과기능

수학에서 초기능은 한 경계의 홀모픽함수에서 다른 홀모픽함수로의 '점프'로서 함수의 일반화를 말하며, 비공식적으로 무한질서의 분포로 생각할 수 있다. 초기능은 1958년 사토 미키오에 의해 일본어로 소개되었고, (1959년, 1960년 영어로는) 로랑 슈워츠, 그로텐디크 등의 초기 작품을 바탕으로 만들어졌다.

공식화

실제 라인의 과기능은 상부 하프 평면에 정의된 한 홀모픽 기능과 하부 하프 평면에 정의된 다른 홀모픽 함수 사이의 '차이'로 생각할 수 있다. 즉, 한 쌍(f, g)에 의해 과기능이 지정되는데, 여기서 f는 상부 하프 평면의 홀모형 함수, g는 하부 하프 평면의 홀모형 함수다.

비공식적으로 과기능은 실제 라인 그 $자체$에서${\displaystyle f}$ - g ${\displaystyle f-g}$의 차이점이다. 이 차이는 f와 g 둘 다에 동일한 홀로모르픽 함수를 더해도 영향을 받지 않기 때문에 h가 전체 복합 평면에서 홀로모르픽 함수라면 초기능(f, g)과 (f + h, g + h)가 동등하다고 정의된다.

한 차원에서의 정의

그 동기는 피복 코호몰로지로부터 얻은 아이디어를 사용하여 구체적으로 구현될 수 있다. $O{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) $C{\displaystyle \mathbb{}.}$ ${\displaystyle \mathb {C}$의 홀로모르픽 함수의 집합으로$$ 두십시오$.$ 실제 라인의 하이퍼기능을 첫 번째 로컬 코호몰로지 그룹으로 정의하십시오$$.

${\displaystyle {\mathcal{B}(\mathb {R} )=H_{\mathb {R}^{1}(\mathb {C}, {\mathcal {O}).}$

구체적으로 $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$+ ${\$ C${\displaystyle {}^{}}$- ${\$을(를) 상부 하프면과 하부 하프면이 되도록$$ 한다. 그런 다음 $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$∪${\displaystyle {}^{}}$- = ${\displaystyle C\mathbb{}r\mathbb{}}$ R ${\$}컵 $\mathb {C} ^{-}=\mathb {$C$}$ $\setminus \mathb {R}}$ 이렇게 하십시오$$.

${\displaystyle H_{\mathb {R}}^{1}(\mathb {C}, {\mathcal {O})=\왼쪽[]H^{0}(\mathb {C}^{+},{\mathcal {O})\oplus H^{0}(\mathb {C}^{-},{\mathcal {O})\right]/H^{0}(\mathb {C},{\mathcal {O}).}$

모든 피복의 제롯 코호몰로지 그룹은 단순히 피복의 전지구적 부분이기 때문에, 우리는 과기능이 상부와 하부의 복합 하프플레인 모듈로 전체 피복형 함수에 각각 하나씩 있는 한 쌍의 홀로모르픽 기능임을 알 수 있다.

More generally one can define ${\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}$ for any open set ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$ as the quotient ${\displaystyle H^{0}({\tilde {U}}\setminus U,{\mathcal {O}})/H^{0}({\tilde {U}},{\mathcal {O}})}$ where ${\displaystyle {\tilde {U}}\subseteq \mathbb {C} }$ is any open set with ${\displaystyle {\tilde {U}}\cap \mathbb {R} =U}$. One can show that this definition does not depend on the choice of ${\displaystyle {\tilde {U}}}$ giving another reason to think of hyperfunctions as "boundary 홀로모픽 함수의 값"

예

• f가 전체 복잡한 평면에서 어떤 홀로모픽 함수인 경우, 실제 축에 대한 f의 제한은 (f, 0) 또는 (0, -f)로 표현되는 과기능이다.
• Hubiside 스텝 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
  $${\displaystyle H(x)=\left(1-{\frac {1}{2\pi i}\log(z),-{\frac {1}{2\pi i}\log(z)\right)).}$$

  
  ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle }$( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \log(z)}$은(는) z의 복합 로그의 기본 값이다.
• Dirac 델타 "기능"은 다음과 같이 표현된다.
  $${\displaystyle \left\tfrac {1}{2\pi iz},{\tfrac {1}{2\pi iz}\오른쪽).}$$

