sur les séries divergentes", Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Series 3, 16: 9–131, doi:10.24033/asens.463
Glimm, James; Jaffe, Arthur (1987), Quantum physics (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-4728-9, ISBN 978-0-387-96476-8, MR 0887102
Hardy, Godfrey Harold (1992) [1949], Divergent Series, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8218-2649-2, MR 0030620
Reed, Michael; Simon, Barry (1978), Methods of modern mathematical physics. IV. Analysis of operators, New York: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-585004-9, MR 0493421
Sansone, Giovanni; Gerretsen, Johan (1960), Lectures on the theory of functions of a complex variable. I. Holomorphic functions, P. Noordhoff, Groningen, MR 0113988
Weinberg, Steven (2005), The quantum theory of fields., II, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55002-4, MR 2148467
Zakharov, A. A. (2001) [1994], "Borel summation method", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

[Hardy1992-1] 하디, G. H. (1992) 다이버전트 시리즈. 로드 아일랜드의 AMS 첼시.

[2] "Natural Boundary". MathWorld. Retrieved 19 October 2016.

[1]

[2]

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