웨이브 프런트 세트

수학적 분석에서, 더 정확히 말하면, 파동전면(set) WF(f)는 공간뿐만 아니라, 각 지점에서의 푸리에 변환에 관해서도 일반화된 함수 f의 특이점을 특징짓는다.'웨이브전선'이라는 용어는 1970년경 라르스 회르만데르에 의해 만들어졌다.

소개

좀 더 친숙한 용어로 WF(f)는 함수 f가 단수(단수 지지대로 이미 설명되어 있음)인 곳뿐만 아니라, 단수성이 발생하는 방향에 대해 보다 정확히 말해 f가 단수인 방법이나 그 이유를 알려준다.이 개념은 한 차원에서는 두 가지 방향만 있기 때문에 적어도 두 차원에서는 대부분 유용하다.어떤 방향으로 비음향적이라는 보완적 개념은 미세한 국소적 부드러움이다.

직관적으로, 예를 들어, 함수 ƒ이 점프 불연속성이 있는 평면의 부드러운 곡선에 단수 지지대가 집중되는 함수 ƒ을 고려한다.곡선에 접하는 방향에서 함수는 매끄러운 상태를 유지한다.이와는 대조적으로 곡선과 정규적인 방향에서 함수는 특이점을 가진다.기능이 다른 방향 v에서 매끄러운지 여부를 결정하기 위해서는 v에 수직인 방향으로 평균화하여 매끄럽게 해 볼 수 있다. 결과 기능이 매끄러우면 ƒ을 v 방향으로 매끄럽게 간주한다. 그렇지 않으면 v는 파동전면 세트 안에 있다.

Formally, in Euclidean space, the wave front set of ƒ is defined as the complement of the set of all pairs (x₀,v) such that there exists a test function ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }}$ with ${\displaystyle \phi }$(x₀) ≠ 0 and an open cone Γ containing v such that the estimate

${\displaystyle (\phi f)^{\wedge }}(\xi ) \leq C_{{N}(1+ \xi )^{-N}\quad{\mbox{{}}모든 }}}}\xi \in \감마 }}}}}$

모든 양의 정수 N을 보유한다.여기서${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{\varphi f}}$ )$∧{\$ f$)^{\wedge }}}}$는 푸리에 변환을 나타낸다$$.만약 (x,v) ∈ Wf(ƒ)이면 (x,v) ∈ Wf(ƒ)가 모든 λ > 0에 대해 (x,fv) ƒ Wf(ƒ)라는 의미에서 파동전면 세트가 원뿔형인지 관찰한다.앞 단락에서 논의한 예에서, 파동전면 세트는 면의 접선다발 안에 있는 곡선의 접선다발 이미지의 설정-이론적 보완물이다.

그 정의는 압축적으로 지원되는 기능에 의한 차단을 수반하기 때문에, 파형 전면 세트의 개념은 어떤 다른 다지관 X로 전송될 수 있다.이러한 보다 일반적인 상황에서 ξ 변수는 벡터가 아닌 코브터에 자연적으로 국소화되기 때문에, 파형 전면 세트는 코탄젠트 번들^* T(X)의 닫힌 원뿔형 부분집합이다.파형 전면 세트는 X에 대한 투영이 함수의 단일 지지대와 같도록 정의된다.

정의

유클리드 공간에서는 분배 ƒ의 파형 전면 세트를 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle {\rm {WF}=\{(x,\xi )\in \mathb {R}^{n}\time \mathb {R}^{n}\mid \xi \in \sigma _{x}(f)\}}}$

여기서 $\sigma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$( ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle \Sigma _{x}(f)}$는 x에서 ƒ의 단일 섬유다.단수 섬유는 모든 방향 $complement{\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$을(를) 보완하는 것으로 정의되며$$, x에서 국부화된 f의 푸리에 변환이 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle$$$\$xi}$을(를) 포함하는 오픈 콘으로 제한될 때 충분히 규칙적일 수 있다$.$ 보다 정확히 말하면 방향 $v$는 ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle x_{}}$ (${\displaystyle f}$ ) ${\displaystylease$이다.$a$ φ(x) ≠ 0으로 콤팩트하게 지원되는 매끄러운 함수 φ과 v를 포함하는 오픈 콘 γ이 각 양의 정수 N에 대해 다음 추정치가 유지되는 경우$$ $_{x}(f)}$

${\displaystyle (\phi f)^{\wedge }{{N}(1+ \xi )^{-N}\quad {\rm { for~all}\xi \in \Gamma.}$

그러한 추정치가 특정 컷오프 함수 φ에 대해 x에서 유지되면, 더 작은 지지대로 모든 컷오프 기능에 대해서도 유지되며, v를 포함하는 다른 오픈 콘에 대해서도 가능하다.

