GF(2)

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GF(2)(F ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ {$F} _{2$ Z${\displaystyle /2Z\mathbb{}}$ 또는 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ /${\displaystyle 2\mathrm{}}$Z ${\$ {$Z}$ /$2\mathb$ {Z$\}\}\})$는 두 원소의 유한한 필드(GF는 유한장의 또 다른 이름)이다.표기 Z와₂ $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 2-adic 정수의 표기법과 혼동될 수 있지만 만날 수 있다$$.

GF(2)는 가능한 원소의 수가 가장 적은 분야로, 평소와 같이 가법성분과 승법성분을 각각 0과 1로 표기할 경우 고유하다.

GF(2)의 요소는 비트의 두 가지 가능한 값과 부울 값을 참과 거짓으로 식별할 수 있다.GF(2)가 컴퓨터 과학과 그 논리적 기초에서 기본적이고 어디서나 볼 수 있는 존재라는 것을 따른다.

정의

GF(2)는 2개의 원소가 각각 0과 1로 표시된 첨가물 및 승법적 정체성을 갖는 고유 분야다.

그것의 덧셈은 modulo 2를 제외한 정수의 일반적인 덧셈으로 정의되며 아래 표에 해당한다.

+	0	1
0	0	1
1	1	0

만약 GF(2)의 요소가 부울 값으로 보인다면, 그 추가는 논리 XOR 연산의 그것과 동일하다.각 원소는 그 반대와 같기 때문에 뺄셈은 따라서 덧셈과 같은 조작이다.

GF(2)의 곱셈은 다시 통상적인 곱셈모듈로 2(아래 표 참조)이며, 부울변수는 논리 AND 연산에 해당한다.

×	0	1
0	0	0
1	0	1

GF(2)는 정수 모듈로 2의 필드, 즉 모든 짝수 숫자 중 이상적인 2Z에 의한 정수 Z 링의 몫 링으로 식별할 수 있다.

특성.

GF(2)는 필드이기 때문에 합리적인 숫자와 실제 숫자와 같은 숫자 시스템의 친숙한 특성들이 많이 유지된다.

• 추가에는 모든 요소에 대한 식별 요소(0)와 역이 있다.
• 곱셈은 0을 제외한 모든 원소에 대한 ID 요소 (1)과 역수를 가진다.
• 덧셈과 곱셈은 서로 상통하고 연관성이 있다.
• 곱셈은 덧셈보다 분배적이다.

실수에 익숙하지 않은 속성은 다음과 같다.

• GF(2)의 모든 원소 x는 x + x = 0을 만족하므로 -x = x; 이는 GF(2)의 특성이 2임을 의미한다.
• GF(2)의 모든 원소 x는² x = x를 만족시킨다(즉, 곱셈에 관해서는 idempotent이다). 이것은 페르마의 작은 정리의 한 예다.GF(2)는 이 속성을 가진 유일한 필드(증명: x² = x이면 x = 0 또는 x ≠ 0 중 하나).후자의 경우 x는 반드시 승법 역수를 가져야 하며, 이 경우 양쪽을 x로 나누면 x = 1이 된다.모든 큰 필드에는 0과 1 이외의 요소가 포함되며, 이러한 요소는 이 속성을 충족할 수 없다.)

적용들

위의 대수적 특성 때문에 다른 분야뿐만 아니라 GF(2)에서도 친숙하고 강력한 수학 도구가 많이 작용한다.예를 들어, 매트릭스 역전을 포함한 매트릭스 연산은 GF(2)의 요소가 있는 매트릭스에 적용할 수 있다(매트릭스 링 참조).

V의 모든 V에 대해 v + v = 0 속성을 가진 모든 그룹 V는 반드시 아벨리안이며(즉, 모든 요소는 비자발적 요소임) 0v = 0 및 1v = v를 정의함으로써 자연적 방식으로 GF(2)를 통한 벡터 공간으로 변할 수 있다.이 벡터 공간은 V의 원소 수가 반드시 2(또는 무한)의 힘이어야 함을 암시하는 근거가 될 것이다.

현대의 컴퓨터에서는 데이터가 기계어라고 불리는 일정한 길이의 비트 문자열로 표현된다.이것들은 GF(2)에 걸쳐 벡터 공간의 구조로 부여된다.이 벡터 공간의 추가는 XOR(전용 또는)이라고 하는 비트 연산이다.비트 와이즈 AND는 이 벡터 공간에 대한 또 다른 연산인데, 이것은 그것을 부울 대수학으로, 모든 컴퓨터 과학의 기초가 되는 구조로 만든다.이들 공간은 필드 GF(2ⁿ)로 만드는 곱셈 연산으로도 증강할 수 있지만 곱셈 연산은 비트 연산일 수 없다.n이 그 자체로 2의 힘인 경우, 곱셈 연산은 님 곱셈이 될 수 있다. 또는, n의 경우 GF(2) 모듈로(예: 고급 암호화 표준 암호 설명에서 필드 GF(2)와 같이⁸)에 대한 다항식 곱셈을 사용할 수 있다.

GF(2) 위의 벡터 공간과 다항식 링은 코딩 이론에 널리 사용되며, 특히 코드의 오류 수정과 현대 암호화에 많이 사용된다.예를 들어, 많은 일반적인 오류 수정 코드(BCH 코드 등)는 GF(2)(GF(2)보다 벡터 공간에서 정의된 코드) 또는 다항식 코드(GF(2)보다 다항식 링의 인수로 정의된 코드)이다.

참고 항목

• 하나의 요소가 있는 필드

참조

• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997). Finite fields. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 20 (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-39231-4. Zbl 0866.11069.