분산 기반 민감도 분석

분산 기반 감도 분석(종종 Ilia M의 이름을 따서 Sobol 방식 또는 Sobol 인덱스라고 함) Sobol)은 글로벌 감도 ^[1][2]분석의 한 형태입니다.확률론적 프레임워크 내에서 작동하면서, 모델 또는 시스템의 출력 분산을 입력 또는 입력 집합에 기인할 수 있는 분수로 분해한다.예를 들어, 입력이 2개이고 출력이 1개인 모형에서 출력 분산의 70%는 첫 번째 입력의 분산에 의해, 20%는 두 번째 입력의 분산에 의해, 10%는 두 개의 상호작용에 의해 발생한다는 것을 알 수 있습니다.이 백분율은 민감도의 척도로 직접 해석됩니다.분산 기반 민감도 측정은 전체 입력 공간에 걸쳐 민감도를 측정하고(즉, 전역적 방법), 비선형 반응을 처리할 수 있으며 비첨가적 ^[3]시스템에서 상호작용의 영향을 측정할 수 있기 때문에 매력적이다.

분산 분해

블랙박스의 관점에서 어떤 모델도 함수 Y=f(X)로 볼 수 있다. 여기서 X는 d개의 불확실한 모델 입력 {X₁, X₂, ... X_d}의 벡터이고 Y는 선택된 일변량 모델 출력이다(이 접근방식은 스칼라 모델 출력을 검사하지만 다중 독립 감도 분석을 통해 다중 출력을 분석할 수 있다).또한 입력은 유닛 하이퍼큐브 내에서 독립적으로 균일하게 분포한다고 가정합니다.$즉{\displaystyle {}_{}}$, i ${\displaystyle =1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle .,}$ ${\displaystyle d}${\$displaystyle$ i$= 1$, 2, $...d$의 ${\displaystyle {경우}_{}}$ X ${\displaystyle \in }$ [${\displaystyle 0}$ , $]$ \$in$ [$0$ , 1$$] \ displaystyle $X_{i$} \ in [ 0 , 1 ] \ in$$ [ 0 , 1 } . d } . displaystyl 。 이 입력공간으로 변환될 수 없기 때문입니다.f(X)는 다음과 같은 방법으로 ^[4]분해될 수 있다.

${{displaystyle Y=f_{0}+\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{i}^{d}f_{ij}(X_{j})+\cdots +f_{1,2,\cdots}(X_{i})_{i}+{i},{i},{i},{i}.$

여기서₀ f는 상수, f는_i X의 함수_i, f는_ij X와_j X의 함수_i 등이다.이 분해의 조건은

$\displaystyle \int _{0}^{1}f_{i_{2}\display i_{s}},X_{i_{2},\dots,X_{i_{s})dX_{k}=0,{\text{1},{s},{i}},{s}}},{i_}}},{s}}}},{i_}}}}}}}}},{f_{f_{i_{i_{i_{i_{i_{i_}}}}}}}}}}$

즉, 기능 분해의 모든 항은 직교입니다.이는 조건부 기대치의 관점에서 기능 분해의 용어의 정의로 이어진다.

${\displaystyle f_{0}=E(Y)}$

$\displaystyle f_{i}(X_{i})=E(Y X_{i})-f_{0}$

${\displaystyle f_{i}(X_{i},X_{j})=E(Y X_{i},X_{j})-f_{0}-f_{i}-f_{j}$

여기서 f는 X만의 변화_i 효과(X의_i 주효과로 알려져 있음)이며_ij, f는 X와_j X를 동시에 변화시키는_i 효과(개별 변화의 효과)라는 것을_i 알 수 있다.이를 2차 상호작용이라고 합니다.고차 항에는 유사한 정의가 있습니다.

f(X)가 제곱적분가능하다고 가정하면 함수분해를 제곱하여 적분할 수 있다.

$\displaystyle \int f^{2}(\mathbf {X})d\mathbf {X} -f_{0}^{2}=\sum _{s=1}^{d}\sum _{i_{1}\int f_{i_{1}\int f_{i_{1}\mathbf{{{s}{{s}{{{{{s}}}}_1}{x}}{x}{x}_i}{x}{x}{x}{x}{x}{x}{x}{x}}_i$

왼쪽은 Y의 분산과 같고 오른쪽의 항은 X 집합에 대해_i 분해된 분산 항입니다.이것은 마침내 분산식의 분해로 이어진다.

