가우스 표면

가우스표면(가우스표면(가우스표면(가우스표면)은 벡터장의 플럭스가 계산되는 3차원 공간의 폐쇄표면(보통 중력장, 전기장 또는 자기장)이다.^[1] 임의로 폐쇄된 표면 S = vV(3차원 영역 V의 경계)로, 표면 적분을 수행하여 해당 분야에 대한 가우스의 법칙(가우스의 법칙, 자력에 대한 가우스의 법칙 또는 가우스의 중력에 대한 가우스의 법칙)과 함께 사용되는 임의의 폐쇄된 표면 S = ∂V(3차원 영역 V의 경계)이다.중력장의 근원으로서의 온 질량 또는 정전기장의 근원으로서의 전하의 양 또는 그 반대로: 소스 분배를 위한 장을 계산한다.

구체성의 경우 표면 개념이 사용되는 가장 빈번한 유형의 분야인 만큼 이 글에서 전기장을 고려한다.

가우스 표면은 일반적으로 표면 적분 계산을 단순화하기 위해 상황의 대칭을 이용하기 위해 신중하게 선택된다. 정상 벡터를 따라 표면의 모든 지점에 대해 일정하게 가우스 표면을 선택한 경우, 발생하는 상수를 적분에서 빼낼 수 있으므로 계산이 어려운 통합을 요구하지 않을 것이다. 벡터장의 유속이 계산되는 3차원 공간의 폐쇄 표면으로 정의된다.

공통 가우스 표면

가우스 표면을 사용한 대부분의 계산은 가우스의 법칙(전기에 대한)을 구현하는 것으로 시작한다.^[2]

${\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}$ $\displaystyle \scriptstyle S\!}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q_{\text{enc}}}{\barepsilon _{0}}}}{0}.\!}$

따라서 Q는_enc 가우스 표면으로 둘러싸인 전하를 의미한다.

이것은 가우스의 법칙으로, 발산 정리나 쿨롱의 법칙을 모두 합친 것이다.

구면면

구면 가우스 표면은 다음 중 하나에 의해 생성된 전기장 또는 유속을 찾을 때 사용된다.^[3]

• 포인트 요금
• 균일하게 분포된 구형 전하 껍질
• 구면 대칭이 있는 기타 전하 분포

구형 가우스 표면을 선택하여 전하 분포와 동심원이 되도록 한다.

예를 들어, 균일하게 분포된 전하 Q와 반지름 R을 가진, 무시할 수 있는 두께의 충전된 구형 쉘 S를 고려하십시오. 우리는 가우스의 법칙을 이용하여 충전된 쉘의 중심으로부터 r 거리에서 결과적인 전기장 E의 크기를 찾을 수 있다. 반경 r < R의 구형 가우스 표면의 경우 밀폐된 전하가 0이므로 순속이 0이고 가우스 표면의 전기장 크기 또한 0이다(여기서 Q는_AA 가우스 표면으로 둘러싸인 전하인 가우스 법칙에서 Q = 0을 허용함).

같은 예에서, r > R이 있는 껍질 바깥의 더 큰 가우스 표면을 사용하여 가우스의 법칙은 0이 아닌 전기장을 생성한다. 이것은 다음과 같이 결정된다.

구형 표면 S에서 나오는 플럭스는 다음과 같다.

${\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}$ $\displaystyle \scriptstyle \partial S\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\int _{c}EdA\cos 0^{\circle }=E\int \\!\!\int _{S}dA\,\!}$

반경 r의 구 표면적은 다음과 같다.

$\displaystyle \int \!\!\!\int _{S}dA=4\pi r^{2}}$

그 말은

${\displaystyle \Phi _{E}=E4\pi r^{2}}$

가우스의 법칙에 따르면 유속은 또한

${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{A}{\\varepsilon _{0}}}$

마지막으로 φ에_E 대한 식을 동일시하면 위치 r에서 E 필드의 크기가 다음과 같다.

