풀커슨-첸-안스티 정리

풀커슨-첸-앤스티 정리는 결합론의 한 분야인 그래프 이론의 결과물이다.It provides one of two known approaches solving the digraph realization problem, i.e. it gives a necessary and sufficient condition for pairs of nonnegative integers ${\displaystyle ((a_{1},b_{1}),\ldots ,(a_{n},b_{n}))}$ to be the indegree-outdegree pairs of a simple directed graph; a se이 조건들에 순응하는 것을 "화문"이라고 부른다.D. R. 풀커슨^[1](1960년)은 그래프의 경우 고전적인 에르드-갈라이 정리와 유사한 특성화를 얻었지만, 기하급수적으로 많은 불평등을 가진 이 해결책과는 대조적이다.1966년 첸은 이러한 결과를 개선하여 정수 쌍을 n개의 불평등을 초래하는 증가하는 사전적 순서로 정렬해야 한다는 추가적인 제약조건을 요구하였다.Anstee(1982)는 다른 ${\displaystyle {맥락}_{}}$에서 1${\displaystyle {}_{}}$≥ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ \gecdots $\geq a_{n}}}$을(를) 갖는 것이 충분하다고 관찰했다$.$ 버거는 이 결과를 재창조하고 직접적인 증거를 제시한다.

성명서

A sequence ${\displaystyle ((a_{1},b_{1}),\ldots ,(a_{n},b_{n}))}$ of nonnegative integer pairs with ${\displaystyle a_{1}\geq \cdots \geq a_{n}}$ is digraphic if and only if ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a$$_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}}$과(와) k에 대해 $다음$과 같은 불평등이 1 ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \le n}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$과$($와) 같이 유지된다.

${\displaystyle \sum \sum \{i=1}a_{i}\leq \sum \{i=1}{k}\min(b_{i-1)+\sum _{i=k+1}^{n}\min(b_{i}k)}$

더 강력한 버전

는 > k > 의> > 1 ${\$ ${\displaystyle k}$ =${\displaystyle }n{\displaystyle }$ ${\displaystyle k=n}$과 같은 k ${\displaystyle$ $k$$}$의 불평등을 고려하는 것으로 충분하다는 것을 증명했다^[4]$.$

기타 공증

정리도 제로원 행렬의 관점에서 진술할 수 있다.각 방향 그래프의 대각선에는 열 합계와 행 합계가 $({\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ ) ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{$${\displaystyle n_{}}$$}}$ 및$$${\displaystyle }$(${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ) $displaystyle (b_{1},\ldots ,b_{n}}}}}}})$에 해당하는 인접 행렬이 있음을 알 수 있다$.$관계 전공화와 관련이 있다.우리는:){나는 나는입니다. b>k, b나는 k ≥}:)\{b_{나는}i>, k,b_{나는}\geq k\}+\{b_{나는}i\leq k,b_{나는}\geq k-1\}}. 순서(1k∗과 시퀀스(1∗,…, n∗){\displaystyle(a_{1}^{*},\ldots{n}^{*},a_)}+{b나는 나는 ≤ k, b나는 ≥ k− 1}{\displaystyle a_{k}^{*}을 정의한다. ∗,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle (a_{1}^{*},\ldots ,a_{n}^{*}}}$도 수정 Ferrers 도표로 확인할 수 있다$$.Consider sequences ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$, ${\displaystyle (b_{1},\ldots ,b_{n})}$ and ${\displaystyle (a_{1}^{*},\ldots ,a_{n}^{*})}$ as ${\displaystyle n}$-dimensional vectors ${\displaystyle a}$, ${\dis$$playstyle b}$ and ${\displaystyle a^{*}}$. Since ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}a_{i}^{*}=\sum _{i=1}^{k}\min(b_{i},k-1)+\sum _{i=k+1}^{n}\min(b_{i},k)}$ by applying the principle of double counting, the theorem above${\displaystyle a}$을(를) 증가시키지 않는 음수가 아닌 정수 시퀀스$({\displaystyle a}$, b${\displaystyle }$) ${\displaystyle$($a$$,b)}$이(가) 벡터 $a{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$$displaystyle$ $a$$^}$을$($를$)$ 전공하는$$ 경우에만 digraphic임을$$ 명시한다$.$

일반화

A sequence ${\displaystyle ((a_{1},b_{1}),\ldots ,(a_{n},b_{n}))}$ of nonnegative integer pairs with ${\displaystyle a_{1}\geq \cdots \geq a_{n}}$ is digraphic if and only if ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a$$_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}}}$이(가$)$ 있고, 쌍$,$ ${\displaystyle b}$ ) {\$displaystyle($$c$,b$$)이 digraphic이고, $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $c$$}$이(가) ${\displaystysty$ a$\}$^[5]를 전공하는$$ 시퀀스 ${\c$}이 있다.

유사한 문제에 대한 특성 지정

유사한 이론들은 간단한 그래프, 루프가 있는 간단한 지시 그래프, 그리고 간단한 초당적 그래프의 정도 순서에 대해 설명한다.첫 번째 문제는 에르드-갈라이 정리가 특징이다.버거를 보는 것과 동등한 후자의 두 경우는 게일-라이저 정리가 특징이다.^[4]

참고 항목

• 클라이트만-왕 알고리즘

참조