${\displaystyle \operatorname {Var}(Y)=\sum _{i=1}^{d}V_{i}+\sum _{ij}+\cdots + V_{12\dots d}$

어디에

${\displaystyle {}_{}{V}_{}}$ i $=$ ${\displaystyle {Var{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {X_{}}_{}}$ i (${\displaystyle E{}_{}}$ ${\displaystyle {X_{}}_{}}$~ i${\displaystyle {{}_{}}_{}}$( Y$$ ${\displaystyle i_{}}$)${\displaystyle {}_{}}${ $display style$ V_${i$}=\$operatorname {Var} _ {X_{i}}\left (E_{\textbf {X}}_{\sim$ i$}}$_{\sim i}($Y\mid X_i$$right})$ ,

${\displaystyle V_{ij}=\operatorname {Var}_{X_{ij}}\left(E_{\textbf {X}}_{\sim ij}}\left(Y\mid X_{i},X_{j}\오른쪽)-\operatorname {V}_{i}_{i}$

기타 등등.X_~i 표기법은 X를 제외한_i 모든 변수의 집합을 나타냅니다.위의 분산 분해는 모형 출력의 분산을 각 입력에 귀속되는 항으로 분해하는 방법과 이들 사이의 상호작용 효과를 보여줍니다.모든 항을 합하면 모형 출력의 총 분산이 됩니다.

일차 지수

"1차_i 민감도 지수" 또는 "주효과 지수"라고 불리는 민감도 S의 직접 분산 기반 측정은 ^[4]다음과 같이 명시된다.

${\displaystyle S_{i}=vfrac {V_{i}}{\operatorname {Var}(Y)}}}$

이는 X의_i 주효과의 출력 분산에 기여하기 때문에 X의 변동_i 효과만 측정하지만 다른 입력 파라미터의 변동에 대해 평균을 산출합니다.이는 부분적인 기여도를 제공하기 위해 총차이에 의해 표준화된다.분산 분해의 다른 항을 Var(Y)로 나누어 고차 교호작용 지수_ij S, S_ijk 등을 형성할 수 있다.이것은 다음과 같은 의미를 내포하고 있습니다.

$\displaystyle \sum _{i=1}^{d}+\sum _{i<j}^{d}S_{ij}+\cdots +S_{12\dots d}=1}$

총효과지수

위에 제시된_i S, S_ij 및 고차 지수를 사용하여 출력 분산을 결정할 때 각 변수의 중요도를 파악할 수 있습니다.그러나 변수의 수가 많을 경우 2-1^d 지수를 평가해야 하며, 이는 계산적으로 너무 까다로울 수 있다.이러한 이유로 "총 효과 지수" 또는 "총 순서 지수"로_Ti 알려진 측정값 S가 사용됩니다.^[5]이 값은 X의 교호작용으로 인한 모든 분산을 포함하여 다른 입력 변수와 함께 X의 출력_i 분산에 대한 기여도를 측정합니다.다음과 같이 기재되어 있다.

$({displaystyle S_{Ti}=parfrac {E_{\textbf {X}_{\sim i}}\left(\operatorname {Var})_{X_{i}}(Y\mid \mathbf {X}_{X}_{\simi}\right}){\operatorname {Var}-1})$

S와_i 달리

$\displaystyle \sum _{i=1}^{d}S_{Ti}\geq 1}$

예를 들어_i X와_j X 사이의 상호작용 효과가 S와 S_Tj 둘_Ti 다에서 계산된다는 사실 때문이다.실제로 모형이 순수하게 가법적일 때만 S의 합이_Ti 1이 됩니다.

지수의 산출

해석적으로 다루기 쉬운 함수의 경우 위의 지수는 분해의 적분을 평가하여 해석적으로 계산할 수 있다.그러나, 대부분의 경우, 그것들은 추정됩니다 – 이것은 보통 몬테카를로 방법에 의해 이루어집니다.

