팰커의 추측

기하학적 측정 이론에서, 케네스 팰커의 이름을 딴 팰커의 추측은 $콤팩트{\displaystyle }$ d ${\displaystyle d}$ -차원$$ 공간에 있는 점들 사이의 유클리드 거리 집합에 관한 미해결 문제다.직관적으로 하우스도르프 치수에서 큰 점 집합이 측정에서 큰 거리 집합을 결정해야 한다고 기술한다.보다 정확히 말하면, $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $S$$}$이(가) Hausdorff 치수가 d${\displaystyle }$/ 2 ${\displaystyle d$$/$2$}$보다 완전히 큰 d$$ ${\displaystyle$ d/2} $공간$의 콤팩트한 점 집합이라면$,$ $추측$에 따르면 S ${\displaystyle$ S$}$의 점 쌍 사이의 거리 집합은 0 Le가 되어야 한다$$.적절한 조치

공식화 및 동기부여부

Falconer(1985)는 Hausdorff 치수가${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{d}}$+ 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle (d+1)/2}$보다 큰 보렐 세트가 0이 아닌 측정값의 거리 세트를 가지고 있음을$$ 증명했다.^[1]그는 Steinhaus 정리, 휴고 Steinhaus은 실제의 숫자가 조금이라도 되로 모든 집합;0{\displaysty 일부 ε 을 형태(− ε, ε){\displaystyle(-\varepsilon ,\varepsilon)}의 간격이 포함된 차이점 집합이 포함해야 한다는 것의 이전의 결과의 입체적인 일반화로 이 결과 되기도 하였다.르$\varepsilon >0$^[2] 또한 Erdős 별개의 거리 문제의 연속적인 아날로그로 볼 수 있는데, 이것은 큰 유한한 점 집합이 고유 거리의 많은 수를 가져야 한다고 명시하고 있다.

부분 결과

Erdo2005an(2005)은 ${\displaystyle \frac{\mathrm{Hausdorff}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{치수}}{}}$가 d 2${\displaystyle }$+ 1 3 ${\$1}{3}}}}}}}보다 큰 점 집합이 0이 아닌 거리 집합을 가지고$$ 있음을 증명했다. $d{\displaystyle }$ ${\displaystyled}$의 큰 값에 대해, 이것은$$ 팔커 추정에 의해 주어진 Hausdorff 치수의 임계값에 근사한다.^[3]유클리드 평면의 점들에 대해, 5/4 이상 Hausdorff 치수의 보렐 집합은 0이 아닌 측정값의 거리 집합을 가지고 있으며, 더 강하게는 집합에서 이 지점까지의 거리의 르베그 측도가 양수인 점을 가지고 있다.^[4]

팔콘거의 추측의 변형은 평면 내 지점의 경우 하우스도르프 치수가 1보다 크거나 같은 콤팩트한 세트에는 하우스도르프 치수 1의 거리 세트가 있어야 한다고 말한다.이는 5/4 이상 Hausdorff 치수 세트에 대한 측정 결과에서 나온 것이다.최소 하나 이상의 Hausdorff 치수를 가진 컴팩트 평면 세트의 경우, 거리 세트에는 적어도 1/2의 Hausdorff 치수가 있어야 한다.^[5]

관련 추측

하우스도르프 치수를 가진 콤팩트 평면 세트에서 설정된 거리의 치수에 대해 1/2보다 엄격히 큰 한계를 입증하는 것은 몇 가지 다른 미해결 추측을 해결하는 것과 같을 것이다.여기에는 부분적인 하우스도르프 치수를 가진 실제 숫자의 보렐 서브링의 존재에 대한 폴 에르드스의 추측과 카케야 세트 문제의 변형이 포함되어 있어 가능한 모든 방향에서 세트와의 교차점이 하우스도르프 치수가 높은 라인 세그먼트가 있다.^[6]이러한 추측들은 부르가인에 의해 해결되었다.

기타 거리 함수

다각형 규범에 의해 정의된 평면의 비유클리드 거리 함수의 경우, 팔콘거 추측의 아날로그는 거짓이다. 거리 집합이 0인 하우스도르프 치수 2의 집합이 존재한다.^[7][8]

참조