바이어 공간(set 이론)

세트 이론에서, 바이어 공간은 특정한 위상과 함께 자연수의 모든 무한 시퀀스들의 집합이다.이 공간은 그 원소가 흔히 "실제"라고 불릴 정도로 서술 집합 이론에서 흔히 사용된다.기호^N ${\mathcal {N}}$ ${\$ 또는 ${\mathcal {N}}$ Ω으로^ω 표시되며, 순서형 지수로 얻은 카운트 가능한 서수와 혼동하지 않는다.

바이어 공간은 셀 수 없이 많은 자연수 집합의 복사본이 있는 데카르트 산물로 정의되며, 제품 위상(자연수 집합의 각 복사본이 이산 위상)이 주어진다.바이어 공간은 종종 유한한 수의 순서의 트리를 사용하여 표현된다.

Baire 공간은 2진수의 무한 시퀀스 집합인 Cantor 공간과 대조될 수 있다.

위상 및 트리

바이어 공간을 정의하는 데 사용되는 제품 토폴로지는 나무 측면에서 보다 구체적으로 설명할 수 있다.제품 토폴로지의 기본 오픈 세트는 실린더 세트로서, 여기서 다음과 같은 특징이 있다.

임의의 유한한 자연수 좌표 I={i}를 선택하고, 각 i에 대해 특정 자연수 값 v를_i 선택한 경우, 위치 i에서 값 v를_i 갖는 자연수의 모든 무한 시퀀스 집합은 기본 개방 집합이다.모든 오픈 세트는 이것들의 컬렉션의 셀 수 있는 조합이다.

보다 공식적인 표기법을 사용하여 개별 실린더를 다음과 같이 정의할 수 있다.

C_{n}=\{(a_{1},a_{2},\cdots )\\in \omega ^{\omega }:a_{n}=v\}}}}}

고정 정수 위치 n 및 정수 값 v.실린더는 실린더 세트의 발전기가 된다. 실린더 세트는 한정된 수의 실린더의 모든 교차로로 구성된다. $즉$ , 각 $i\in I$ ${$ I {\ $displaystyle$ $I$ $\subseteq \omega }$ 과 $I\subseteq \omega$ (와 $)$ $i\in I$ I ${\displaystyle$ $v_{$ $i$ $}$ 의 유한한 $v_{i}$ 자연수 좌표 $I\subseteq \omega$ 에 따라 실린더의 교차점을 고려한다 $i\in I$

\bigcap _{i\in I}C_{i}[v_{i}]

이 교차점을 실린더 세트라고 하며, 그러한 모든 실린더 세트의 세트는 제품 위상의 기초를 제공한다.모든 오픈 세트는 그러한 실린더 세트의 계수 가능한 조합이다.

동일한 토폴로지에 대해 다른 기준으로 이동하여 오픈 세트의 대체 특성을 얻을 수 있다.

자연수 {w_i : i < n}의 시퀀스를 선택한 경우, 모든 i < n에 대해 위치 i에서 w_i 값을 갖는 모든 자연수의 무한 시퀀스 집합은 기본 오픈 집합이다.모든 오픈 세트는 이것들의 컬렉션의 셀 수 있는 조합이다.

따라서 Baire 공간의 기본 오픈 세트는 공통의 유한 초기 세그먼트 τ을 확장하는 자연수의 모든 무한 시퀀스의 집합이다.이것은 Baire 공간의 표현으로 이어진다. Baire 공간은 전체 나무 Ω을^<ω 통과하는 모든 무한 경로의 집합으로서, 확장에 의해 순서가 정해진 유한한 자연수열의 연속이다.각 유한 초기 세그먼트는 유한 시퀀스 트리의 노드다.각 오픈 세트는 해당 트리의 노드 조합에 의해 결정된다.Baire 공간의 한 지점은 그것의 경로가 그것의 결정 유니언의 노드들 중 하나를 통과하는 경우에만 열린 집합에 있다.

