거리 세트

기하학에서 점 집합의 거리 집합은 구별되는 점 쌍 사이의 거리 집합이다.따라서, 그것은 차이 집합의 일반화, 거리의 집합(및 그 부정)으로 볼 수 있다.

기하학적 거리 집합에 대한 여러 문제와 결과는 대개 큰 점 집합이 반드시 큰 거리 집합("크기"의 다양한 정의에 대한)을 가져야 한다.

• Falconer의 추측은 Hausdorff 치수가 d${\displaystyle }$/ $2{\displaystyle }$ ${\displaystyle d/2}$보다 큰 d ${\displaystyle$ d/2}$차원$ 공간의 점 집합에 대해 해당 거리 집합이 0이 아닌 Lebegue 측정값을 갖는다는 것이다$.$부분적인 결과가 알려지긴 했지만, 그 추측은 여전히 입증되지 않고 있다.^[1]
• Erdős-Ulam 문제는 거리 집합이 합리적인 숫자로만 구성된 유클리드 비행기에 밀도 집합이 가능한지를 묻는다.다시 말하지만, 여전히 해결되지 않은 채로 남아있다.^[2]
• 페르마의 두 제곱합에 대한 정리는 2차원 정수 격자의 거리 집합에 있는 숫자들을 특징짓는다: 그것들은 3모드 4에 대한 어떤 주요 결합물의 홀수 개수를 포함하지 않는 정수의 제곱근이다.레전드레의 3제곱 정리는 3차원 정수 격자의 거리 세트를 특징짓고, 라그랑주의 4제곱 정리는 4차원 이상 정수 격자의 거리 세트를 추가 제약이 없는 정수의 제곱근으로 특징짓는다.5개 이상의 차수에서, 0이 아닌 상위 밀도의 격자의 모든 부분 집합에는 무한 산술 진행의 제곱을 포함하는 거리 집합이 있다.^[3]
• 에르드제스-아닝 정리에 따르면, 한 선에 눕지 않는 유클리드 평면의 모든 점 집합에는 거리 집합에 비정수가 있다.^[4]
• 점의 사각 격자는 거리 집합이 2차인 일반 위치의 점과는 대조적으로 하위 선형 크기의 거리 집합이 있다.그러나 래리 거스와 네츠 캣츠가 2015년 발표한 에르드별 거리 문제의 해결책에 따르면 유클리드 평면에서 유한한 점 집합의 거리 집합은 주어진 집합에 거의 못 미치는 약간 하위 선형에 불과하다.^[5]특히 점의 유한 집합만이 유한 거리 집합을 가질 수 있다.
• 골롬 눈금자는 점의 두 쌍이 같은 거리를 가지지 않도록 선에 있는 점들의 유한 집합이다.소피 피카르는 두 골롬 지배자가 같은 거리 세트를 가지고 있지 않다고 주장했다.주장은 틀리지만, 공유 거리가 설정된 6점 골롬 지배자의 한 쌍인 백작만 있다.^[6]
• 미터법 공간의 등각 치수는 거리 집합이 단일 요소만 갖는 점 집합의 가장 큰 크기입니다.쿠스너의 추측에 따르면 맨해튼 거리에 $있는{\displaystyle }$ d ${\displaystyle d}$ -차원$$ 공간의 등각 치수는 정확히 $[\displaystyle 2d}$이지만$,$ 이는 입증되지 않은 것으로 남아 있다.^[7]

거리 집합은 컴퓨터 시각에서 형상 설명자로도 사용되어 왔다.^[8]

참조