샘플링 시퀀스

몬테카를로 접근법은 단위 하이퍼큐브 내에서 무작위로 분포된 점의 시퀀스를 생성하는 것을 포함한다(엄밀히 말하면 이것들은 의사 난수일 것이다).실제로 추정기의 효율성을 개선하기 위해 랜덤 시퀀스를 낮은 불일치 시퀀스로 대체하는 것이 일반적입니다.이를 준 몬테 카를로 방법이라고 한다.감도 분석에서 일반적으로 사용되는 저불확실성 시퀀스에는 Sobol 시퀀스 및 라틴 하이퍼큐브 설계가 있습니다.

절차.

(준) 몬테카를로 방법을 사용하여 지수를 계산하려면 다음 단계를 사용한다.^[1][2]

1. N×2d 샘플 매트릭스를 생성합니다. 즉, 각 행은 2d 차원의 하이퍼스페이스에서 샘플 포인트가 됩니다.이 작업은 입력 변수의 확률 분포와 관련하여 수행되어야 합니다.
2. 행렬의 첫 번째 d개 열은 행렬 A로 사용하고 나머지 d개 열은 행렬 B로 사용합니다.이를 통해 d차원 단위 하이퍼큐브에서 N점의 두 개의 독립적인 샘플을 효과적으로 얻을 수 있습니다.
3. i = 1,2,…,d일 때 A의_Bⁱ ih 열이 B의 ih 열과 같고 나머지 열은 A의 N×d 행렬_Bⁱ A를 더 구축한다.
4. A, B 및 d A_Bⁱ 행렬은 모두 입력 공간에 N(d+2)개의 점(행마다 하나씩)을 지정합니다.A, B 및 A_Bⁱ 행렬의 각 설계점에서 모형을 실행하여 해당하는 f(A), f(B) 및 f(A_Bⁱ) 값인 총 N(d+2) 모델 평가를 제공합니다.
5. 아래 추정기를 사용하여 민감도 지수를 계산합니다.

추정기의 정확도는 당연히 N에 따라 달라집니다.N 값은 추정된 값이 허용 가능한 수렴에 도달할 때까지 순차적으로 점을 추가하고 지수를 계산하여 선택할 수 있습니다.따라서 불일치가 낮은 시퀀스를 사용할 때는 포인트(예: Sobol 시퀀스)를 순차적으로 추가할 수 있는 것을 사용하는 것이 포인트(예: 라틴 하이퍼큐브 시퀀스)를 사용하지 않는 것에 비해 유리할 수 있습니다.

견적자

두 지수 모두에 사용할 수 있는 여러 가지 가능한 몬테카를로 추정기가 있다.현재 일반적으로 사용되고 있는 ^[1][6]2개는

${\displaystyle \operatorname {Var}_{X_{i}(E_{\mathbf {X}_{\sim i}(Y X_{i})\약 {\frac {1}{N}\sum _{J=1}{N}{f}\left(\mathbf {B}\f})_{f}(왼쪽)}}$

그리고.

$\displaystyle E_{\mathbf {X}_{\sim i}\left(\operatorname {Var}_{X_{i}}\left(Y\mid \mathbf {X}_{\sim i}\right)\약 {\frac {1}{2}\right)N}}\sum _{j=1}^{N}\left(f\left(\mathbf {A}\right)_{j}-f\left(\mathbf {A}_{B}^i}\right)_{j}\right}}$

각각 S와_i S의_Ti 추정을 위해.

계산비용

모든 입력 변수에 대한 S_i 및 S를_Ti 추정하려면 N(d+2) 모형 런이 필요합니다.N은 종종 수백 또는 수천 번의 실행이 이루어지기 때문에 모델이 한 번의 실행에 상당한 시간이 소요될 경우 계산 비용이 빠르게 문제가 될 수 있습니다.이러한 경우, 에뮬레이터, HDMR 및 FAST와 같이 민감도 지수 추정의 계산 비용을 줄이는 데 사용할 수 있는 많은 기법이 있다.

「 」를 참조해 주세요.

• 감도 분석
• 몬테카를로법
• 준몬테 카를로법
• 소볼 수열

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