푸리에 진폭 민감도 테스트

푸리에 진폭 민감도 테스트(FAST)는 분산 기반 글로벌 민감도 분석 방법이다.민감도 값은 출력에 대한 불확실한 입력의 개별적 또는 공동 효과를 나타내는 조건부 분산을 기반으로 정의된다.

FAST는 먼저 출력 함수의 다중 푸리에 시리즈 확장에 따른 계수를 통한 조건부 분산을 나타낸다.그런 다음 에르고딕 정리를 적용하여 푸리에 계수의 평가에서 다차원 적분을 1차원 적분으로 변환한다.변환을 수행하기 위해서는 일련의 불순수 주파수가 필요하며 대부분의 주파수는 비합리적이다.계산을 용이하게 하기 위해 비합리적인 주파수 대신 정수 주파수 세트를 선택한다.정수 주파수는 엄격히 불규칙하지 않아 다차원 적분과 변환된 1차원 적분 사이에 오차가 발생한다.그러나 정수의 주파수는 이론상 어떤 정밀도 요건을 충족시키는 오차를 제어할 수 있도록 임의의 순서에 부합하지 않도록 선택할 수 있다.적분 변환에서 정수 주파수를 사용하면 1차원 적분에서의 결과 함수는 주기적이며 적분 함수는 단일 기간에만 평가하면 된다.다음으로, 나이키스트-샤논 샘플링 정리가 만족되면 유한 샘플링 포인트 집합에서 연속 적분 함수를 복구할 수 있으므로 생성된 샘플링 포인트에서 함수 값의 합계를 통해 1차원 적분을 평가한다.

FAST는 몬테카를로 통합을 통해 다른 분산 기반의 글로벌 민감도 분석 방법보다 민감도를 계산하는 것이 효율적이다.그러나 FAST에 의한 계산은 대개 "주효과" 또는 "총효과"를 언급하는 민감도로 제한된다.

역사

FAST 방법은 1973년^[1][2] 결합된 화학 반응 시스템의 연구에서 시작되었으며, 1975년 후반에 연산 오류에 대한 상세한 분석이 제시되었다.^[3]"주효과"를 참조하는 1차 순서의 민감도 지수만 원래 방법으로 계산했다.대수 방정식 시스템이나 미분 방정식 시스템을 분석할 수 있는 FORTRAN 컴퓨터 프로그램이 1982년에 출판되었다.^[4]1990년대에는 몬테카를로 시뮬레이션에서 계산한 FAST 민감도 지수와 소볼의 민감도 지수의 관계가 ANOVA 유사 분해의 일반적인 틀에서 밝혀졌으며, '전체 효과'를 참고하여 민감도 지수를 계산할 수 있는 확장 FAST 방법이 개발되었다.^[6]

파운데이션

분산 기반 민감도

분산 기반 방법의 민감도 지수는 분석을 위한 함수의 분산 분석 유사 분해를 통해 계산된다.Suppose the function is ${\displaystyle Y=f\left(\mathbf {X} \right)=f\left(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right)}$ where ${\displaystyle 0\leq X_{j}\leq 1,j=1,\dots ,n}$. The ANOVA-like decomposition is

${\displaystyle f\left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)=f_{0}+\sum _{j=1}^{n}f_{j}\left(X_{j}\right)+\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{k=j+1}^{n}f_{jk}\left(X_{j},X_{k}\right)+\cdots +f_{12\dots n}}$

$f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$이 상수이고$$ 합계에 포함된 각 용어의 적분은 0인 경우, 즉,

${\displaystyle \int _{0}^{1}f_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}\left(X_{j_{1}},X_{j_{2}},\dots ,X_{j_{r}}\right)dX_{j_{k}}=0,{\text{ }}1\leq k\leq r.}$

$f{\displaystyle }$( ${\displaystyle X\mathbf{}}$) ${\$의 총 분산에 대한 각 항의 기여도를 나타내는 조건부 분산은$$

${\displaystyle V_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}^{2}\left(X_{j_{1}},X_{j_{2}},\dots ,X_{j_{r}}\right)dX_{j_{1}}dX_{j_{2}}\dots dX_{j_{r}}.}$

총 분산은 모든 조건부 분산의 합이다.

