장애물 문제

장애물 문제는 변동 불평등과 자유 경계 문제에 대한 수학 연구에서 고전적인 동기부여 사례다.문제는 경계가 고정되어 있고 주어진 장애물 위에 놓여 있을 수 밖에 없는 탄성막의 평형 위치를 찾는 것이다.그것은 또한 최소 표면의 연구와 전위 이론의 세트의 용량과도 깊은 관련이 있다.응용 프로그램에는 다공성 매체에서의 유체 여과, 제한된 가열, 탄성-플라스틱성, 최적 제어 및 금융 수학에 대한 연구가 포함된다.^[1]

문제의 수학적 공식은 디리클레 에너지 기능의 미니마이저를 찾는 것이다.

${\displaystyle J=\int _{D} \nabla u ^{2}\mathrm {d} x}$

기능 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가) 막의 수직 변위를 나타내는$$$$ 일부 $도메인{\displaystyle }$ D ${\displaystyle D}$에서.멤브레인의 고정된 경계에 해당하는 디리클레 경계 조건을 만족시키는 것 외에도, ${\displaystyle u}$ 함수들은 주어진$$ 장애물 함수 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$) ${\displaystyle (x)}$보다 큰 제약이 있다$.$이 솔루션은 솔루션이 장애물 기능과 동일한 영역(접점 세트)과 솔루션이 장애물 위에 있는 영역으로 분해된다.두 지역 사이의 인터페이스는 자유 경계선이다.

일반적으로 용액은 지속적이며 립스키츠 연속 1차 파생상품을 보유하고 있으나, 자유경계를 가로지르는 2차 파생상품에서는 일반적으로 용액이 불연속적이다.자유 경계는 매끄러운 다지관에 존재하는 특정 단수점을 제외하고 쾰더 연속 표면으로 특징지어진다.

역사 노트

퀄체 템포 도포 스탬파치아, 파르텐도 젬프레 달라 수아 디디콰지온느 바리아지오날레, 페페르스 언 누오보 캄포 디 리커체 시 리벨로 중요한 에페콘도.Si tratta di summo che oggi é chiamato I problema del'ostacolo.^[2]

— Sandro Faedo, (Faedo 1986, p. 107)

동기부여 문제

장애물 위쪽의 막 모양

장애물 $문제$는 경계 위치가 고정된 도메인(${\displaystyle \mathrm{고원}}$의 문제 $참조)$^[3]에서 비누 필름으로 찍은 모양을 고려할 때 발생하며, 도메인 내부에서도$$ 일부 장애물 위에 막이 $놓여지도록$ 제한되는 추가 $제약조건$이 $있다{\displaystyle }$$.$이 경우 최소화할 에너지 기능은 표면적에 통합되어 있다.

${\displaystyle J(u)=\int _{D}{\sqrt{1+ \nabla u ^{2}}\,\mathrm {d} x.}$

이 문제는 테일러 시리즈의 관점에서 에너지 기능을 확장하고 첫 번째 임기만을 취함으로써 작은 동요의 경우 선형화될 수 있으며, 이 경우 최소화할 에너지가 표준 디리클레 에너지인 것이다.

${\displaystyle J(u)=\int _{D} \nabla u ^{2}\mathrm {d} x.}$

최적정지

장애물 문제는 제어 이론에서도 발생하는데, 특히 지불함수 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi$${\displaystyle x}$)$${\$displaystyle (x$을(를) 가진 확률적 공정에 대한 최적의 정지 시간을 찾는 문제가 그것이다.

프로세스가 Brownian motion이고 프로세스가 도메인에서 나갈 때 중지될 수밖에 없는 간단한 경우, 최적의 중지 전략이 따를 경우 $장애물{\displaystyle }$ 문제의 솔루션$$ $u{\displaystyle (x}$) ${\displaystyle$ $u$$(x)}$을(를) x ${\displaystyle$ x$\}$에서 프로세스를 시작하는 것으로서 보상의 기대값으로 특징지을 수 있다.정지 기준은 단순히 접촉 세트에 도달하는 순간 멈춰야 한다는 것이다.^[4]

형식명세서

다음 데이터가 주어진다고 가정합시다.

