자유경계문제

수학에서 자유경계문제(FB문제)는 미지의 함수 $u{\displaystyle }${\$displaystyle u}$과(와) 미지의 $Ω$ {\displaystyle $\Oomega$$$}에 대해 모두 해결할 부분 미분방정식이다. $\Omega$의 경계에 대한$$ 세그먼트 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystystyle \Obe$$}.$문제는 자유 경계선이다.

FB는 물리적 현상에서 경제적, 재정적, 생물학적 현상에 이르는 응용 분야를 포괄하는 다양한 수학적 모델에서 발생하며, 여기서 매체의 추가적인 효과가 있다.이 효과는 일반적으로 매체의 질적 변화로, 따라서 위상 전환의 출현으로 얼음에서 물, 액체에서 결정으로, 구매에서 판매로(자산), 능동에서 비활성(생물학), 청색에서 적색까지(컬러링 게임), 체계화되지 않은(자체 조직화된 중요성)이다.그러한 중요성의 흥미로운 측면은 소위 모래밭 다이나믹(또는 내부 DLA)이다.

가장 고전적인 예는 얼음이 녹는 것이다: 얼음 덩어리를 주어진다면, 적절한 초기 조건과 경계 조건을 주어진 열 방정식을 풀어서 온도를 결정할 수 있다.그러나 어느 지역에서든 온도가 얼음의 녹는점보다 크다면, 이 영역은 대신 액체 상태의 물이 차지하게 될 것이다.얼음/액체 인터페이스에서 형성된 경계는 PDE의 용액에 의해 동적으로 제어된다.

2상 스테판 문제

얼음의 용해는 온도장 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$에 대한 스테판 문제로서$,$ 다음과 같이 공식화된다.;T<>현재의 0{\displaystyle T>0}과 2단계;0{\displaystyle T<0}다. 그 두 단계 1{\displaystyle \alpha_{1}α 열 diffusivities다}과 2α자 중간 때 T>현재의는 두 단계 1단계로 구성된{\displaystyle \Omega} 지역 Ω을 차지하고를 생각해 보자. {\displayst$yle \alpha _{2$ 예를 들어 물의 열 확산도는 1.4×10m⁻⁷²/s인 반면 얼음의 확산도는 1.335×10m⁻⁶²/s이다.

단 하나의 위상으로만 구성된 지역에서 온도는 열 방정식에 의해 결정된다: > 0 $[\displaystyle T]0$

${\displaystyle {\frac {\partial t}{\partial t}=\nabla \cdot(\alpha _{1}\nabla T)++Q}$

T< 0 ${\displaystyle T<0}$에 있는 동안

${\displaystyle {\frac {\partial t}{\partial t}=\nabla \cdot(\alpha _{2}\nabla T)+Q.}$

이는 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega$ $\};$ $Q{\displaystyle }${\$displaystyle Q}$의 적절한 경계 조건에 따라 열 발생원 또는 흡수원을 나타낸다$$.

$\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$을(를) $시간{\displaystyle }$ t$${\$displaystyle$t$\}$에서${\displaystyle }$T = ${\displaystyle 0}${\$displaystytle$T=$0}$이(가) 있는 표면으로$$ 두 단계 사이의 인터페이스가 되도록 한다.$\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu$}은(는) 장치가 두 번째(고체) 위상까지 외부 정규 벡터를 나타내도록 한다$$.스테판 조건은 특히$$specifically $방향$에서 자유 표면의$$ $속도{\displaystyle }$ V$${\$displaystyle V$}을(를) 지배하는 방정식을 주어$$ 표면 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \nu}$의 진화를 결정한다.

