유한 부피법

미분 방정식
장애물 주위의 공기 흐름을 시뮬레이션하는 데 사용되는 Navier-Stokes 미분 방정식
범위
필드 자연과학 공학 천문학 물리학 화학 생물학 지질학 응용 수학 연속체 역학 혼돈 이론 다이너믹 시스템 사회과학 경제학 인구역학
분류
종류들 보통 부분적 차동알지브라질 인터그로 차동 분수 선형 비선형 변수 유형별 종속변수와 독립변수 자율적 콤플렉스 결합/분리됨 정확한 동종/비동종 특징들 주문 연산자 표기법
프로세스와의 관계 차이(구체 아날로그) 스토카스틱 확률적 부분 지연
해결책
존재와 고유성 피카르-린델뢰프 정리 페아노 존재 정리 카라테오도리의 존재 정리 카우치-코왈레프스키 정리
일반 주제 룬스키안 위상 초상화 위상공간 랴푸노프 / 점근증 / 지수 안정성 수렴율 시리즈/적분 솔루션 수치적 통합 디라크 델타 함수
솔루션 방법 감사 특성방법 오일러 지수 반응식 유한차이 (크랭크-니콜슨) 유한요소 무한요소 유한 부피 갤러킨 페트로프-갈러킨 집적인자 적분 변환 섭동 이론 룬게쿠타 변수의 분리 결정되지 않은 계수 모수의 변동
사람
리스트 아이작 뉴턴 고트프리드 라이프니즈 레온하르트 오일러 에밀 피카르 요제프 마리아 회네브로이스키 에른스트 린델뢰프 루돌프 립시츠 아우구스틴루이코치 존 크랭크 필리스 니콜슨 칼 데이비드 톨메 룬지 마르틴 쿠타
v t

유한 체적법(FVM)은 대수 방정식의 형태로 부분 미분 방정식을 표현하고 평가하는 방법이다.^[1] 유한 체적법에서는 발산 항을 포함하는 부분 미분방정식의 부피집적합물을 발산정리법을 이용하여 표면집적합으로 변환한다. 이 항들은 각 유한 부피의 표면에서 플럭스로 평가된다. 주어진 부피에 들어가는 유속이 인접한 부피에서 나오는 유량과 동일하기 때문에 이러한 방법은 보수적이다. 유한 볼륨 방식의 또 다른 장점은 구조화되지 않은 메쉬를 허용할 수 있도록 쉽게 공식화된다는 것이다. 이 방법은 많은 컴퓨터 유체 역학 패키지에 사용된다. "완료 볼륨"은 메쉬의 각 노드 포인트를 둘러싼 작은 볼륨을 가리킨다.

유한 체적 방법은 결절 값을 이용한 파생상품이나 국부 데이터를 이용한 용액의 국부적 근사치를 창출하는 유한요소법에 근사치를 갖는 유한차량법과 비교·대조할 수 있다. 대조적으로 유한 체적 방법은 일부 체적에 대한 용액의 평균 값에 대한 정확한 식을 평가하고, 이 데이터를 사용하여 세포 내에서 용액의 근사치를 구성한다.^[2][3]

예

간단한 1D 연결 문제를 고려하십시오.

${\displaystyle {\frac {\reship \rho}{\frac}+{\frac {\frac}{\frac}=0,\flash t\geq 0.}$

(1)

Here, ${\displaystyle \rho =\rho \left(x,t\right)}$ represents the state variable and ${\displaystyle f=f\left(\rho \left(x,t\right)\right)}$ represents the flux or flow of ${\displaystyle \rho }$. Conventionally, positive ${\displaystyle f}$ represents flow to the right 음의 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) 왼쪽으로의 흐름을 나타낸다$$. 방정식 (1)이 일정한 영역의 유동적 매체를 나타낸다고 가정할 경우, 공간 $영역$인 x$${\$displaystyle$x$\}$을(를$)$ i {\$displaystyle$ i$}$로 인덱싱된 셀 중심이 있는 유한 볼륨 또는 셀로 세분화할 수 있다$.$ 특정 셀의 $경우{\displaystyle }$, i$${\$displaystyle$ i$},$$\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}t}$ )${\displaystyle }$= 볼륨 평균 값을 정의할 수 있다.${\displaystyle {\rho }_{i}\left(t\right)=\rho \left(x,t\right)}$ at time ${\displaystyle {t=t_{1}}}$ and ${\displaystyle {x\in \left[x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}\right]}}$, as

${\displaystyle {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)={\frac {1}{x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\rho \left(x,t_{1}\right)\,dx,}$

(2)

$그리고{\displaystyle }$ t${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 다음과 같다$$.

