풍향계

계산 물리학에서 상승풍력 구조라는 용어는 일반적으로 쌍곡선 부분 미분 방정식을 풀기 위한 수학적 소산 방법의 한 종류를 말하며, 이 방법에서 소위 업스트림 변수를 사용하여 흐름장의 파생상품을 계산한다. 즉, 파생상품은 흐름의 방향과 관련하여 쿼리 포인트의 "상향"에 치우친 일련의 데이터 포인트를 사용하여 추정한다. 역사적으로 역풍 방법의 기원은 CIR 방법을 제안한 쿠란트, 아이작슨, 리스의 작품으로 거슬러 올라갈 수 있다.^[1]

모형 방정식

방법을 설명하려면 다음 1차원 선형 결합 방정식을 고려하십시오.

${\displaystyle {\frac {\fract u}{\propert t}+a{\fract u}{\properties x}=0}$

이는 속도 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$과(와) $x{\displaystyle }$축을$$ 따라 전파되는 파형을 설명한다$.$ 이 방정식은 또한 1차원 선형 결합을 위한 수학적 모델이다. 도메인의 일반적인$$ 그리드 포인트 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$을(를) 고려하십시오. 1차원 도메인에서, $지점{\displaystyle }$ i ${\displaystyle i}$ $$- 왼쪽(음의 무한대 아래) 및 오른쪽(양의 무한대 아래)과 관련된 방향은 두 가지뿐이다. ${\displaystyle a}$이(가$$) 양이면 위의 방정식의 이동파 솔루션이 오른쪽으로 전파되고, $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$의 왼쪽을 상승면이라고 하며$$, 오른쪽은 하강면이라고 한다. 마찬가지로 ${\displaystyle a}$이(가) 음이면 이동파 용액이 왼쪽으로 전파되며, 왼쪽을 역풍 측, 오른쪽을 역풍 측이라고 한다. 공간적 파생상품에 대한 유한 차이 체계인${\displaystyle \mathrm{}}$, ${\displaystyle u}$/ ${\displaystyle \partial \mathrm{}}$ x ${\displaystyle \partial u/\partial x}$이(가) 상승 측면에 더 많은 포인트를 포함하고$$ 있는 경우, 상승 편향 또는 단순 상승 편향이라고 한다.

1차 역풍 계획

가능한 가장 간단한 바람 계획은 1차 바람 계획이다. 그것은 에 의해^[2] 주어진다.

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\delta t}+a{\frac {u_{i-1}^{n}-u_{i-1}^{n}}}}}{\delta x}=0\text{{{{{{}}}}}}}}}quad}}}}}}}}}}}}}}}qad}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}data.$

(1)

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\delta t}a{prac {u_{i+1}^{n}^{n}}}}{\Delta x}=0쿼드 {\text{{{{}}}}}}}$

(2)

$여기$서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은 t ${\displaystyle t}$ 치수를$$ 나타내며 i ${\displaystyle$ $i$$}$은 x ${\displaystyle$ x$}$ 치수를$$ 가리킨다$$. (비교적으로, 이 시나리오의 중심 차이 계획은 다음과 같이 보일 것이다.

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\delta t}{n}+a{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}}{2\Delta x=0,}}$

${\displaystyle a}$의 기호와 상관없이.$$

콤팩트 폼

정의

${\displaystyle a^{+}={\text{max}}(a,0)\\qquad a^{-}={\text{min}}(a,0)}}}$

그리고

${\displaystyle u_{x}^{-}={\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}}{n}}}{\Delta x}}}}{n}}}}}}{\frac {u_{n+1}^{n}{n}{delta x}}}}}}}}$

두 조건 방정식 (1)과 (2)는 다음과 같이 콤팩트한 형태로 조합하여 쓸 수 있다.

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-\Delta t\왼쪽[a^{+}u_{x}^{-}+a^{-}u_{x}^{-}u_{x}^{x}^{-}^{x}}\rig]}}}}}$

(3)

방정식 (3)은 어떤 역풍형 계략을 쓰는 일반적인 방법이다.

안정성

다음의 쿠란트-프리드리히스-만일 상승 방식은 안정적이다.Lewy condition (CFL)은 만족한다.^[3]

${\displaystyle c=\왼쪽 {\frac {a\Delta t}{\Delta x}\오른쪽 \leq 1.}$

위에서 논의한 상승기류에 대한 테일러 시리즈 분석을 통해 시공간적으로 1차적으로 정확하다는 것을 알 수 있을 것이다. 수정된 와바넘버 분석은 1차 상승 풍향 구조가 예리한 구배를 나타내기 위해 높은 와바노머가 필요하기 때문에 큰 구배가 존재하는 용액에 심각한 수치 확산/분산을 도입한다는 것을 보여준다.

2차 역풍 계획

1차 상승 풍향계통의 공간 정확도는 2개 대신 3개의 데이터 포인트를 포함함으로써 개선할 수 있으며, 이는 공간 파생 모델의 근사치에 대해 보다 정확한 유한 차이 스텐실을 제공한다. 2차 순서의 상승풍향도에 대해서는 ${\displaystyle u_{}^{}}$ x${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\$ 등식 (3)의 3점 후진차가 되며 다음과$$ 같이 정의된다.

${\displaystyle u_{x}^{-}={\frac {3u_{i}^{n}-4u_{i-1}^{n}+u_{i-2}^{n}}{2\Delta x}}}}}}}}$

그리고 ${\displaystyle u_{}^{}}$ x${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\$은(는) 다음과 같이 정의된 3점 전방차이다.

${\displaystyle u_{x}^{+}={\frac {-u_{i+2}^{n}+4u_{i+1}^{n}-3u_{n}^{n}}}{2\Delta x}}}}}}}}}$

이 계획은 1차적인 정확한 방식에 비해 덜 확산되며 선형 역풍 차등화(LUD) 방식이라고 불린다.

참고 항목

• 유한차법
• 대류를 위한 바람의 차이점화 방식
• 고두노프의 계책

참조