그룹 집합 생성

Generating set of a group
복잡한 평면에서 통일의 5번째 뿌리는 곱셈으로 그룹을 형성한다. 각 비식별 요소는 그룹을 생성한다.

추상 대수학에서, 그룹의 생성 집합은 그룹 집합의 하위 집합으로, 집단의 모든 요소가 하위 집합의 많은 요소와 그 요소들의 inverses의 조합으로 표현될 수 있다.

즉, S가 그룹 G의 부분집합이라면, S에 의해 생성된 부분군인 ⟨S⟩은 S의 모든 요소를 포함하는 G의 가장 작은 부분군이며, 이는 S의 원소를 포함하는 모든 부분군에 대한 교차점과 같다; 동등하게, sS⟩은 S와 G의 모든 원소의 유한제품으로 표현될 수 있는 G의 모든 원소의 부분군이다. 그들의 배반 (집단이 무한할 경우에만 invers가 필요하며, 유한집단에서 원소의 역은 그 원소의 힘으로 표현될 수 있다는 점에 유의한다.

G = ⟨S⟩이면 S가 G를 발생시킨다고 하고, S의 원소를 발전기 또는 그룹 발전기라고 한다. 만약 S가 빈 세트라면, 우리는 빈 제품을 정체성으로 간주하기 때문에 sS⟩은 사소한 그룹 {e}이다.

S에 원소 x가 하나만 있을 때 ⟨S⟩은 보통 ⟨x⟩로 표기된다. 이 경우 ⟨x⟩은 x의 힘의 주기적인 부분군이며, 우리는 이 그룹이 x에 의해 생성된다고 말한다. 원소 x가 그룹을 생성한다고 말하는 것과 동등하게, xx⟩은 전체 그룹 G와 동일하다고 말하고 있다. 유한집단의 경우, x가 순서 G를 가지고 있다고 말하는 것과도 같다.

G가 위상학 그룹인 경우, G의 부분집합 S가 G에 밀도가 있는 경우, 즉, sS closure의 폐쇄가 전체 그룹 G인 경우 위상학적 생성기의 집합이라고 한다.

최종생성군

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S가 유한하면 G = ⟨S⟩ 그룹을 finally generated라고 한다. 특히 미세하게 생성된 아벨리아 집단의 구조는 쉽게 설명된다. 정밀하게 생성된 그룹에 맞는 많은 이론들은 일반적으로 그룹에 실패한다. 부분집합 S에 의해 유한집단이 생성되는 경우, 각 집단 요소는 집단의 순서보다 작거나 같은 길이의 알파벳 S로부터 단어로 표현될 수 있다는 것이 증명되었다.

모든 유한 집단은 ⟨G⟩ = G 이후 미세하게 생성된다. 덧셈된 정수는 1과 -1 둘 다에 의해 미세하게 생성되는 무한집단의 예시지만, 덧셈된 이성집단은 촘촘하게 생성될 수 없다. 정확히 계산할 수 없는 그룹은 생성될 수 없다. 예를 들어, 추가 중인 실수 그룹(R, +)을 참조하십시오.

동일한 그룹의 다른 하위 집합이 하위 집합을 생성할 수 있다. 예를 들어 p와 q가 gcd(p, q) = 1, {p, q}이(가) 있는 정수인 경우, 베주트의 아이덴티티에 의해 추가되는 정수 그룹도 생성된다.

미세하게 생성된 그룹의 모든 지수는 미세하게 생성되는 것이 사실이지만(인덱스의 생성기 이미지는 유한한 생성 세트를 제공함), 미세하게 생성된 그룹의 하위 그룹은 미세하게 생성될 필요가 없다. 예를 들어, G를 x와 y의 두 생성자(G = y{x,y}⟩)에서 자유 그룹이 되게 하고, S는 자연수 n에 대해 yxyn−n 형식의 G의 모든 원소로 구성된 부분집합이 되게 한다. ⟨S⟩은 셀 수 없이 많은 발전기에서 자유집단에 이형성이며, 따라서 미세하게 생성될 수 없다. 그러나 미세하게 생성된 아벨리아 집단의 모든 하위 집단은 그 자체로 미세하게 생성된다. 사실, 더 말할 수 있는 것은, 정확히 생성된 모든 그룹의 클래스는 확장 하에 닫힌다는 것이다. 이를 확인하려면 (완전히 생성된) 정규 부분군 및 몫에 대한 생성 세트를 취하십시오. 그런 다음 정규 부분군에 대한 생성자와 인수에 대한 생성자의 사전 이미지가 함께 그룹을 생성한다.

