가우스-쿠즈민-위르싱 연산자

수학에서, 가우스-쿠즈민-은위싱 오퍼레이터는 가우스 맵의 전송 오퍼레이터로, 상호 역수의 일부에 양수를 취한다.(이것은 차동 기하학의 가우스 지도와 같지 않다.)칼 가우스, 로디온 쿠즈민, 에두아르 위르싱의 이름을 따서 지은 것이다.그것은 계속되는 분수에 대한 연구에서 발생한다; 그것은 또한 리만 제타 기능과 관련이 있다.

지도 및 연속 분수에 대한 관계

가우스 지도

가우스 함수(맵) h는 다음과 같다.

${\displaystyle h(x)=1/x-\lfloor 1/x\loor .}$

여기서:

• ${\displaystyle \lfloor }$ ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor$ 1/$x\\loor }$은(는) 바닥 기능을 나타낸다.

그것은 양의 정수 n에 대해 x = 1/n에서 무한히 많은 점프 불연속성을 가진다.그것을 하나의 매끄러운 다항식으로는 어림잡기가 어렵다.^[1]

지도상의 연산자

가우스-쿠즈민-Wirsing $연산자{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$은(는) 다음과$$ $같이{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle f$} 함수에 작용함$$

${\displaystyle [Gf](x)=\sum _{n=1}^{\flac {1}{(x+n)^{2}}}f\leftfr\frac {1}{x+n}\오른쪽).}$

연산자의 고유값

이 연산자의 첫 번째 고유 기능은

${\displaystyle {\frac {1}{\ln2}\\\frac {1}{1+x}}}$

이는₁ ==1의 고유값에 해당한다.이 고유함수는 지속적인 분수 팽창에서 주어진 정수의 발생 확률을 제공하며, 가우스-쿠즈민 분포로 알려져 있다.이는 부분적으로 가우스 지도가 계속되는 분수에 대해 절삭 시프트 연산자 역할을 하기 때문에 다음과 같다.

${\displaystyle x=[0;a_{1},a_{2},a_{3},\message ]}$

숫자 0 < x < 1의 연속적인 분수 표현이다.

${\displaystyle h(x)=[0;a_{2},a_{3},\message ].}$

추가적인 고유값은 숫자로 계산할 수 있으며, 다음 고유값은 λ₂ = -0.3036630029...(OEIS에서 시퀀스 A038517) 및 절대값은 가우스-쿠즈민–으로 알려져 있다.위싱 상수.추가 고유 기능을 위한 분석 형식은 알려져 있지 않다.고유값이 비합리적인지는 알려지지 않았다.

가우스-쿠즈민-의 고유값을 정리하자.절대값에 따른 Wirsing 연산자:

${\displaystyle 1= \bodda _{1} \geq \bodda _{2} \geq \bods.}$

1995년 필리프 플라호레와 브리짓트 발리에가 추측한 바 있다.

${\displaystyle \lim \lim \pret \{n\rightarrow \inflt }{n}{n1}{n+da_{n1}}=-\varphi ^{2},{\text{}}{}}\parphi ={\frac{1+{\sqrit}}}}}}}}.}$

2018년 기드리오스 알카우스카스는 이 추측이 훨씬 더 강력한 진술로 정제될 수 있다는 설득력 있는 주장을 펼쳤다.^[2]

${\displaystyle (-1)^{n+1}\lambda _{n}=\varphi ^{-2n}+C\cdot {\frac {\varphi ^{-2n}}{\sqrt {n}}}+d(n)\cdot {\frac {\varphi ^{-2n}}{n}},{\text{ where }}C={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}\cdot \zeta (3/2)}{2{\sqrt {\pi }}}}=1.1019785625880999_{+};}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $d{\displaystyle }$( n${\displaystyle }$) ${\displaystyle d(n)}$ 함수가 경계되고$$, $\zeta {\displaystyle (\star )}$ ${\displaystyle \zeta (\star )}$는 Riemann 제타 함수다.

