플래그(선형 대수)

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수학에서 특히 선형대수학에서 국기는 유한차원 벡터 공간 V의 서브스페이스의 증가하는 시퀀스다.여기서 "증가"는 각각 다음 부분의 적절한 하위 공간임을 의미한다(여과 참조).

${\displaystyle \{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{k}=V.}$

국기라는 용어는 깃발을 닮은 특정한 예에 의해 동기가 부여된다: 0점, 선, 그리고 비행기는 못, 스태프, 직물 시트에 해당한다.^[1]

우리가 그 dimV_i = d를_i 쓰면 우리는

${\displaystyle 0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\cdots <d_{k}=n,}$

여기서 n은 V의 치수(한정하다고 가정함)이다.따라서 우리는 반드시 k n n을 가져야 한다. 기는 모든 i에_i 대해 d = i이면 완전한 깃발이라고 하고, 그렇지 않으면 부분 깃발이라고 한다.

부분 플래그는 전체 플래그에서 일부 서브스페이스를 삭제하여 얻을 수 있다.반대로 모든 부분 플래그는 적절한 서브스페이스를 삽입함으로써 (다양한 방법으로) 완성될 수 있다.

국기의 서명은 순서(d₁, ..., d_k)이다.

베이스

V에 대한 주문된 기준은 V₀ ⊂ V₁ ⊂ ... 플래그에 적용된다고 한다.⊂ V_k 만약_i 첫 번째 d basis 벡터가 각각의 0 ≤ i ≤ k에 대해 V의_i 기초를 형성한다면, 선형대수의 표준 원칙은 어떤 국기라도 적응된 기초를 가지고 있음을 보여줄 수 있다.

모든 주문된 기본값은 V를_i 첫 번째 i 기본 벡터의 범위가 되게 함으로써 완전한 플래그를 발생시킨다.예를 들어, R의ⁿ 표준 깃발은 표준 기준(e₁, ..., e_n)에서 유도된다. 여기서 e는_i ith 항목에서 1을 가진 벡터와 다른 곳에서 0을 나타낸다.구체적으로 표준 깃발은 서브 스페이스의 순서다.

${\displaystyle 0<\langle e_{1}\right\langle e_{1}, e_{2}\right\langle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots, e_{n}\right\rangle =K^{n}.}$

적응된 기본은 거의 고유하지 않다(반복은 사소한 것이다). 아래를 참조하십시오.

내부 제품 공간의 전체 플래그는 기본적으로 고유한 직교 기준을 가지고 있다. 각 벡터에 단위(예: 1, -1, i 단위 길이의 스칼라)를 곱하는 데까지 고유하다.그러한 기초는 그램-슈미트 공정을 사용하여 구성할 수 있다.v ${\displaystyle i_{}}$ ${\$이(가) ${\displaystyle {}_{}}$ 공간 ${\displaystyle {\mathrm{V}}_{}^{}}$ i ${\displaystyle {-}_{}^{}}$ 1${\displaystyle {}_{}^{}}$ V$$i {\$displaystyle V_{i-1$}^{\$perp$}\$cap V_$i$}}$에 있다는$$ 점에 주목하여 단위까지의 고유성이 귀납적으로 뒤따른다.

좀 더 추상적으로 말하면, 기는 보렐 그룹에 해당하고, 내부 제품은 최대 콤팩트 서브그룹에 해당한다.^[2]

스태빌라이저

표준 깃발의 스태빌라이저 부분군은 반전성 상부 삼각 행렬의 그룹이다.

보다 일반적으로 플래그의 스태빌라이저 와 V의선형 연산자 < V i {\$displaystyle$ T($V_{i})>.$모든 i에 대한 $V_{i}}$는 매트릭스 용어로 블록 상위 삼각 행렬의 대수(적응된 기준과 관련)이며, 여기서 ${\displaystyle {블록}_{}}$ 크기는 d${\displaystyle {}_{}}$i${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle {\mathrm{d}}_{}}$ - 1 ${\$d_{$i-1$}이다$.$전체 플래그의 스태빌라이저 하위 그룹은 플래그에 적응한 모든 기준에 대해 회전 불가능한 상위 삼각형 행렬의 집합이다.그러한 기준에 관한 하위 삼각형 행렬의 하위 그룹은 그 기준에 따라 달라지므로 국기 측면에서만 특성화할 수 없다.

전체 깃발의 스태빌라이저 부분군은 (일반 선형 그룹의) 보렐 부분군이며, 부분 깃발의 스태빌라이저는 포물선 부분군이다.

국기의 스태빌라이저 부분군은 국기의 적응된 베이스에 단순히 트랜스액션적으로 작용하며, 따라서 스태빌라이저가 사소한 경우가 아니라면 이러한 것들은 고유하지 않다.그것은 매우 예외적인 상황이다: 치수 0의 벡터 공간에서만 발생하거나 치수 $1$의 F ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$}을 통한 벡터 공간에서만 발생한다(정확히 어떤 깃발과 독립적으로 하나의 기준만 존재하는 경우).

서브스페이스 네스트

무한 차원 공간 V에서, 기능 분석에 사용된 것처럼, 깃발 아이디어는 아공간 내포, 즉 임의의 교차점과 닫힌 선형 스팬에서 더 이상 닫히는 V의 서브스페이스 모음으로 일반화된다.둥지 대수학을 참조하십시오.

세트이론적 아날로그

하나의 원소를 가진 필드의 관점에서, 집합은 하나의 원소를 가진 필드 위의 벡터 공간으로 볼 수 있다: 이것은 콕시터 그룹과 대수 그룹 사이의 다양한 유사성을 공식화한다.

이 통신에서 집합의 주문은 최대 플래그에 해당하며, 순서는 집합의 최대 여과와 동일하다.예를 들어 여과(플랙) {${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \subset }$ { 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 11\}}$ { 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$, 2${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{0\}\{0,1\}\subset \{0,$${\displaystyle 1}$\}\{0$,$$2$}\subset \{$0,1$ 순서에 해당한다$.$

참고 항목

• 여과(수학)
• 깃발 다지관
• 그라스만어
• 마트로이드

참조

• Shafarevich, I. R.; A. O. Remizov (2012). Linear Algebra and Geometry. Springer. ISBN 978-3-642-30993-9.