${\displaystyle V=\sum _{j=1}^{n}V_{j}+\sum _{j=1}^{j=1}^{n1}\sum _{k=j+1}^{n}}{V_{jk}+\cdots +V_{12\dots n}.}$

민감도 지수는 다음과 같이 정규화된 조건부 분산으로 정의된다.

${\displaystyle S_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}={\frac {V_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}{V}}}}}}}}$

특히 첫 번째 순서의 민감도는

${\displaystyle S_{j}={\frac {V_{j}}{V}}}$

이는 $입력{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ j ${\$의 주효과를 나타낸다$.$

다중 푸리에 시리즈

분산 분석과 같은 분해능을 계산하는 한 가지 방법은 여러 푸리에 시리즈를 기반으로 한다.장치 ${\displaystyle 하이퍼\mathbf{}}$ 큐브의 함수$$ $f{\displaystyle }$( X${\displaystyle }$) ${\$를 곱한 주기 함수로 확장할 수 있으며 다중 푸리에 시리즈 확장은

${\displaystyle f\left(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right)=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{m_{n}=-\infty }^{\infty }C_{m_{1}m_{2}...m_{n}}\exp [}\bigl [}2\pi i\left(m_{1}X_{1}X_{1}+{1}m_{2}+{2}+\cdots +m_{n}X_{n}\right){\bigr ]}{{}}}}, 정수:{{m_{1},m_{n}},dots, .m_{n}}}}}}}}}}}, {n}$

푸리에 계수가 있는 곳

${\displaystyle C_{m_{1}m_{2}...m_{n}}=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\left(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right)\exp {\bigl [}-2\pi i\left(m_{1}X_{1}+m_{2}X_{2}+\dots +m_{n}X_{n}\right){\bigr ]}.}$

분산 분석과 같은 분해는

${\displaystyle{\begin{정렬}f_{0}&.=C_{00\dots 0}\\f_{j}&, =\sum _{m_{j}\neq 0}일 경우 C_{0\dots m_{j}\dots 0}일 경우\exp{\bigl[}2\pi im_{j}X_{j}{\bigr]}\\f_{jk}&, =\sum _{m_{j}\neq 0}일 경우 \sum _{m_{k}\neq 0}일 경우 C_{0\dots m_{j}\dots m_{k}\dots 0}일 경우\exp{\bigl[}2\pi i\left(m_{j}X_{j}+m_{k}X_{k}\right){\bigr]}\\f_{12\dots n}&, =\sum _{m_{1}\neq 0}일 경우 \sum _{m_{2}\neq 0}일 경우 \cdots \s.um _{m_{n}\neq 0}C_{1}m_{1}m_{2}}\dots m_{n}}\exp[}2\pi i\left(m_{1}X_{1}X_{1}+M_{2}+}++{n}CDots +{n_{n}X_{n}\rig}\rig}. ]{bigr}.\end{정렬}}}$

첫 번째 순서 조건부 분산은

${\displaystyle {\reasoned}V_{j}&=\int _{0}^{1}f_{j}^{2}\left(X_{j}\right)dX_{j}\\&=\sum _{m_{j}\neq 0}\left C_{0\dots m_{j}\dots 0}\right ^{2}\\&=2\sum _{m_{j}=1}^{\infty }\left(A_{m_{j}}^{2}+B_{m_{j}}^{2}\right)\end{aligned}}}$

여기서 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {m{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {j_{}}_{}}$ ${\$과(${\displaystyle {와{}_{}}_{}}$) B m$$ {\$displaystyle B_{m_{$${\displaystyle {\mathrm{j}}_{}}$}}}은(는${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle {각각\mathrm{}}_{}}$ C 0 ${\displaystyle {\dots {}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {j_{}}_{}}$ …$$0 $displaystyle C_{0\dots m_{j}}\dots 0}}$의 실물과 상상의 부분이다$$.