연속 스펙트럼

고유값은 운영자가 실제 숫자 선의 단위 간격에 대한 기능에 대해 작용하도록 제한될 때 이산 스펙트럼을 형성한다.More broadly, since the Gauss map is the shift operator on Baire space ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\omega }}$, the GKW operator can also be viewed as an operator on the function space ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\omega }\to \mathbb {C} }$ (considered as a Banach space, with basis functions taken to be the표시기는 제품 위상의 실린더에서 기능한다.나중에 복잡한 평면의 단위 디스크has < ${\displaystyle \lambda <1}$의 고유값을 갖는 연속 스펙트럼을 갖는다.That is, given the cylinder ${\displaystyle C_{n}[b]=\{(a_{1},a_{2},\cdots )\in \mathbb {N} ^{\omega }:a_{n}=b\}}$, the operator G shifts it to the left: ${\displaystyle GC_{n}[b]=$$C_{n-1}[b]}$. Taking ${\displaystyle r_{n,b}(x)}$ to be the indicator function which is 1 on the cylinder (when ${\displaystyle x\in C_{n}[b]}$), and zero otherwise, one has that ${\displaystyle Gr_{n,b}=r_{n-1,b}}$. The series

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infit }\nda ^{n-1}r_{n,b}(x)}$

그러면 고유값 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$을(를) 갖는 고유함수$.$ 즉${\displaystyle ,}$ 합계가 수렴될$$ ${\displaystyle 때}$마다${\displaystyle }$[${\displaystyle G}$ f${\displaystyle }$]${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$)$${\$displaystyle [Gf](x)=\lambda$ $f$$(x)}$을(를$)$ 가지고 있다. 즉, < ${\displaystyplaystydisplay$ sty \lamba sty lamba stylamba sty \$lamba$ styth.

교대조 운영자의 하르 측정, 즉 교대조 하에서 불변하는 함수를 고려하고자 할 때 특별한 경우가 발생한다.$이것$은 민코프스키 측정에 의해 제시된 것이다$.$$^{\prime$ $\}\}.$ 즉, G${\displaystyle {}^{}}$? $that{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$=${\displaystyle {}^{}}$?${\displaystyle {}^{}}$?${\$$^{\premy }=?$$^{\prime$ $\}\}.$^[3]

리만 제타 함수와의 관계

GKW 연산자는 리만 제타 기능과 관련이 있다.참고: 제타 함수는 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle \zeta(s)={\frac {1}{s-1-s\int_{0}^{1}h(x)x^{s-1}\;dx}$

라는 것을 암시한다.

${\displaystyle \zeta(s)={\frac {s}{s-1-s\int_{0}^{1}x\왼쪽[Gx^{s-1}\right]\,dx}$

변절하여

행렬 요소

함수 f(x) 및 $g{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ G ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ](}$ x${\displaystyle }$) ${\displaystyle g(x)=[Gf](x)}$에 대한 taylor 시리즈 확장을 x = 1로 간주하십시오$.$ 즉,

${\displaystyle f(1-x)=\sum _{n=0}^{\n(-x)^{n}{\frac {f^{f^{(n)(1){n!}}}$

그리고 g(x)도 마찬가지로 쓴다.GKW 연산자의 동작이 x = 0으로 불량하기 때문에 x = 1 정도 팽창한다.확장은 약 1 - x로 되어 있어 x의 양수인 0 0 x ≤ 1을 유지할 수 있다.그런 다음 GKW 연산자는 다음과 같이 테일러 계수에 작용한다.

${\displaystyle(-1)^{m}{\frac {g^{(m)}(1){m!}}}=\sum _{n=0}^{\n_{mn}(1)^{n}{\frac {f^{f^{n}(1){n!}},}$

여기서 GKW 연산자의 매트릭스 요소는

${\displaystyle G_{mn}=\sum _{k=0}^{n(1)^{k}{n \k}{k+m+1 \선택 \m}\왼쪽[\zeta (k+m+2)-1\right]을 선택한다.}$

이 연산자는 매우 잘 형성되어 있으며, 따라서 매우 숫자로 추적할 수 있다.가우스-쿠즈민 상수는 왼쪽 상단의 n 부분을 수치로 대각선화하여 높은 정밀도로 쉽게 계산한다.이 연산자를 대각선으로 만드는 알려진 폐쇄형 표현식은 없다. 즉, 고유 벡터에 대해 알려진 폐쇄형 표현식은 없다.

