허위확산

거짓 확산은 대류-확산 방정식의 대류 항에 근사치를 하기 위해 풍향계를 사용할 때 관측되는 오류의 한 유형이다. 보다 정확한 중심차이방식은 대류용어에 사용할 수 있으나, 셀 Peclet 수가 2 이상인 격자의 경우 중심차이방식이 불안정하여 보다 단순한 상승차방식이 사용되는 경우가 많다. 상향식 차이점화 방식에서 발생하는 오차는 2차원 또는 3차원 좌표계에서는 확산과 같은 외관을 가지며 "거짓 확산"이라고 한다. 대류-확산 문제의 수치해결에서 거짓확산 오류는 2차원 및 3차원으로서 보존 방정식의 대류 용어의 수치 근사치에서 발생한다. 지난 20년 동안 대류-확산 방정식을 해결하기 위해 많은 수치적 기법이 개발되었고, 그 중 문제가 없는 것은 하나도 없지만, 잘못된 확산은 수치 분석가들 사이에서 가장 심각한 문제 중 하나이며, 논란과 혼란의 주요 주제다.

정의

허위확산(false diffusion)은 시스템의 주요 축 중 하나 이상에 비정직적으로 흐르는 운반되는 성질의 분포를 해결하기 위해 다차원 사례에서 역풍구도를 사용할 때 얻어지는 확산성 외관을 갖는 오류로 정의된다. 흐름이 각 주요 축과 직교 또는 평행할 때 오차가 없다.

예

그림 1:잘못된 확산을 나타내는 흐름 도메인

그림 1에서 u = 2 및 v = 2m/s로 속도장이 대각선(XX)에 대해 균일하고 수직이 되도록 한다. 북쪽과 서쪽 벽의 온도의 경계조건은 100 cC이고 동쪽과 남쪽 벽의 경계조건은 0 isC이다. 이 지역은 10×10 균등 격자로 둘러싸여 있다. 확산계수가 0인 경우 (i)와 확산계수가 0인 경우 (ii) 두 가지 경우를 취한다.

케이스 (i)

그림 2: 서쪽 면은 100°C이고 남쪽 벽은 0°C이다. 대각선 XX에 열이 분산됨

이 경우 서벽과 남벽에서 나오는 열은 북쪽과 동쪽 벽을 향해 대류 흐름에 의해 운반된다. 열은 또한 위쪽 삼각형에서 아래쪽 삼각형까지 대각선 XX에 분산된다. 그림 2는 대략적인 온도 분포를 보여준다.

사례(ii)

이 경우 서부와 남벽으로부터의 열은 북쪽과 동쪽을 향해 흐르면서 대류된다. 대각선 XX에 걸쳐 확산은 없으나 역풍 방식을 적용하면 실제 확산이 발생하는 케이스(i)와 유사한 결과가 나타난다. 이 오류는 잘못된 확산으로 알려져 있다.

배경

초기 접근법에서, 지배 운송 방정식의 차등 형태의 파생상품은 유한 차이 근사치, 보통 2차 순서의 정확도를 갖는 중앙 차이 근사치로 대체되었다. 그러나 큰 Peclet 수(일반적으로 > 2)에 대해서는 이 근사치가 부정확한 결과를 주었다. 비용이 덜 들지만 1차 주문의 정확한 상승 풍향계를 채용할 수 있다는 것은 여러 조사자들에^[1]^[2] 의해 독립적으로 인정받았지만, 이 계획은 다차원적인 사례에 대한 허위 확산으로 결과를 낳는다. 허위 확산에 대응하기 위해 많은 새로운 계획들이 개발되었지만, 신뢰할 수 있고 정확하며 경제적인 검증 계획은 여전히 사용할 수 없다.

오류 감소

그림 3(a): 메쉬 사이즈 8×8

그림 3(b): 메쉬 크기가 8X8인 역풍 구조 결과

그림 4(a): 64×64 망사 크기

그림 4(b): 메쉬 크기가 64×64인 역풍 구조 결과

더 미세한 망사

바람 구조로 인한 잘못된 확산은 메쉬 밀도를 증가시킴으로써 감소한다. 그림 3과 4의 결과에서 잘못된 확산 오차는 더 미세한 망사 크기로 그림 4(b)에서 가장 낮다.