${\displaystyle A_{m_{j}}=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\left(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right)\cos \left(2\pi m_{j}X_{j}\right)dX_{1}dX_{2}\dots dX_{n}}$

${\displaystyle B_{m_{j}}=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\left(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right)\sin \left(2\pi m_{j}X_{j}\right)dX_{1}dX_{2}\dots dX_{n}}$

에르고딕 정리

푸리에 계수를 계산하려면 다차원 적분을 평가해야 한다.이 다차원 적분을 평가하는 한 가지 방법은 다음과 같이 모든 입력을 새로운 독립 변수 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s$의 함수로 표현함으로써 1차원 적분으로 변환하는 것이다.

${\displaystyle X_{j}\왼쪽(s\오른쪽)={\frac {1}{2\pi }}\left(\omega _{j}s{\text{}{{{}text{}pi \right),j=1,2,\dots,n}$

여기서 {${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$은(는) 불순수 주파수 집합이다$$.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\filename _{j}\omega _{j}=0}$

${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$$displaystyle \left\{\$$displaystyle \put_$${$j}=$0}$의 정수 집합인 경우에만 해당$.$그러면 푸리에 계수는 에르고딕 정리에 따라 1차원 적분으로 계산할 수 있다.

${\displaystyle A_{m_{j}}=\lim _{T\to \inflt }{\frac {1}{2}T}}\int _{-T}^{T}f{\bigl (}X_{1}\left(s\right),X_{2}\left(s\right),\dots ,X_{n}\left(s\right){\bigr )}\cos {\bigl (}2\pi m_{j}X_{j}\left(s\right){\bigr )}ds}$

${\displaystyle B_{m_{j}}=\lim _{T\to \inflt }{\frac {1}{2}T}}\int _{-T}^{T}f{\bigl (}X_{1}\left(s\right),X_{2}\left(s\right),\dots ,X_{n}\left(s\right){\bigr )}\sin {\bigl (}2\pi m_{j}X_{j}\left(s\right){\bigr )}ds}$

실행

정수 주파수

대부분의 비협조 주파수${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$} ${\$right$\}}$은(는) 다른 모든 주파수가 비이성적이므로 합리적일 수 있다$$.비합리적인 숫자의 수치는 컴퓨터에 정확히 저장될 수 없기 때문에, 구현 시 모든 합리적인 숫자에 의한 불규칙한 주파수의 근사치가 필요하다.일반성의 손실 없이 주파수는 합리적인 숫자 대신 정수로 설정할 수 있다.정수${\displaystyle }$집합 { ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle \left\{\omega_{j}\right\}}$은(는) $M$ ${\displaystyle M}$의 순서와 거의 일치하지 않는다$$.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\filename _{j}\omega _{j}\neq 0}$

을 위해

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\왼쪽 \gamma _{j}\오른쪽 \leq M+1}$

$여기$서 M ${\displaystyle M}$은(는) 정수다$$.정확한 불협화음 상태는 $M{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle M\to \inflt$}일 때 극단적인 경우다$.$

정수 주파수를 ${\displaystyle \mathrm{사용}}$하면 변환된 1차원 적분에서 함수가 주기적이므로 $2{\displaystyle \mathrm{}}$㎛ ${\displaystyle 2\pi }$의 기간 동안만 통합하면 된다$$.푸리에 계수는 대략 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}A_{m_{j}}&\approx {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f{\bigl (}X_{1}\left(s\right),X_{2}\left(s\right),\dots ,X_{n}\left(s\right){\bigr )}\cos \left(m_{j}\omega _{j}s\right)ds:={\hat{A}_{m_{j}\\B_{m_{j}}&\approx {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f{\bigl (}X_{1}\left(s\right),X_{2}\left(s\right),\dots ,X_{n}\left(s\right){\bigr )}\sin \left(m_{j}\omega _{j}s\right)ds:={\hat{B}_{m_{j}}\end{aigned}}}$