1. 경계가 매끄러운 개방형 경계 $도메인{\displaystyle }$ D ${\displaystyle$D} $$⊂ ⊂ ℝⁿ
2. ∂ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 ${\displaystyle \mathrm{부드러운}}$ 함수${\displaystyle }f{\displaystyle }$ (x ) {\displaystyle$$f$(x)}($$D{\displaystyle }$ ${\$displaystyle $D}$의 경계$)$
3. 매끄러운 기능 φ 그런{D\displaystyle}이 φ ∂ D{\displaystyle\scriptstyle \varphi_{\partial D}}<>f{\displaystyle f}이φ{\displaystyle \varphi}()){\displaystyle())}의 제한 즉()){\displaystyle())}모든 D에 정의된{\displaystyle \varphi}.보신탕$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}($추적)의 일지가 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$보다 작음$.$

그럼 세트를 고려해 보십시오.

${\displaystyle K=\left\{u(x)\in H^{1}(D):u _{\partial D}=f(x){\text{ 및 }u\geq \varphi \right\}},}$

사각형 통합형 약한 첫 번째 파생상품과 함께 사각형 통합형 기능인 소볼레브 공간의 폐쇄 볼록 부분 집합이며, 장애물 위에 있는 원하는 경계 조건을 가진 기능을 정밀하게 포함한다.장애물 문제에 대한 해결책은 에너지 적분을 최소화하는 기능이다.

${\displaystyle J(u)=\int _{D} \nabla u ^{2}\mathrm {d} x}$

$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에 속하는$$ 모든 기능 $u{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle u(x)}$에 걸쳐$;$ 힐버트 공간 이론의 고려에 의해 그러한 최소제의 존재가 확실시된다.^[3][5]

대체 제형식

변동 부등식

장애물 문제는 힐버트 공간의 변동 불평등 이론에서 표준 문제로 재조정될 수 있다.적절한 기능의 설정$$ $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에서 에너지 최소화 장치를 찾는 것은 탐색과 동일하다.

$u\displaystyle u\in K}$ 그런 ${\displaystyle \int _{D}\langle {\nabla u}{\nabla (v-u)}\angle \mathrm {d} x\geq0\qquad \all v\in K,}$

여기서 ⟨ . . . ⟩ : × × ℝⁿⁿ → ℝ은 유한차원 리얼 벡터 공간 ℝ에서ⁿ 일반적인 스칼라 제품이다.이는 힐버트 공간의 변동 불평등에 대한 보다 일반적인 형태의 특수한 사례로, 그 해결책은 전체 공간의$$ 닫힌 볼록 부분 집합 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에서 기능 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이다.

$(\displaystyle a(u,v-u)\geq f(v-u)\qquad \forall v\in K.\,}$

강압적, 실제 값, 경계된 이선형${\displaystyle (}u{\displaystyle }$, ${\displaystyle v}$) ${\displaystyle a(u,v)}$ 및$$ 경계 선형 함수 f(${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f(v$^[6]

최소 초화함수

변수 논쟁은 접촉 세트에서 벗어나 장애물 문제에 대한 해결책이 조화롭다는 것을 보여준다.양적인 변형으로 스스로를 제한하는 유사한 주장은 솔루션이 접촉 세트에 초화학적이라는 것을 보여준다.이 두 주장은 함께 해결책이 초화함수라는 것을 암시한다.^[1]

실제로 최대 원리를 적용하면 장애물 문제에 대한 해결책이 허용 가능한 기능 집합에서 최소 초화함수임을 알 수 있다.^[6]

규칙성 특성

최적 규칙성

장애물 문제에 대한 해결책은 장애물 자체가 이러한 특성을 가질 $때{\displaystyle {}^{}}$ C ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ C$^{1,1}$ 규칙성$$ 또는 경계된 두 번째 파생상품이 있다.^[7]더 정확히 말하면, 솔루션의 연속성 계수와 그 파생상품에 대한 연속성 계수는 장애물의 그것과 관련이 있다.

1. If the obstacle ${\displaystyle \scriptstyle \phi (x)}$ has modulus of continuity ${\displaystyle \scriptstyle \sigma (r)}$, that is to say that ${\displaystyle \scriptstyle \phi (x)-\phi (y) \leq \sigma ( x-y )}$, then the solution ${\displaysty$$\scriptstyle u(x)}$에는 $C{\displaystyle \sigma }$ ( 2 ${\displaystyle r}$) ${\$이(가) 부여한 연속성 계수가 있는데$$$,$ 여기서 상수는 장애물이 아닌 도메인에만 의존한다.
2. 장애물의 첫 번째 파생상품에 연속성 $계수$가$)$( ${\displaystyle r}$ ) {\$displaystyle$ \^[8]$scriptstyle$ \sigma ($r$인 경우, 솔루션의 첫 번째 파생상품에는 C $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$( ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle r}$) ${\$이 부여한 연속성 계수가 있다$.$ 여기서 상수는 다시 한도가 있다.