나무를 관통하는 경로로서의 배어 공간의 표현도 클로즈드 세트의 특성을 제공한다.바이어 공간의 모든 지점은 Ω의^<ω 일련의 노드를 통과한다.클로즈드 세트는 오픈 세트의 보완물이다.각각의 닫힌 세트는 그것의 보완적인 오픈 세트를 정의하는 어떤 노드도 통과하지 않는 모든 Baire 시퀀스로 구성된다.Baire 공간의 닫힌 부분 집합 C의 경우, x가 T를 통과하는 경로인 경우에만 Ω의^<ω 하위 트리 T가 C에 있다. 하위 트리 T는 C 원소의 모든 초기 세그먼트로 구성된다.반대로 Ω의^<ω 하위 트리를 통과하는 경로 집합은 폐쇄 집합이다.

데카르트 제품도 대체 토폴로지, 즉 박스 토폴로지를 가지고 있다.이 위상은 표시기 $I=\{i\in \omega \}$ I $I=\{i\in \omega \}$ = $I=\{i\in \omega \}$ { $I=\{i\in \omega \}$ $I=\{i\in \omega \}$ $I=\{i\in \omega \}$ $I=\{i\in \omega \}$ ${\displaystyle$ I $=\{i\in \omega \}}$ 을(를) 유한으로 $I=\{i\in \omega \}$ 제한하지 않기 때문에 제품 위상보다 훨씬 미세하다.통상적으로, Baire 공간은 이 위상만을 지칭하는 것이 아니라 제품 위상만을 가리킨다.

특성.

Baire 공간에는 다음과 같은 속성이 있다.

완벽한 폴란드 공간인데, 이는 고립된 지점이 전혀 없는 완전히 메트리가 가능한 두 번째 계산 가능한 공간이라는 것을 의미한다.이와 같이 실선과 같은 카디널리티를 가지고 있으며, 용어의 위상적 의미에서의 바이어 공간이다.
그것은 0차원적이고 완전히 단절되어 있다.
그것은 국소적으로 작지 않다.
비어 있지 않은 어떤 폴란드 공간에도 연속적으로 매핑할 수 있다는 점에서 폴란드 공간에는 보편적이다.게다가, 어떤 폴란드 공간도 Baire 공간의 G_δ 아공간과 밀도 높은_δ G 아공간 동형체를 가지고 있다.
Baire 공간은 유한하거나 셀 수 있는 수의 복사물의 생산물에 대해 동형이다.
그것은 어떤 완전한 이론 $T$ $T$ 의 $M$ 카운트다운 무한 포화 모델 $M$ $M$ 의 자동 형태 그룹이다 $T$

실제 선과의 관계

바이어 공간은 실제 선에서 물려받은 아공간 위상이 주어졌을 때 불합리한 숫자의 집합에 대해 동형상이다.Baire 공간과 비합리적인 공간 사이의 동형성은 지속적인 분수를 사용하여 구성될 수 있다.즉, $(a_{0},a_{1},a_{2},\cdots )\in \omega ^{\omega }$ , a $(a_{0},a_{1},a_{2},\cdots )\in \omega ^{\omega }$ , a $(a_{0},a_{1},a_{2},\cdots )\in \omega ^{\omega }$ , $(a_{0},a_{1},a_{2},\cdots )\in \omega ^{\omega }$ ) $(a_{0},a_{1},a_{2},\cdots )\in \omega ^{\omega }$ ${\$ $(a_{0},a_{1},a_{2},\cdots )\in \omega ^{\omega }$ 에 해당 비합리적인 숫자를 1보다 크게 할당할 수 있다.