The approximation of the incommensurate frequencies for a finite ${\displaystyle M}$ results in a discrepancy error between the true Fourier coefficients ${\displaystyle A_{m_{j}}}$, ${\displaystyle B_{m_{j}}}$ and their estimates ${\displaystyle {\hat {A}}_{m_{j}}}$, ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {\stackrel{}{B}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}m}_{{}_{}}}$ ${\displaystyle {j_{}}_{}}$ ${\$$주문{\displaystyle }$ M$${\$displaystyle M}$이(가) 클수록 오차는 작지만 다음 절차에서 추정치를 계산하는 데 더 많은 계산 노력이 필요하다.실제로 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) 자주 4로 설정되며 최대 50개의 주파수를 가진 결과 주파수 집합 테이블을 사용할 수 있다(McRae 등, 1982년).

검색곡선

$변환{\displaystyle {}_{}}$ X ${\displaystyle j_{}s}$) = ${\displaystyle \frac{1\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$ j ${\displaystyle mod\mathrm{}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle )}$ )$${\$displaystyle X_{j}\left(s\right)={\frac {1}{2\pi }}}\left(\omega _{j}$s{j$}text{2}}\pi \rig$는 입력 공간에 검색 곡선을 정의한다.주파수 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$, j${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega _{j},j=1,\dots ,n}$이$($가) 불통인 경우, s ${\displaystyle s}$이(가) 0 ~ $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \inft}$에 따라$$ 입력 공간의 모든 지점을 검색 곡선이 통과할 수 있으므로$$ 입력 공간에 대한 다차원 적분할 수 있다.검색 곡선을 따라 1차원 적분그러나 주파수가 근사적으로 불분명한 정수인 경우, 검색 곡선은 입력 공간의 모든 지점을 통과할 수 없다.변환함수가 $주기적$이라 사실수색이 반복되면 2$㎛(\displaystyle 2\pi$ $\}).$ 1차원 적분은 불순수 주파수에 대한 무한구간 대신 단일 ${\displaystyle \mathrm{기간}}$에 걸쳐 평가될 수 있으나, 비순수성의 근사치로 연산오차가 발생한다.

• 검색곡선
• 

  Ω₁=Ω 및 Ω₂=7의 경우 검색 곡선.주파수가 맞지 않기 때문에 검색 곡선이 반복되지 않고 사각형의 모든 지점을 통과할 수 있다.

• 

  Ω₁=3 및 Ω₂=7의 경우 검색 곡선.주파수는 대략 불문율인 정수이기 때문에 검색 곡선이 반복되며 사각형의 모든 지점을 통과할 수 없다.

• 

  Ω₁=11 및 Ω₂=7의 경우 검색 곡선.주파수는 대략 불문율인 정수이기 때문에 검색 곡선이 반복되며 사각형의 모든 지점을 통과할 수 없다.

샘플링

근사치 푸리에(Fourier)는 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\displaystyle {\hat {A}}_{m_{j}}={\begin{cases}0&m_{j}{\text{ odd}}\\{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}f{\bigl (}\mathbf {X} (s){\bigr )}\cos \left(m_{j}\omega _{j}s\right)ds&m_{j}{\text{ even}}\end{cases}}}$

그리고

${\displaystyle {\hat {B}}_{m_{j}}={\begin{cases}{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}f{\bigl (}\mathbf {X} (s){\bigr )}\sin \left(m_{j}\omega _{j}s\right)ds&m_{j}{\text{ odd}}\\0&m_{j}{\text{ even}}\end{cases}}}$