${\displaystyle E4\pi r^{2}={\frac {Q_{A}{\barepsilon _{0}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac{Q_{A}{}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}.}$

이러한 비교 결과는 충전물의 구면 분포가 충전 분포의 외부에서 관찰될 때 점 전하 역할을 한다는 것을 보여준다. 이는 사실 쿨롱의 법칙을 검증하는 것이다. 그리고, 언급했듯이, 어떤 외부 요금도 포함하지 않는다.

원통면

원통형 가우스 표면은 다음 중 하나에 의해 발생하는 전기장 또는 플럭스를 찾을 때 사용된다.^[3]

• 무한히 길게 늘어선 균일 전하
• 균일 충전 무한 평면
• 무한히 긴 균일한 충전 실린더

예를 들어, "무한 라인 충전 근처의 필드"는 다음과 같다.

충전 밀도(단위 길이당 충전량) λ이 있는 무한 라인 충전으로부터 거리 r에서 점 P를 고려한다. 회전 축이 선 전하인 실린더 형태의 닫힌 표면을 상상해 보십시오. h가 실린더의 길이일 경우 실린더에 동봉된 전하가

${\displaystyle q}$= ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle q=\lambda h$

여기서 q는 가우스 표면에 둘러싸인 전하이다. 그림과 같이 a, b, c 세 개의 표면이 있다. 미분 벡터 영역은 각 표면 a, b, c에서 dA이다.

플럭스 패싱은 다음 세 가지 기여로 구성된다.

${\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}$ $\displaystyle \scriptstyle A\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\int _{a}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} + \int \!\!\int _{b}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} + \int \!\!\int _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A}}$

표면 a와 b의 경우, E와 dA는 수직이다. 표면 c의 경우 그림에서와 같이 E와 dA가 평행하게 된다.

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}\파이 _{E}&=\int \!\!\!\int _{a}EdA\cos 90^{\circle }+\int \\!\!\int _{b}EdA\cos 90^{\circle }+\int \\!\!\int _{c}EdA\cos 0^{\circle \\&=E\int \!\!\!\int _{c}dA\\\end{aigned}}$

실린더의 표면적은

$\displaystyle \int \!\!\!\int _{c}dA=2\pi rh}$

그 말은

${\displaystyle \Phi _{E}=E2\pi rh}$

가우스의 법칙에 의해

${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {q}{\barepsilon _{0}}}}}$

φ_E 수익률과 동일

${\displaystyle E2\pi rh={\frac {\lambda h}{{0}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac }{\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}r}}}}}}}}}}}}}}}$

가우스 필박스

이 표면은 균일한 전하 밀도의 무한전하 시트 또는 약간의 유한한 두께의 전하 슬래브 때문에 전기장을 결정하는 데 가장 많이 사용된다. 필박스는 원통형 모양이며, 면적이 ²R²인 실린더의 한쪽 끝의 디스크, 동일한 면적의 다른 쪽 끝의 디스크, 실린더의 측면의 세 가지 구성요소로 구성되어 있다고 생각할 수 있다. 표면의 각 구성요소를 통과하는 전류의 합은 가우스 법칙에 따라 필박스의 밀폐된 전하와 비례한다. 시트에 가까운 필드는 상수로 근사할 수 있기 때문에 필드의 방향은 필드 라인이 필드 끝의 디스크를 직각으로 관통하고 실린더의 면이 필드 라인과 평행하도록 한다.

참고 항목

• 면적
• 표면적
• 벡터 미적분학
• 통합
• 발산정리
• 패러데이 케이지
• 장 이론
• 필드 라인

참조

• Purcell, Edward M. (1985). Electricity and Magnetism. McGraw-Hill. ISBN 0-07-004908-4.
• Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.

추가 읽기

• 전자석학(2판), I.S. 그랜트, W.R. 필립스, 맨체스터 물리학, 존 와일리 & 선스, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9

외부 링크

• 필드 - 온라인 교과서의 한 장