${\displaystyle LV=\alpha _{1}\partial _{1}-\nu }T_{1}-\alpha _{2}\partial _{\nu }T_{2},}$

여기서 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은(는) 용해의 잠열이다.T1{\displaystyle T_{1}으로}우리는 그 지역 T>에서 x{\displaystyle)}접근법 Γ t{\displaystyle \Gamma_{t}}로;0{\displaystyle T>0}, T2{\displaystyle T_{2}}우리는 x{\displaystyle)}이 다가오면서 그라데이션의 한계 말 Γ t. 그라데이션의 한계 말 {$\displaystyle \Gamma_{$$}$ T< 0 ${\displaystyle T<0$

이 문제에서는 전체 지역 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega$}을$($를$)$ 미리 알고 있지만, 시간$$$$ $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$$\Gamma }$만 알고 있다$.$스테판 문제를 해결하려면 각 지역의 열 방정식을 풀어야 할 뿐만 아니라 자유 경계 ${\displaystyle \감마}$도 추적해야 한다$.$

1상 스테판 문제는 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$} 또는$$ $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$중 하나를$$ 0으로 하는 것에 해당한다. 이는 2상 문제의 특수한 경우다.더 큰 복잡성의 방향으로 우리는 또한 임의의 수의 단계들과 관련된 문제들을 고려할 수 있다.

장애물 문제

또 다른 유명한 자유 경계 문제는 고전적인 포아송 방정식과 밀접한 관련이 있는 장애물 문제다.미분 방정식의 해법

${\displaystyle -\nabla ^{2}u=f,\qquad u _{\partial \Oomega}=g}$

기능성을 최소화하는 가변 원리를 만족시키다.

${\displaystyle E[u]={\frac {1}{1}:{2}}\int _{\Oomega }\nabla u ^{2}\,\mathrm {d} x-\int _{\Oomega }fu\,\mathrm {d}x}$

경계에서$$ $g{\displaystyle }$ 값$${\$displaystyle$g}을(를) 사용하는$$ 모든 함수 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $u$$}$에 대해.장애물 문제에서 우리는 추가적인 제약을 가한다: 우리는 그 조건의 영향을$$ 받는 기능 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$을 최소화한다.

$\displaystyle u\leq \varphi \,}$

일부 $주어진{\displaystyle }$ 함수$display$ {\displaystyle \$Oomega}$에 대해$$$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \varphi }.$

Define the coincidence set C as the region where ${\displaystyle u=\varphi }$. Furthermore, define the non-coincidence set ${\displaystyle N=\Omega \setminus C}$ as the region where ${\displaystyle u}$ is not equal to ${\displaystyle \varphi }$, and the free boundary ${\displaystyle \Gamma }$ as둘의 접점그러면 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가) 자유 경계 문제를 충족함$$

${\displaystyle -\nabla ^{2}u=f{\text{{}}{{}N,\quad u=g}$

$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$의$$경계에 있는

${\displaystyle u\leq \varphi {\text{{}}}\Oomega ,\quad \nabla u=\nabla \varphi {\text{}}}}$

$v{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle v\leq \varphi }$과 같은 모든 기능 $집합{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$은(는) 볼록하다$$.포아송 문제가 함수의 선형 하위 공간에 걸쳐 2차 기능의 최소화에 해당하는 경우, 자유 경계 문제는 볼록 집합에 걸쳐 최소화에 해당한다.

변동 불평등과의 연관성

많은 자유경계 문제는 분석을 위한 변동불평등이라고 볼 수 있다.이 점을 설명하기 위해 먼저 볼록 $세트{\displaystyle }$ C ${\displaystyle C}$에 대한 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 실제$$ 변수의 $함수$ F$${\$displaystyle F$} 최소화에 착수한다$.$ 미니마이저 $x{\displaystyle }$ ${\displaystytle$ x$}$는 조건의 특성을 갖는다.

${\displaystyle \nabla F(x)\cdot(y-x)\geq 0{\text{{}모든 }y\in C.\,}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이$($가) C ${\displaystyle C}$의 내부에 있는$$ 경우 F ${\$$displaystyle$ $F}$의 경사가 0이어야 하며$$$,$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $C$$}$의 경계에 있는$$ 경우 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x$$}$에서 F$}$의 경사가 경계와 수직이어야 한다$$.