가변적인 다지관 M에서, 등각 번들의 $국부좌표{\displaystyle }$ x ,${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ x$,\xi }$을 사용하여, 다음과 같은 일반적인 방법으로 분배 ƒ의 파형 전면 세트 WF(f)를 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\rm {WF}=\{(x,\xi )\in T^{*}(X)\mid \xi \in \sigma _{x}(f)\}}}}$

여기서 단수 섬유 $\sigma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}{x}_{}}$ (${\displaystyle f}$) ${\displaystyle \Sigma _{x}(f)$는 $다시{\displaystyle }$ 모든 방향 complement${\displaystyle \xi$}의 보완물이 되어$$$$, x에 지역화된 f의 푸리에 $변환$이 {$${\$displaysty \xi$의 원뿔형 인접성으로 제한될 때 충분히 규칙적이 된다.정규성의 문제는 국소적이므로 x 변수의 푸리에 변환을 사용하여 로컬 좌표계에서 확인할 수 있다.필요한 규칙성 추정치는 차이점형성 하에서 잘 변형되므로 규칙성의 개념은 국소 좌표의 선택과 무관하다.

일반화

파형 전면 세트의 개념은 함수의 규칙성에 대한 다른 개념을 수용하도록 적응될 수 있다.여기서 국산화란 x에서 사라지지 않는 어떤 부드러운 컷오프 기능에 의해 f가 잘린다는 말로 표현할 수 있다.(국산화 과정은 세균을 이용하여 보다 우아한 방식으로 이루어질 수 있다.)

보다 구체적으로, 이것은 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\displaystyle \xi \sigma _{x}(f)\iff \xi =0{\text{} 또는 }}\exists \phi \in {\mathcal {V}_{\xi}}}}}\exists V\in {\v}}}}}{{V}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

어디에

• ${\displaystyle {\mathcal{D}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$은(는) x에서 사라지지 않는 매끄러운 기능을 압축적으로 지원한다.
• ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\xi }_{}}$${\$$displaystyle {\v}_{\xi }}}}$은(는) ${\displaystyle \{}$$$${\$$displaystyle \xi$ 즉, ${\displaystyle \mathrm{모든}}$c> {\$displaystyle$ c\$cdot$ V$\$$subset$ V$}$의 원추적 인접 지역이다
• ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ^ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\$는 V로 제한된 (비교적으로 지원되는 일반화) 함수 u의 푸리에 변환을 의미한다$$.
• ${\displaystyle O:$$\Oomega \to O(\Oomega )}$는 기능(또는 분포)의 고정된 사전 설정이며$$, 이러한 선택은 푸리에 변환의 원하는 규칙성을 강제한다.

일반적으로 무한대에서 일부 성장(또는 감소) 조건을 충족하려면 O의 섹션이 필요하다. 예를 들어 $({\displaystyle 1}$+ +${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle \xi }$ )${\displaystyle (1+ \xi )^{s}v(\xi )}}$가 일부 L 공간에^p 속한다.이 정의는 타당하다. 왜냐하면 f가 부드러운 컷오프$($cutoff)로 잘리면 푸리에 변환이 (무한도 $성장$ 측면에서) 더 규칙적이 되기 때문이다$.$

이론적인 관점에서 가장 어려운 "문제"는 일반화 함수의 공간 G의 주어진 하위 표층 E에 속하는 적절한 표층 O 특성화 함수를 찾는 것이다.

예

만일 우리가 G = D′ 분포의 공간을 취하여 국소 $∞{\$ C$^{\infit }}$ 함수인$$ 분포를 특성화하려면 문헌에서 O′(_MΩ)라고 하는 고전 함수 공간을 O(Ω)로 삼아야 한다.

그러면 분포의 파형 전면 세트의 첫 번째 구성 요소에 대한 투영은 다름아닌 고전적인 단수 지지대, 즉 그 제한이 부드러운 기능이 될 집합의 보완이다.

적용들

파동전면 세트는 무엇보다도 유사추상 연산자에 의한 특이점 전파를 연구할 때 유용하다.

참고 항목

• FBI 변신
• 단수 스펙트럼
• 필수지원

참조

• Lars Hörmander, Fourier 적분 연산자 I, Acta Math.17 (1971), 페이지 79–183.
• Hörmander, Lars (1990), The Analysis of Linear Partial Differential Equations I: Distribution Theory and Fourier Analysis, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 256 (2nd ed.), Springer, pp. 251–279, ISBN 0-387-52345-6 제8장 특이점의 스펙트럼 분석