${\displaystyle {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\rho \left(x,t_{2}\right)\,dx,}$

(3)

여기서 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$- ${\displaystyle {1\frac{\mathrm{}}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{2}{}}_{}}$ ${\$ $x_$${i-{\frac {1}{1}:{$2}} 및 ${\displaystyle x_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {\frac{1}{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\frac{\mathrm{}}{}}_{}}$ ${\$}2$}}$은 각각 i ${\displaystyle {\text{th}}^{}}$ ${\$ i$^{\text{th}}$ 셀의 업스트림 면이나 다운스트림 면의 위치를 나타낸다$$.

시간 내에 방정식(1)을 통합하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \rho \left(x,t_{1}\right)=\rho \left(x,t_{1}\right)-\{t_{1}{1}^{1}{1}{2}}f_{x}\좌(x,t\rig)\,dt,},}$

(4)

여기서 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$= ${\displaystyle \partial \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{f}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\$ {\f$}{\property x$

To obtain the volume average of ${\displaystyle \rho \left(x,t\right)}$ at time ${\displaystyle t=t_{2}}$, we integrate ${\displaystyle \rho \left(x,t_{2}\right)}$ over the cell volume, ${\displaystyle \left[x_{i-{\frac {1}{2}}},x_$${i+{\frac{1}{2}}}\오른쪽]}$ $\Delta$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}{}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{\mathrm{i}}{}}_{}}$+ 1 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$- x ${\displaystyle {\frac{\mathrm{i}}{}}_{}}$- ${\displaystyle {1\frac{\mathrm{}}{}}_{}}$2 {\$displaystyle \Delta$x_${i$}=$x_{1$}{1}{1$}{$1}{{$i-{1}:{ni-{1$}2}},$$예.

${\displaystyle {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{\Delta x_{i}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\left\{\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)dt\right\}dx.}$

(5)

$우리$는 f ${\$가) 잘 행동하고$$ 있으며 통합의 순서를 뒤집을 수 있다고 가정한다. 또한, 셀의 단위 영역으로의 흐름이 정상이라는 것을 상기하라. Now, since in one dimension ${\displaystyle f_{x}\triangleq \nabla \cdot f}$, we can apply the divergence theorem, i.e. ${\displaystyle \oint _{v}\nabla \cdot fdv=\oint _{S}f\,dS}$, and substitute for the volume integral of the divergence with the values of ${\displaystyle$$f(x)}$은(는) 셀 표면에서 다음과 같이 평가하였다$$(일반적으로$$ $x{\displaystyle {}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle {\frac{1}{}}_{}}$ 2 ${\$ {$1}{1$}2$}}$ 및 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$+ ${\displaystyle {1\frac{\mathrm{}}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{2}{}}_{}}$ ${\$}{1}2$\}\}).$

${\displaystyle {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)-{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left(\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i+{\frac {1}{2}}}dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i-{\frac {1}{2}}}dt\right).}$

(6)

여기서 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$± ${\displaystyle {\frac{1}{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle i{}_{}}$± ${\displaystyle {\frac{1}{}}_{}}$ ${\displaystyle 2{}_{}}$, t${\displaystyle }$) ${\$1}:{$1}}}=f\$pm$(x_{i\pm}{1},t\right$

따라서 우리는 $다음$을 얻기 위한 시간에 대해 (6)을 차별화함으로써 i ${\displaystyle$ i$\}$ 로 색인화된 셀 중심과 $i{\displaystyle }$± ${\displaystyle \frac{1}{}}$ 2 ${\$ i$\pm {\frac{1$}{2$\}\}:\}$로 색인화된 셀 에지 플럭스의 경우 위의 문제에 대한 반분해적인 수치 체계를 도출할 수 있다.

${\dfrac{\d{\bar{\rho }}}{dt}}+{dt}+{{delta x_{i}}}}\좌측[f_{i+{1}{1}{1}{1}{1}{{1}{1}{{1}{1}}}}}-{{2}}}\frac]=0,},},},}$

(7)

여기서 에지 플럭스의 값 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$± 1 ${\displaystyle {\frac{2}{}}_{}}$ ${\$셀 평균의 보간 또는 외삽으로 재구성할 수 있다. 방정식(7)은 체적 평균에 대해 정확하다. 즉, 그 유도 동안에 근사치가 이루어지지 않았다.

노드 주변의 동서남북 면과 함께 남북면까지 고려해 2D 상황에도 적용할 수 있다.