  
  이것은 정말로 카우치의 필수 공식을 재작성한 것이다. 이를 검증하려면 실제 라인 바로 아래 f의 통합을 계산하고, 실제 라인 바로 위 g의 통합을 왼쪽에서 오른쪽으로 모두 뺄 수 있다. 구성 요소가 동일한 기능의 분석적 연속성이더라도 과기능은 비교 불가일 수 있다는 점에 유의하십시오. 또한 이것은 Hubiside 기능을 차별화하여 쉽게 확인할 수 있다.
• g가 경계 구간 I에 포함된 지지를 가진 실제 라인의 연속 함수(또는 더 일반적으로 분포)인 경우, g는 과기능(f, -f)에 해당하며 여기서 f는 I에 의해 정의된 I의 보완에 대한 홀로모르픽 함수다.
  $${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}\int _{x\in I}g(x){\frac {1}{z-x}\,dx.}$$

  
  이 함수 f는 x 지점에서 실제 축을 교차할 때 g(x)만큼 값을 점프한다. f에 대한 공식은 앞의 예에서 dirac 델타 함수와 함께 g를 그 자체의 콘볼루션으로 쓰면서 나타난다.
• 통합의 칸막이를 사용하면 어떤 연속함수(분포)라도 콤팩트한 지원으로 국소적으로 유한한 함수(분포)의 합으로 쓸 수 있다. 이를 이용하여 위의 임베딩을 내장 $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$(${\displaystyle R\mathbb{}}$) → ${\displaystyle B\mathbb{}}$ (${\displaystyle }$)${\displaystyle }$.${\$로 $확장$할 수 있다$.$$}$
• f가 0(예: e^1/z)의 필수 특이점을 제외한 모든 곳에서 홀모픽인 함수라면$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle f}$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle f}$) ${\디스플레이스타일(f,-f)}$은 분포가 아닌 서포트 0을 가진 과기능이다$$. f가 0에 유한한 순서의 극을 갖는 경우$({\displaystyle f}$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle$ (f$,-f)}$은 분포이므로$$, f가 본질적인 특이성을 갖는 경우${\displaystyle (f}$, - ${\displaystyle f}$)$${\$displaystyle (f,-f)}$은 0에 "무한 순서의 분포"처럼$$ 보인다.(어느 지점에서 항상 유한 순서를 갖는다는 점에 유의).

하이퍼기능에 대한 작업

$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$를) 열린 하위 집합으로 설정하십시오$$.

• 정의 $B{\displaystyle \mathcal{}(U}$) ${\displaystyle {\mathcal{B}(U)}$은 복잡한 숫자의 덧셈과 곱셈이 잘 정의되어 있는 벡터 공간이다$$. 명시적으로:
  $${\displaystyle a(f_{+},f_{-})+b(g_{+},g_{-}):=(af_{+}+bg_{+},af_{-}+bg_{-}}}}}$$

  
• 명백한 제한 지도는 $B{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 피복(사실상 허약하다)으로$$ 만든다.
• 실제 $분석함수{\displaystyle }$ h${\displaystyle o\mathcal{}}$ O${\displaystyle }$( ${\displaystyle U}$)$${\$displaystyle$h\$in${\$mathcal {O}(U)}$과(와) 분화가 있는 곱셈은 다음과 같이 잘 정의되어 있다.
  $${\displaystyle {\begin{aligned}h(f_{+},f_{-})&:=(hf_{+},hf_{-})\\[6pt]{\frac {d}{dz}}(f_{+},f_{-})&:=\left({\frac {df_{+}}{dz}},{\frac {df_{-}}{dz}}\right)\end{aligned}}}$$

  
  이러한 $정의$로 B$){\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}$이(가) D-모듈이 되고$$ 내장 ${\displaystyle D\mathcal{}}$ ${\displaystyle \prime }$ B ${\$은 D-모듈의 형태론이다$$.
• A point ${\displaystyle a\in U}$ is called a holomorphic point of ${\displaystyle f\in {\mathcal {B}}(U)}$ if ${\displaystyle f}$ restricts to a real analytic function in some small neighbourhood of ${\displaystyle a.}$ If ${\displaystyle a\leqslant b}$ are two holomorphic points, then 통합이 잘 정의되어 있다.
  $${\displaystyle \int _{a}^{b}f:--\int _{\not_{+F_{+}(z)\,dz+\int _{\not_{-}f_{-}-}(z)\,dz}$$

  
  where ${\displaystyle \gamma _{\pm }:[0,1]\to \mathbb {C} ^{\pm }}$ are arbitrary curves with ${\displaystyle \gamma _{\pm }(0)=a,\gamma _{\pm }(1)=b.}$$$ 상부 및 하부 평면이 단순하게 연결되기 때문에 통합은 이러한 곡선의 선택과 무관하다.
• $B{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$( ${\displaystyle U}$) ${\displaystyle {\mathcal {B}_{c}(U)}$을(를) 콤팩트하게 지지한 하이퍼 기능의 공간으로 두십시오. 이선형식을 통해
  $${\displaystyle {\begin{case}{\mathcal{B}_{c}(U)\time {\mathcal{O}(U)\mathb {C}\\(f,\varphi )\mapsto \int f\cdot \varphi \case{}}}}}$$