기타 계획

잘못된 확산 오류도 전력법 체계, QUICK 체계, 지수 체계, SUCCA 등의 체계를 사용함으로써 줄일 수 있다.^[3]^[4]

풍향계 개선

단순한 풍향계와의 잘못된 확산은 그 계획이 그리드/흐름 방향 기울기를 고려하지 않기 때문에 발생한다. 2차원의 거짓 확산 용어에 대한 대략적인 표현은 de Vahl Davis와 Mallinson(1972)에 의해 제시되었다.^[5]

{\tau_{fc}^{\star }={\frac {\rho\U\\\delta x\,\Delta y\sin 2\}{4(\Delta y\sin ^{3}\delta y\sin ^{3}\delta x\cos }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

(1)

여기서 U는 결과 속도이고 θ은 x 방향의 속도 벡터에 의해 만들어진 각도다. 잘못된 확산은 결과적인 흐름이 격자선 세트 중 하나에 정렬될 때 없고, 흐름 방향이 격자선에 45˚일 때 가장 크다.

대류 항에 대한 근사치의 정확도 결정

T + kt의 $\phi _{P}$ $\phi _{W}$ $\phi _{W}$ ${\$ 및 $\phi _{W}$ $\phi _{P}$ $\phi _{P}$ ${\$ 에 Taylor 시리즈를 사용하는 경우

\phi_{Wk}=\phi_{wk}-\왼쪽({\frac {\delta x_{i2}}\\\오른쪽)\prec({\partial \pi }{\partial x}\오른쪽)_{wk}+{\frac {1}{1}{2!}}}\왼쪽 \frac{\put x_{i}}{2}}\오른쪽)^{2}\왼쪽 \frac {\press ^{2}\phi }{\put x^{2}}}\오른쪽)_{wk}+\cdots .}}

(2a)

\pk}=\phi _{wk}-\좌({wk}-\frac({\delta x_{i}}{2}}\\우)\좌({\frace \partial \pi }}{wk}+{\frac {1}{1}{2!}}}\왼쪽 \frac{\put x_{i}}{2}}\오른쪽)^{2}\왼쪽 \frac {\press ^{2}\phi }{\put x^{2}}}\오른쪽)_{wk}+\cdots .}}

(2b)

according to the upwind approximation for convection (UAC), ${\phi _{wk}=\phi _{Wk}}$ . Neglecting the higher order in equation (2a), the error of convected flux due to this approximation is ${\displaystyle {-\rho _{w$ $}u_{w}\delta y_{i}\좌측({\frac$ {\ $delta x_{2}}\}\우측)\좌측({\fract$ {\partial $\pi$ }{\ $partial x}\우측)$ $_{$ wk ${-\rho _{w}u_{w}\delta y_{i}\left({\frac {\delta x_{i}}{2}}\right)\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{wk}}$ ${\phi }$ 공효율이^[6] 있는 잘못된 확산에 의한 ${\phi }$ 플럭 형태를 띠고 있다 $.$

\displaystyle \tau _{fc,UAC}^{\star }={\rho _{w}\{w}\왼쪽({\frac {\delta x_{i}}}{2}}\오른쪽)}}

(3)

첨자 fc는 이것이 UAC를 사용하여 $t+k\,\Delta t$ $t+k\,\Delta t$ t $t+k\,\Delta t$ + $t+k\,\Delta t$ $t+k\,\Delta t$ t $t+k\,\Delta t$ 에서 대류 유량의 추정에서 발생하는 잘못된 확산임을 상기시킨다.

스큐 상승 코너 대류 알고리즘(SUCCA)

그림 5:SUCCA 그리드 셀 클러스터

SUCCA는 역풍 코너 셀의 영향을 일반 지배 운송 방정식의 탈증식 보존 방정식에 도입함으로써 국지적 흐름 방향을 고려한다. 그림 5에서, SUCCA는 9개의 셀 그리드 클러스터 내에 적용된다. 세포 P에 대한 SW 코너 유입을 고려했을 때 보존종의 대류수송에 대한 SUCCA 방정식 ${\$ 은 다음과 ${\phi }$ 같다.

