푸리에-브로스-아이골니처 변환

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수학에서 FBI 변환 또는 푸리에-브로스-아골니처 변환은 프랑스ⁿ 수학 물리학자 자크 브로스와 다니엘 아이골니처가 R에 대한 기능(또는 분포)의 국지적 분석을 특징짓기 위해 개발한 푸리에 변환을 일반화한 것이다.이 변환은 일본 수학자 사토 미키오, 가시와라 마사키, 가와이 다카히로 등이 마이크로로컬 분석에 접근하면서 독자적으로 개발한 파장 전방 분포 분석의 대안적 접근법을 제공한다.스웨덴의 수학자 에릭 알버트 홀므그렌(1872~1943) 때문에 고전적 고유성 정리(Cauchy-Kowalevski 정리)의 한 버전뿐만 아니라 분석 타원적 부분 미분 방정식의 해법 분석성을 입증하는 데도 사용할 수 있다.

정의들

S(Rⁿ)에서 슈워츠 함수 f의 푸리에 변환은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle({\mathcal{F}f)(t)=(2\pi )^{-n/2}\int_{\mathbf {R}}^{n}f(x)e^{-ix\cdot t}\,dx.}$

FBI의 f 변환은 ≥ 0 by 에 대해 정의된다.

${\displaystyle({\mathcal{F}_{a}f)(t,y)=(2\pi )^{-n/2}\int_{{\mathbf{R}}^{n}^{n}f(x)e^{-a-y ^{2}/2}e^{-ix\cdot t},x.}}$

따라서 a = 0일 때, 그것은 본질적으로 푸리에 변환과 일치한다.

S(Rⁿ)에서 강화 분포의 푸리에와 FBI 변환을 정의하는 데 동일한 공식을 사용할 수 있다.

반전식

푸리에 반전 공식

${\displaystyle f(x)={\mathcal {F}^{2}f(-x)}$

f 함수를 푸리에 변환에서 복구할 수 있다.

특히

${\displaystyle f(x)=(2\pi )^{-n/2}\int _{\mathbf {R}^{n}^{n}e^{it\cdot x}{\mathcal {F}(f)(t)\,dt}$

마찬가지로, a의 양의 값에서 f(0)는 FBI의 f(x) 변환에서 반전 공식에 의해 회복될 수 있다.

${\displaystyle f(x)=(2\pi )^{-n/2}\int _{\mathbf {R}}^{n}e^{n}e^{it\cdot x}e^{a-y ^{2}/}{\mathcal {F}_{a}}(f,y)\,dt}$

국소해석 기준

Bros와 Iagolnitzer는 분배 f가 FBI 변환이 형식의 불평등을 만족하는 경우에만 ξ 방향에서 y의 실제 분석 기능과 국소적으로 동일하다는 것을 보여주었다.

${\displaystyle({\mathcal{F}_{ \xi }f)(\xi ,y) \leq Ce^{-\barepsilon \xi }}}$

충분히 큰 값으로

홀mgren의 고유성 정리

브로스와 이아골니처의 국부적 분석적 특성화의 간단한 결과는 라르스 회르만데르와 미키오 사토(1982)의 다음과 같은 규칙성 결과다.

정리.P를 R의ⁿ 열린 부분 집합 X에 정의된 분석 계수를 가진 타원 부분 미분 연산자가 되도록 한다.Pf가 X에서 분석적이라면 F도 마찬가지다.

이 정리에서 "분석적"이 "매끄러움"으로 대체될 때, 결과는 보통 소볼레프 공간을 사용하여 증명된 타원형 규칙성에 대한 헤르만 바일의 고전적 보조정리일 뿐이다(Warner 1983).이는 실제 분석 계수를 갖는 선형 부분 미분 방정식에 대한 홀mgren의 고전적 강화(Cauchy-Kowalevski)를 암시하는 분석적 파형 전면 세트(아래 참조)와 관련된 보다 일반적인 결과들은 Holmgren이 Cauchy-Kowalevski를 의미한다.현대 언어에서 홀mgren의 고유성 정리는 그러한 방정식 시스템의 어떤 분포적 용액은 반드시 분석적이어야 하며 따라서 Cauchy-Kowalevski 정리에 의해 고유해야 한다고 명시한다.

분석파 프론트 세트

분배 f(또는 보다 일반적으로 과기능)의 분석파전면 세트 또는 단수 스펙트럼 WF_A(f)는 FBI 변환(Hörmander(1983)에서 원뿔형 포인트 세트(x, λ ξ) (λ > 0)로 정의하여 FBI 변환이 Bros-Iagolnitzer 불평등을 만족시킬 수 있다.

${\displaystyle({\mathcal{F}_{ \xi }f)(\xi ,y) \leq Ce^{-\barepsilon \xi }}}$

분석성을 시험하고자 하는 y 지점, 그리고 sufficiently이 충분히 크고 방향을 가리키고 있는 지점, 즉, y의 특이성이 존재하는 경우 전파되는 방향이다.J.M. 보니(1982년), 호르만데르(1983)는 이 정의가 사토, 가시와라, 카와이, 호르만데르가 독자적으로 도입한 다른 정의와 일치한다는 것을 증명했다.P가 분석 계수를 갖는 m번째 순서 선형 미분 연산자일 경우

${\displaystyle P=\sum _{\alpha \leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }}}$

주 기호로

${\displaystyle \sigma _{P}(x,\xi )=\sum _{ \alpha =m}a_{\alpha }}{\xi ^{\alpha }}}}}$

특색있는 다양성과

${\displaystyle {\rm {char}\,P=\(x,\xi ):\xi \neq 0,\,\\sigma _{P}(x,\xi )=0\}}$

그때

• ${\displaystyle \operatorname {WF} _{A}(PF)\subseteq \operatorname {WF} _{A}(f)}$
• ${\displaystyle \operatorname {WF} _{A}(f)\subseteq \operatorname {WF} _{A}(Pf)\컵 \operatorname {char} P.}$

특히 P가 타원형일 때 char P = ø이므로,

WF_A(Pf) = WF_A(f)

이것은 위에서 언급한 타원형 정규성의 분석 버전을 강화한 것이다.

참조

• Folland, Gerald B. (1989), Harmonic Analysis in Phase Space, Annals of Mathematics Studies, vol. 122, Princeton University Press, ISBN 0-691-08528-5
• Gårding, Lars (1998), Mathematics and Mathematicians: Mathematics in Sweden Before 1950, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0612-2
• Hörmander, Lars (1983), Analysis of Partial Differential Operators I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-12104-8 (9.6장, 분석 파동전면 세트)
• Iagolnitzer, Daniel (1975), Microlocal essential support of a distribution and local decompositions – an introduction. In Hyperfunctions and theoretical physics, Lecture Notes in Mathematics, vol. 449, Springer-Verlag, pp. 121–132
• Krantz, Steven; Parks, Harold R. (1992), A Primer of Real Analytic Functions, Birkhäuser, ISBN 0-8176-4264-1. 2부, Birkhauser(2002년), ISBN 0-8176-4264-1.
• Sjöstrand, Johannes (1982), "Singularités analytiques microlocales. [Microlocal analytic singularities]", Astérisque, 95: 1–166
• Trèves, François (1992), Hypo-analytic structures: Local theory, Princeton Mathematical Series, vol. 40, Princeton University Press, ISBN 0-691-08744-X (9장, FBI의 저자극 다지관에서 변신)
• Warner, Frank (1983), Foundations of differential geometry and Lie groups, Graduate texts in mathematics, vol. 94, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90894-3