{\displaystyle x=[a_{0}+1;a_{1}+1, a_{2}+1,\cdots ]=(a_{0}+1)+{\frac {1}{1}{1}+1)+{\frac {1}{1}{1}{2}+1)+}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"

$x\mapsto {\frac {1}{x}}$ $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ 1 $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ ${\$ $}}}$ 을 $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ (를) 사용하면 오픈 단위 간격 $(0,1)$ , $(0,1)$ ) $(0,1)$ ${\$ $displaystyle (0,$ 1)에서 $\omega ^{\omega }$ 비합리성에 이르는 또 다른 동형성을 얻을 수 있으며 $(0,1)$ , 음의 비합리성에 대해서도 동일한 작업을 수행할 수 있다.우리는 비합리적인 것들이 바이어 공간에 대한 4개의 공간 동형질이고 따라서 바이어 공간에도 동형질성의 위상학적 합이라는 것을 안다.

기술 집합 이론의 관점에서 보면, 실제 라인이 연결되어 있다는 사실은 기술적인 어려움을 야기한다.이 때문에 베이어 공간을 연구하는 것이 더 일반적이다.모든 폴란드 공간은 Baire 공간의 연속적인 이미지이기 때문에 이러한 특성이 Baire 공간을 위해 유지되고 지속적인 기능에 의해 보존된다는 것을 보여줌으로써 임의의 폴란드 공간에 대한 결과를 증명하는 것이 종종 가능하다.

Ω은^ω 또한 독립적이지만, 실제 분석에 대한 관심이 작으며, 여기서 Ω은 균일한 공간으로 간주된다.Ω과^ω Ir(비합리성)의 균일한 구조는 다르지만: Ω은^ω 통상적인 미터법에서 완전하지만 Ir은 완전하지 않다(이 공간들은 동형성이지만).

시프트 오퍼레이터

Baire 공간의 시프트 오퍼레이터는 실제의 단위 간격에 매핑되면 가우스-쿠즈민-가 된다.Wirsing operator $h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor$ . That is, given a sequence $(a_{1},a_{2},\cdots )$ , the shift operator T returns $T(a_{1},a_{2},\cdots )=(a_{2},\cdots )$ . Likewise, given the continued fraction $x=[a_{1},a_{2},\cdots ]$ , the Gauss map returns $h(x)=[a_{2},\cdots ]$ . The corresponding operator for functions from Baire space to the complex plane is the Gauss–Kuzmin–Wirsing 연산자; 그것은 Gauss 지도의 전송 연산자다.^[1]즉, $\omega ^{\omega }\to \mathbb {C}$ 공간에서 복합 $\omega ^{\omega }\to \mathbb {C}$ 평면 $\mathbb {C}$ 까지 $\mathbb {C}$ Ω $\omega ^{\omega }\to \mathbb {C}$ → $\omega ^{\omega }\to \mathbb {C}$ ${\$ $displaystyle \$ $omega ^{\omega }\mathb$ { $C$ $} \$ $mathb$ { $C$ } $}$ 까지의 맵을 고려한다 $\mathbb {C}$ 이러한 맵 공간은 Baire 공간의 제품 토폴로지에서 토폴로지를 상속한다. 예를 들어, 기능들이 균일한 수렴을 갖는다고 생각할 수 있다.이 기능의 공간에 작용하는 시프트 맵은 그 다음 GKW 연산자가 된다.

교대조에서 불변하는 기능인 시프트 오퍼레이터의 하어 측정치는 밍코우스키 측정치 $(...)'$ . ) $(...)'$ ${\$ $(TE)'=E'$ ) $(TE)'=E'$ = $(TE)'=E'$ {\displaystyle $(TE)'=E$ 가 있는데 여기서 T는 Ω의^ω 시프트와 E의 $(TE)'=E'$ 가능한 서브셋이다.

참고 항목

참조

^ 리나스 벳스타스, "가우스-쿠즈민-위르싱 운영자"(2004)
^ 리나스 벳스타스, "민코스키 측정", (2008) arXiv:0810.1265

Kechris, Alexander S. (1994). Classical Descriptive Set Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94374-9.
Moschovakis, Yiannis N. (1980). Descriptive Set Theory. North Holland. ISBN 0-444-70199-0.

[1] 리나스 벳스타스, "가우스-쿠즈민-위르싱 운영자"(2004)

[2] 리나스 벳스타스, "민코스키 측정", (2008) arXiv:0810.1265

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