C_{P}\phi _{P}=\left({\dot {m}}_{w}-{\frac {({\dot {m}}_{s})^{2}}{{\dot {m}}_{w}}}\right)\phi _{W}+\left({\dot {m}}_{s}+{\frac {({\dot {m}}_{s})^{2}}{{\dot {m}}_{w}}}\right)\phi _{SW}+0.\phi _{S}{\text{{}}: }}<\theta \leq 45

(4)

즉,

C_{P}\pi _{P}=C_{w}\pi _{W}+C_{s}w\pi _{SW}}

(5)

{\displaystyle C_{P}\phi _{P}=\left({\dot {m}}_{s}-{\frac {({\dot {m}}_{w})^{2}}{{\dot {m}}_{s}}}\right)\phi _{W}+{\left({\dot {m}}_{w}+{\frac {({\dot {m}}_{w})^{2}}{{\dot {m}}_{s}}}\right)\phi _{SW}}+0.\phi _{W}{\text{{}}}}}}}}}}}45<\theta <90}의 경우

(6)

즉,

C_{P}\pi _{P}=C_{s}\pi _{S}+C_{s}w\pi _{SW}}

(7)

이 공식은 수렴과 안정성의 모든 기준을 만족한다.^[7]

그림 6: 여러 가지 방법의 비교

그림 6에서 메쉬를 다듬을수록 역풍 구조는 보다 정확한 결과를 제공하지만 SUCCA는 거의 정확한 해결책을 제시하며 다차원 허위 확산 오류를 방지하는 데 더 유용하다.

참고 항목

참조

^ R. Courant,E.Isaacson and M.Rees. "On the solution of non-linear hyperbolic differential equations by finite difference, Comm. Pure Appl. Math. 5(1952) 243–255". {{cite journal}}: Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)
^ K.E.Torrance. "Comparison of finite difference computations of natural convection J.Res N.B.S 72B(1968)281–301". {{cite journal}}: Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)
^ Versteeg, H.K.; Malalasekera, W. (2007). An introduction to computational fluid dynamics : the finite volume method (2nd ed.). Harlow: Prentice Hall. ISBN 9780131274983.
^ Patankar, Suhas V. (1980). Numerical heat transfer and fluid flow (14. printing. ed.). Bristol, PA: Taylor & Francis. ISBN 9780891165224.
^ Patankar, Suhas V. (1980). Numerical heat transfer and fluid flow page no:108 (14. printing. ed.). Bristol, PA: Taylor & Francis. ISBN 9780891165224.
^ G.D. Raithby. "A critical evaluations of upstream differencing applied to problems involving fluid flow , COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING , 9(1976) 75–103". {{cite journal}}: Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)
^ C.Carey, T.J.Scanlon and S.M.Fraser. "SUCCA- An alternative scheme to reduce the effects of multidimensional false diffusion, Appl. Math Modelling,1993 ,Vol.17, May 263–270". {{cite journal}}: Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)

추가 읽기

Patankar, Suhas V. (1980), Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Taylor & Francis Group, ISBN 9780891165224
Wesseling, Pieter (2001), Principles of Computational Fluid Dynamics, Springer, ISBN 978-3-540-67853-3
Date, Anil W. (2005), Introduction to Computational Fluid Dynamics, Cambridge University Press, ISBN 9780521853262

[1] R. Courant,E.Isaacson and M.Rees. "On the solution of non-linear hyperbolic differential equations by finite difference, Comm. Pure Appl. Math. 5(1952) 243–255". {{cite journal}}: Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)

[2] K.E.Torrance. "Comparison of finite difference computations of natural convection J.Res N.B.S 72B(1968)281–301". {{cite journal}}: Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)

[3] Versteeg, H.K.; Malalasekera, W. (2007). An introduction to computational fluid dynamics : the finite volume method (2nd ed.). Harlow: Prentice Hall. ISBN 9780131274983.

[4] Patankar, Suhas V. (1980). Numerical heat transfer and fluid flow (14. printing. ed.). Bristol, PA: Taylor & Francis. ISBN 9780891165224.

[5] Patankar, Suhas V. (1980). Numerical heat transfer and fluid flow page no:108 (14. printing. ed.). Bristol, PA: Taylor & Francis. ISBN 9780891165224.

[6] G.D. Raithby. "A critical evaluations of upstream differencing applied to problems involving fluid flow , COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING , 9(1976) 75–103". {{cite journal}}: Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)

[7] C.Carey, T.J.Scanlon and S.M.Fraser. "SUCCA- An alternative scheme to reduce the effects of multidimensional false diffusion, Appl. Math Modelling,1993 ,Vol.17, May 263–270". {{cite journal}}: Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)

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