자유군

주요 기사: 자유군

세트 S에 의해 생성되는 가장 일반적인 그룹은 S에 의해 자유롭게 생성되는 그룹이다. S에 의해 생성된 모든 그룹은 이 그룹의 지수에 이형성이며, 이것은 그룹의 발표 표현에 활용되는 특징이다.

프라티니 부분군

흥미로운 동반 주제는 비세대들의 것이다. 그룹 G의 요소 x는 G를 생성하는 x를 포함하는 모든 집합 S가 여전히 S에서 x를 제거할 때 G를 생성하는 경우 비발생기이다. 첨가된 정수에서 유일한 비발생기는 0이다. 모든 비발생기 세트는 G의 하위그룹인 Frattini 하위그룹을 형성한다.

예

단위 U(Z9) 그룹은 9에 상대적으로 소수인 모든 정수의 그룹이다(U9 = {1, 2, 4, 5, 7, 8}). 여기서 모든 산수는 9단계를 끝냈다. 7은 U(Z9)의 발전기가 아니다.

2는 다음과 같은 경우:

한편 n > 2의 경우 도 n의 대칭 집단은 주기적이지 않기 때문에 어느 한 요소에 의해서도 생성되지 않는다. 단, 두 순열(1 2)과 (1 2 3 ...n)에 의해 생성된다. 예를 들어, S의3 경우 다음과 같다(표기법에 대한 설명은 순열 참조).

e = (1 2)(1 2)
(1 2) = (1 2)
(1 3) = (1 2)(1 2 3)
(2 3) = (1 2 3)(1 2)
(1 2 3) = (1 2 3)
(1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2)

무한 그룹은 또한 유한한 생성 세트를 가질 수 있다. 정수의 첨가제 그룹은 생성 집합으로 1을 가지고 있다. 원소 2는 생성 세트가 아니며 홀수 숫자가 누락될 것이기 때문이다. 2-element subset {3, 5}은(-5) + 3 + 3 = 1이기 때문에 생성 집합이다(사실, 모든 쌍의 복사 번호는 베주트의 정체성의 결과로 나타난다).

순서 n의 이면 그룹은 집합 {,r }에 의해 생성되며, 여기서 r은 π/n에 의한 회전을 나타내며 s는 대칭선에 대한 반사를 나타낸다.[1]

n, Z의 주기적 그룹인와 통합의 nth 루트는 모두 단일 원소에 의해 생성된다(사실 이 그룹들은 서로 이형화된다).[2]

그룹의 프레젠테이션은 생성자의 집합과 그들 사이의 관계의 집합으로 정의되기 때문에, 해당 페이지에 나열된 예시들 중 어느 것이라도 집합 생성의 예를 포함한다.[3]

세미그룹과 모노이드

만약 G가 세미그룹이나 모노이드라면 G S의 생성 집합은 여전히 사용할 수 있다. G가 S를 포함하는 가장 작은 세미그룹/모노이드 생성 집합인 경우 G의 생성 집합은 Sem그룹/Monoid 생성 집합이다.

위에 주어진 유한금액을 이용한 집합의 생성에 대한 정의는 세미그룹이나 모노이드 등을 다룰 때 약간 수정되어야 한다. 실제로 이 정의는 더 이상 역연산의 개념을 사용해서는 안 된다. 세트 S는 G의 각 요소가 S의 유한한 원소의 유한합이라면 G의 세트가 되는 세모그룹이라고 한다. 마찬가지로, 세트 S는 G의 각 비영점 원소가 S의 유한합이라면 G의 모노이드 생성 세트라고 한다.

예를 들어 {1}은(는) 음수가 아닌 자연수 의 집합에 대한 단일 생성기다 집합 {1}은(는) 양의 자연수 > }의 세미그룹 생성기도 하다 그러나 정수 0은 1초의 (비어 있지 않은) 합으로 표현할 수 없으므로 {1}은(는) 음이 아닌 자연수의 세미그룹 생성기가 아니다.

마찬가지로, {1}이(가) Z 의 그룹 생성기인 반면 {1}은 정수 집합의 단일 생성기가 아니다. 실제로 정수 -1은 1초의 유한 합으로 표현할 수 없다.

참고 항목

메모들

  1. ^ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract algebra (3rd ed.). Wiley. p. 25. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264.
  2. ^ Dummit & Foote 2004, 페이지 54
  3. ^ Dummit & Foote 2004, 페이지 26

참조

외부 링크