동일한 아이디어가 힐버트 공간의 볼록 부분 집합에서$$ 상이한 기능 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$의 최소화에 적용되며, 여기서 구배는 현재 변동 파생상품으로 해석된다.이 생각을 구체화하기 위해 장애물 문제에 적용하는데, 이 문제는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \int _{\Oomega }(\nabla ^{2}u+f)(v-u)\\\\mathrm {d} x\geq 0{\text{{{}모든 }v\leq \lepi .}$

이 공식은 약한 해법의 정의를 허용한다: 마지막 방정식의 부품별 통합을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\dapplaystyle \int _{\Oomega }\nabla \cdot \nabla (v-u)\matrm {d} x\leq \int_{\Oomega}f(v-u)\\\matrmatrm {d}x{\text{{{}}}모든 }}}}}}}}}}$

$이{\displaystyle }$ 정의에서 u {\$displaystyle u}$은(는$)$ 타원 경계 값 문제의 약한 공식화와 동일한 방식으로 하나의 파생상품을 가질 것을$$ 요구한다.

자유경계의 규칙성

타원 부분 미분방정식 이론에서는 일부 기능분석 인수를 사용하여 미분방정식의 약한 용액의 존재를 합리적으로 쉽게 증명한다.그러나 약한 해결책은 원하는 것보다 파생상품이 적은 함수의 공간에 놓여 있다. 예를 들어, 포아송 문제에 $대해서$는 ${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ 1${\$에 있는 약한 해결책이 있다고 쉽게 주장할 수 있지만$,$ 두 번째 파생상품은 없을 수 있다.그런 다음 일부 미적분 추정치를 적용하여 약한 용액이 실제로 충분히 규칙적이라는 것을 입증한다.

자유경계문제의 경우 두 가지 이유로 이 과제가 더 만만치 않다.첫째로, 해결책은 종종 자유 경계선을 가로지르는 불연속 파생상품을 보이는 반면, 그러한 파생상품은 자유 경계로부터 멀리 떨어진 모든 지역에서 분석적일 수 있다.둘째, 자유 경계 그 자체의 규칙성을 입증해야 한다.예를 들어 스테판 문제의 경우 자유 경계는 ${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$/ 2 ${\$ C$^{1/2}} 표면$이다.

관련 문제

순수하게 학문적인 관점에서 자유 경계는 일반적으로 지나치게 결정된 문제라 일컬어지는 더 큰 종류의 문제에 속하거나, 데이비드 킨들레러와 귀도 스탬파치아가 그들의 저서에서 그것을 다루듯이 다음과 같다.Cauchy 데이터를 일치시키는 문제.언급할 수 있는 다른 관련 FBP는 폼페이우 문제, 쉬퍼의 추측이다.아래 외부 링크를 참조하십시오.

유사한 문제를 모델링하기 위해 사용되는 또 다른 접근방식은 위상 필드 모델이다.

참조

• Alexiades, Vasilios (1993), Mathematical Modeling of Melting and Freezing Processes, Hemisphere Publishing Corporation, ISBN 1-56032-125-3
• Friedman, Avner (1982), Variational Principles and Free Boundary Problems, John Wiley and Sons, Inc., ISBN 978-0-486-47853-1
• Kinderlehrer, David; Stampacchia, Guido (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, ISBN 0-89871-466-4
• Caffarelli, Luis; Salsa, Sandro (2005), A geometric approach to free boundary problems. Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN 0-8218-3784-2
• Petrosyan, Arshak; Shahgholian, Henrik; Uraltseva, Nina (2012), Regularity of Free Boundaries in Obstacle-Type Problems. Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN 0-8218-8794-7

• PDE의 매칭 문제,
• 폼페이우 문제,
• 쉬퍼의 추측,