수평 표면 및 자유 경계

Subject to a degeneracy condition, level sets of the difference between the solution and the obstacle, ${\displaystyle \scriptstyle \{x:u(x)-\phi (x)=t\}}$ for ${\displaystyle \scriptstyle t>0}$ are ${\displaystyle \scriptstyle C^{1,\alpha }}$ surfaces.솔루션이 장애물을 만나는 세트의 경계인 자유 경계도 C ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$displaystyle $C^{1,\alpha$ }이(가)^[9] C $1{\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle$ C$^{1}$다지관에$$ 격리되거나 국소적으로 포함된 단수 점 세트를 제외하고$$ C ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\$ C^,\alpha $}}}$이다.

일반화

장애물 문제의 이론은 균일하게 타원 연산자 ^[6]및 그와 관련된 에너지 함수 형태로 다른 발산 형태까지 확장된다.그것은 또한 타원 연산자를 퇴보시키는 것으로 일반화될 수 있다.

기능이 한 장애물 기능 위와 아래에 위치하도록 제약되는 이중 장애물 문제도 관심사다.

시그노리니 문제는 장애물 문제의 변형으로, 에너지 기능이 하나의 작은 차원의 표면에만 존재하는 제약조건에 따라 최소화되며, 여기에는 제약조건이 영역의 경계에서 작용하는 경계 장애물 문제가 포함된다.

장애물 문제의 포물선적이고 시간에 의존하는 사례와 그 변형 또한 연구 대상이다.

참고 항목

• 배리어 옵션
• 최소면
• 변동 부등식
• 시그노리니 문제

메모들

과거 참조

• Faedo, 산드로(1986년),"Leonida Tonelli elascuola matematica pisana", Montalenti, G단조, Amerio, L.;Acquaro, G;Baiada, E;(알.(eds.), Convegno celebrativo 델 centenario della nascita 디 마우로 피콘에게로 eLeonida Tonelli(6–9 maggio 1985년), Atti 데이 Convegni Lincei(이탈리아어로), 77vol., 로마:.아카데미아 나치오날레 dei Lincei,를 대신하여 서명함. 89–109, 2011-02-23에 원래에서 보관 시 2013-02-12 돌려받지 못 했다.Tonelli의 피사를 사업과 학교의 발전에 그의 영향력이 국제 의회에서 그 Mauro피콘 씨와 Leonida Tonelli(로마에서 5월 6–9, 1985년에 열리)의 탄생 백년제의 축제의 행사에서 제시"Leonida Tonelli과 피사 수학 학교" 있다.저자는 그의 제자 중 한 명이었고, 그가 죽은 후에 피사 대학에서 수학 분석의 좌장을 맡아 과학부 학장이 되었고, 그리고 나서 교장이 되었다: 그는 그 대학의 발전에 강한 긍정적인 영향을 끼쳤다.

참조

• Caffarelli, Luis (July 1998), "The obstacle problem revisited", The Journal of Fourier Analysis and Applications, 4 (4–5): 383–402, doi:10.1007/BF02498216, MR 1658612, Zbl 0928.49030
• Evans, Lawrence, An Introduction to Stochastic Differential Equations (PDF), p. 130, retrieved July 11, 2011. 저자가 말하는 것처럼 "정확한 세부사항 없이, 확률의 기본 이론, 무작위 미분 방정식과 일부 적용"을 조사하는 일련의 강의 노트.
• Frehse, Jens (1972), "On the regularity of the solution of a second order variational inequality", Bolletino della Unione Matematica Italiana, Serie IV, vol. 6, pp. 312–315, MR 0318650, Zbl 0261.49021.
• Friedman, Avner (1982), Variational principles and free boundary problems, Pure and Applied Mathematics, New York: John Wiley & Sons, pp. ix+710, ISBN 0-471-86849-3, MR 0679313, Zbl 0564.49002.
• Kinderlehrer, David; Stampacchia, Guido (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Pure and Applied Mathematics, vol. 88, New York: Academic Press, pp. xiv+313, ISBN 0-12-407350-6, MR 0567696, Zbl 0457.35001
• Petrosyan, Arshak; Shahgholian, Henrik; Uraltseva, Nina (2012), Regularity of Free Boundaries in Obstacle-Type Problems. Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-8794-3

외부 링크

• 저자에 의해 1998년 스쿠올라 노르말 수페리오레에서 배달되었다Caffarelli, Luis (August 1998), The Obstacle Problem (PDF), draft from the Fermi Lectures, p. 45, retrieved July 11, 2011.