리만 제타

리만 제타는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \zeta(s)={\frac {s}{s-1-s}-sum _{n=0}^{n(-1)^{s-1 \선택 n}t_{n}}}}$

${\displaystyle t_{}}$ ${\$은(는) 위의 매트릭스 요소에 의해 주어진다$$.

${\displaystyle t_{n}=\sum _{m=0}^{\inflt }{\frac {G_{mn}}{(m+1){(m+2)}}}.}$

합계를 수행하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle t_{n}=1-\sum +\sum _{k=1}^{n(1)^{k}{n \n 선택[{\frac {1}-{k}-{\frac{1}-{\frac {\zeta(k+1){k+1}:{k+1}*}}}$

여기서 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$은(는) 오일러-마스케로니 상수다.이러한 ${\displaystyle t_{}}$ ${\$는 Steltjes 상수의 아날로그를 재생하지만$$, 하강 요인 확장에 대해서는 재생한다.글로써

${\displaystyle a_{n}=t_{n}-{\frac {1}{2(n+1)}}}$

a₀ = -0.0772156...a₁ = -0.00474863..., 등등.그 값들은 빨리 작아지지만 흔들린다.이러한 값에 대한 명시적 합계를 수행할 수 있다.스털링 수 계수가 있는 다항식으로서 하강하는 요인을 다시 표현하고, 그 후 해결함으로써 스틸트제스 상수와 명시적으로 관련될 수 있다.보다 일반적으로, 리만 제타는 다항식의 셰퍼 시퀀스 측면에서 확장형으로 다시 표현될 수 있다.

리만 제타의 이러한 확장은 다음의 참고자료에서 조사된다.^{[4][5][6][7][8]}계수는 다음과 같이 감소하고 있다.

${\displaystyle \left({\frac {2n}{\pi }}\right)^{1/4}e^{-{\sqrt {4\pi n}}}\cos \left({\sqrt {4\pi n}}-{\frac {5\pi }{8}}\right)+{\mathcal {O}}\left({\frac {e^{-{\sqrt {4\pi n}}}}{n^{1/4}}}\right).}$

참조

일반참조

• A. Ya. Khinchin, Continuous Fractions, 1935, 영어 번역 대학 시카고 프레스, 1961 ISBN 0-486-69630-8 (섹션 15 참조)
• K. I. 바벤코, 가우스 문제에 대하여, 소비에트 수학적 독레이디 19:136–140 (1978) MR472746
• K. I. Babenko와 S. P. Ju'ev, On the Discretation of a Problem of a Problem, Obout of a Substitution, Obertican Mathe Doklady 19:731–735 (1978)MR499751
• A. Durner, On a Organization of a Gauss-Kuzmin–레비, 아치수학. 58, 251–256, (1992)MR1148200
• A. J. MacLeod, Gauss-Kuzmin 지속 분수 문제의 고정확도 숫자 값.컴퓨터 수학.Appl. 26, 37–44, (1993)
• E. 위르싱, 가우스-쿠즈민-의 정리기능공간에 대한 레비와 프로베니우스형 정리.액타 아리스. 24, 507–528, (1974년).MR337868

추가 읽기

• 키스 브릭스, 가우스-쿠즈민-의 정확한 연산Wirsing 상수(2003) (참고 자료 모음 포함)
• 온 더 가우스-쿠즈민-필리페 플라호레와 브리짓 발레위싱 상수(1995)
• 리나스 벳스타스 베르누이 운영자 가우스-쿠즈민-Wirsing 연산자 및 Riemann Zeta(2004) (PDF)

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Gauss-Kuzmin-Wirsing Constant". MathWorld.
• OEIS 시퀀스 A038517(Gauss-Kuzmin-Wirsing 상수의 십진수 확장)