0이 아닌 통합은 표본 추출 지점에서 계산할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\hat{A}}_{m_{j}}&={\frac{1}{2q+1}}\sum _{k=-q}^{q}f{\bigl(}\mathbf{X}(s_{k}){\bigr)}\cos \left(m_{j}\omega_{j}s_{k}\right),m_{j}{\text{심지어}}\\{\hat{B}}_{m_{j}}&={\frac{1}{2q+1}}\sum _{k=-q}^{q}f{\bigl(}\mathbf{X}(s_{k}){\bigr)}\sin \left(m_{j}\omega_{j}s_{k}\right),m_{j}{\text{이상한}}\end{alig.ned}}}$

여기서${\displaystyle }$[ -${\displaystyle \pi }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$,${\displaystyle \pi \mathrm{}}$/ ]${\displaystyle }$/$$2 ]의 균일한 샘플링 지점은 \$deplaystyle$\left$[-\pi /2,\pi /2\right]$이다.

${\displaystyle s_{k}={\frac {\pi k}{2q+1}:{2q+1}, k=-q,\cHB,-1,\cHB,q.}$

총 샘플링 포인트 수는 ${\displaystyle \mathrm{2q}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2q+1}$이며, Nyquist 샘플링 기준을 충족해야 한다.

${\displaystyle 2q+1\geq N\omega _{max}+1}$

여기서 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$는${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$\{\$eput\{\omega_{k}\right\}}}}$에서 가장 큰 주파수이고 $N$ ${\displaysty N$}은$$ 계산된 푸리에 계수의 최대 순서다.

부분합

추정된 푸리에 계수를 계산한 후, 첫 번째 순서 조건부 분산을 다음과 같이 근사하게 추정할 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}V_{j}&=2\sum _{m_{j}=1}^{{m_}^{{j}}}\왼쪽(A_{{m_}}^{2}+B_{j}^{j}}}\오른쪽)\&\약 2\sum _{m_{j}=1}^{\infit }\{\hat{A}_{m_{j}^{2}+{\hat{B}_{j}^{{j}}}\right)\&\약 2\sum _{m_{j}=1}^{2}\좌측({\hat {A}_{m_{j}}^{2}+{\hat {B}_{j}}^{j}}}\우측)\\&=2\left({\hat {A}_{m_{j}=2}^{2}+{B}+{\hat {B}_{m_{j}=1}^{2}\오른쪽)\ended{aigned}}}}}}}}$

여기서 처음 두 항의 부분 합계만 계산되고 샘플링 포인트 수를 결정하기 위해$$ $N{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle N=2$}이$($가) 계산된다.기본 빈도와 낮은 순서 빈도에 해당하는 용어가 일반적으로 총합에 가장 큰 기여를 하기 때문에 부분 합을 사용하면 총합에 대한 적절한 근사치를 반환할 수 있다.또한 합계의 푸리에 계수는 참 값의 추정치에 불과하며 더 많은 고차 항을 추가하는 것은 계산 정확도를 크게 향상시키는 데 도움이 되지 않을 것이다.정수 주파수가 정확히 일치하지 않기 때문에, $m$ ${\displaystyle {\Omega }_{}}$j = ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ k ${\displaystyle {}_{}}$${\$$displaystyle m_{k}\$i1}$오메가 _{j}=m_{k}\omega _{k$}}} 더$$ 높은 순서의 용어인 경우 두 주파수 $사이$에 간섭이$$ 발생할 수 있다.요약해서 말하면

마찬가지로 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle X\mathbf{}}$) ${\$의 총 분산을 다음과 같이 계산할 수 있다$$.

${\displaystyle V\약 {\a}_{0}\좌측[f^{2}\우측]-{\hat {A}_{0}\좌측[f\우측]^{2}}$

where ${\displaystyle {\hat {A}}_{0}\left[f^{2}\right]}$ denotes the estimated Fourier coefficient of the function of ${\displaystyle f^{2}}$ inside the bracket and ${\displaystyle {\hat {A}}_{0}\left[f\right]^{2}}$ is the squared Fourier coefficient of the functi$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f$ 마지막으로 입력의 주효과를 나타내는 민감도는 조건부 분산을 총 분산으로 나누어 계산할 수 있다.

참조