일반보존법

우리는 또한 다음의 PDE로 대표되는 일반적인 보존법 문제를 고려할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\mathbf {u}{\\mathbf {u}}}{\mathbf {f}}+\mathbf {f}}\mathbf {0}}}={\mathbf {0}}}}}.}$

(8)

여기서 $u{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$는) 상태의 벡터를 나타내고$$ $f{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$는) 해당 플럭스 텐셔너를 나타낸다$$. 다시 우리는 공간 영역을 유한한 볼륨이나 셀로 세분화할 수 있다. 특정 셀의 경우, $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ i$\},$ 셀의 총 볼륨에 대해 통합된 $볼륨{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ i$${\$displaystyle v_{i$ 이렇게 하면

${\displaystyle \int_{v_{i}{v_{v_{i}}{\frac \\mathbf {u}}{v_{i}\int_{v_{v_}\mathbf {}}\cdla \mathbf {0}}}}\cdatabf {0}}}}}}}.}$

(9)

첫 번째 항을 통합하여 볼륨 평균을 얻고 두 번째 항에 발산 정리를 적용하면 이 산출량이 증가한다.

${\d}디스플레이스타일 v_{i}{d{\mathbf{\mathbf{\bar{u}}}}{S_{i}}+\point _{S_{i}}}{\mathbf {f}}}{\mathbf {}\right}}}\cdot {\mathbf {0}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}},$

(10)

여기서 ${\displaystyle {Si}_{}}$ ${\$는 셀의 총 표면적을 나타내며$$ $n{\displaystyle \mathbf{}}${\$displaystyle${\$mathbf{n}}}}}$은 표면에 정상이고 바깥쪽을 가리키는 단위 벡터다. 따라서 마지막으로 (8)에 해당하는 일반적인 결과, 즉, 그 결과를 제시할 수 있다.

${\displaystyle {{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over {dt}}+{{1} \over {v_{i}}}\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} }.}$

(11)

다시, 가장자리 플럭스의 값은 셀 평균의 보간 또는 외삽에 의해 재구성될 수 있다. 실제 수치 체계는 문제 기하학과 그물망 구조에 따라 달라질 것이다. MUSCL 재구성은 종종 솔루션에 충격이나 불연속성이 존재하는 고해상도 체계에서 사용된다.

유한 부피 체계는 셀 평균이 가장자리 플럭스를 통해 변화함에 따라 보수적이다. 즉, 한 세포의 손실은 다른 세포의 이득이다!

참고 항목

• 유한요소법
• 플럭스 리미터
• 고두노프의 계책
• 고두노프의 정리
• 고해상도 계획
• KIVA(소프트웨어)
• MIT 일반 순환 모델
• MUSCL 방식
• 세르게이 K. 고두노프
• 총 변동 감소
• 비정형 유동 유한 부피법

추가 읽기

• Eymard, R. Gallouert, T. R, Herbin, R.(2000) 유한 체적 분석 핸드북, Vol. VII, 2000, 페이지 713–1020. 편집자: P.G. Ciarlet과 J.L. Lions.
• Hirsch, C. (1990), 내부 및 외부 흐름의 수치 연산, 제2권: Inviscid 및 Viscous Flows에 대한 연산 방법, Wiley.
• 캠브리지 대학 출판부의 Laney, Culbert B. (1998), Computing Gas Dynamics, Computing Gas Dynamics.
• LeVeque, Randall (1990), 수치 보존법, 수학 시리즈의 ETH 강의, Birkhauser-Verlag.
• LeVeque, Randall(2002년), Cambridge University Press의 유한 볼륨 메소드.
• 파탄카르, 수하스 V. (1980), 수치 열 전달 및 유체 흐름, 반구.
• Tannehill, John C, 등, (1997), Computing Fluid mechanics and Heat Transfer, 2번째 Ed, Taylor 및 Francis.
• Toro, E. F. (1999), Riemann Solvers와 Springer-Verlag 유체 역학을 위한 수치적 방법.
• Weseling, Pieter(2001), Springer-Verlag, Computing Fluid Dynamic Fluid Dynamics, Springer-Verlag.

참조

외부 링크

• R에 의한 유한 부피 방법 아이마드, T 갈루엣, R. 허빈, 2000년 수치해석 핸드북에 게재된 기사 업데이트
• Rübenkönig, Oliver. "The Finite Volume Method (FVM) – An introduction". Archived from the original on 2009-10-02. {{cite journal}}: Cite 저널은 GFDL에 따라 이용할 수 있는 (도움말 필요).
• FiPy: NIST의 Python을 사용하는 유한 볼륨 PDE 솔루션.
• CLOCPACK: 파장 전파 방식을 사용하여 쌍곡선 부분 미분 방정식에 대한 수치 솔루션을 계산하도록 설계된 소프트웨어 패키지