  
  $각{\displaystyle \mathcal{}}$ 과기능에 콤팩트한 콤팩트한 콤팩트(${\displaystyle U}$)로 연속적인 선형함수를 지원한다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle${\$mathcal{O}}(U).$$}}$ 이로$$ 인해 이중 $공간$인 O${\displaystyle {}^{}(}$ (${\displaystyle U}$) ,$${\$displaystyle${\$mathcal {O}'(U)$을 ${\displaystyle B_{}c}$로${\displaystyle }$식별하게${\displaystyle }$된다$.$ {\$displaystyle${\$mathcal {B}_{$c}($U)$$}$ A special case worth considering is the case of continuous functions or distributions with compact support: If one considers ${\displaystyle C_{c}^{0}(U)}$ (or ${\displaystyle {\mathcal {E}}'(U)}$) as a subset of ${\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}$ via the above embedding, then this는 전통적인 르베그-통합을 정확히 계산한다. Furthermore: If ${\displaystyle u\in {\mathcal {E}}'(U)}$ is a distribution with compact support, ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {O}}(U)}$ is a real analytic function, and ${\displaystyle \operatorname {supp} (u)\subset (a,b)}$ then
  $$\displaystyle \int _{a}^{b}u\cdot \varphi =\langle u,\varphi \angle .}$$

  
  따라서 이러한 통합의 개념은 다음과 같은 형식적인 표현에 정확한 의미를 부여한다.
  $${\displaystyle \int _{a}^{b}\properties (x)\,dx}$$

  
  일반적인 의미로는 정의되지 않은 것. 더욱이 다음과 같다. Because the real analytic functions are dense in ${\displaystyle {\mathcal {E}}(U),{\mathcal {E}}'(U)}$ is a subspace of ${\displaystyle {\mathcal {O}}'(U)}$. This is an alternative description of the same embedding ${\displaystyle {\mathcal {E}}'\hookrightarrow {\mat$$hcal{B}}$.
• $if{\displaystyle \mathrm{}}$: ${\displaystyle U}$→ V ${\displaystyle \Phi$:$U\to V}$ is a real analytic map between open sets of ${\displaystyle \mathbb {R} }$, then composition with ${\displaystyle \Phi }$ is a well-defined operator from ${\displaystyle {\mathcal {B}}(V)}$ to ${\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}$:
  $${\displaystyle f\circle \Phi :=(f_{+}\circle \Phi )}$$

  

참고 항목

참조

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• Kaneko, Akira (1988), Introduction to the Theory of Hyperfunctions, Mathematics and its Applications (Book 3), Springer, ISBN 978-90-277-2837-1
• Kashiwara, Masaki; Kawai, Takahiro; Kimura, Tatsuo (2017) [1986], Foundations of Algebraic Analysis, Princeton Legacy Library (Book 5158), vol. PMS-37, translated by Kato, Goro (Reprint ed.), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-62832-5
• Komatsu, Hikosaburo, ed. (1973), Hyperfunctions and Pseudo-Differential Equations, Proceedings of a Conference at Katata, 1971, Lecture Notes in Mathematics 287, Springer, ISBN 978-3-540-06218-9.
  • Komatsu, Hikosaburo, Relative cohomology of sheaves of solutions of differential equations, pp. 192–261.
  • Sato, Mikio; Kawai, Takahiro; Kashiwara, Masaki, Microfunctions and pseudo-differential equations, pp. 265–529. - SKK라고 한다.
• Martineau, André (1960–1961), Les hyperfonctions de M. Sato, Séminaire Bourbaki, Tome 6 (1960-1961), Exposé no. 214, MR 1611794, Zbl 0122.34902.
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• Pham, F. L., ed. (1975), Hyperfunctions and Theoretical Physics, Rencontre de Nice, 21-30 Mai 1973, Lecture Notes in Mathematics 449, Springer, ISBN 978-3-540-37454-1.
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외부 링크

• Jacobs, Bryan. "Hyperfunction". MathWorld.
• Kaneko, A. (2001) [1994], "Hyperfunction", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press