지오데틱 편차

일반상대성이론에서 지오데틱 편차는 공간적으로 변화하는 중력장의 영향 아래에서 움직이는 동안 물체가 서로 접근하거나 후퇴하는 경향을 설명한다.다른 방법으로, 만약 두 물체가 두 개의 평행 궤도를 따라 움직이게 된다면, 조석 중력의 존재는 궤도를 서로 향해 또는 멀리 구부러지게 하여 물체들 사이의 상대적인 가속도를 만들어낼 것이다.^[1]

수학적으로 일반 상대성에서의 조력은 리만 곡률 텐서(Riemann 곡률 텐서)에 의해 설명되며,^[1] 중력의 영향만으로 물체의 궤적을 지오데틱이라고 한다.지오데틱 편차 방정식은 리만 곡률 텐서(Riemann 곡률 텐서)와 인접한 두 지오데틱의 상대 가속도를 연관시킨다.미분 기하학에서 지오데틱 편차 방정식은 흔히 자코비 방정식으로 알려져 있다.

수학적 정의

지오데틱 편차를 정량화하기 위해 연속 변수 s에 의해 지수화되고 아핀 매개변수 τ에 의해 파라메트리된 밀접하게 간격을 둔 지오데틱 계열을 설정하는 것으로 시작한다.즉, 각 고정 s에 대해 τ이 변화함에 따라 γ_s(τ)에 의해 휩쓸려 나가는 곡선은 지오데틱이다.거대한 물체의 지오데틱을 고려할 때 object을 물체의 적절한 시간으로 선택하는 것이 편리한 경우가 많다.x^μ(s, τ)가 지오데틱 γ_s(τ)의 좌표라면, 이 지오데틱의 접선 벡터는

${\displaystyle T^{\mu }={\frac {\partial x^{\mu }(s,\tau )}{\partial \tau }}.}$

만약 τ이 적절한 시간이라면, T는^μ 지오데틱을 따라 이동하는 물체의 네 속도다.

또한 편차 벡터를 정의할 수 있는데, 편차 벡터는 극소수적으로 분리된 두 개의 지오데틱을 따라 이동하는 두 물체의 변위를 의미한다.

${\displaystyle X^{\mu }={\frac {\partial x^{\mu }(s,\tau )}{\partial s}}.}$

두 물체의 상대 가속도 A는^μ 대략, 물체가 각각의 지오데틱을 따라 전진함에 따라 분리 벡터^μ X의 두 번째 파생물로 정의된다.특히 A는^μ T를 따라 X의 방향 공변량 파생물을 두 번 취함으로써 발견된다.

${\displaystyle A^{\mu }=T^{\alpha }\nabla _{\nabla _{\nabla }\{\beta }\nabla _{\x^{\mu }\오른쪽).}$

지오데틱 편차 방정식은 A^μ, T, X^μ 및^μ Riemann 텐서 R^μ_νρσ:^[2]

${\displaystyle A^{\mu }={R^{\mu }}}{{\nu \rho \sigma \}T^{}{\rho }X^{\sigma }}}}}}$

방향 공변량 파생상품 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}{\mathrm{}}_{}}$α ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$ T$^{\alpha }\nabla _$${\$$alpha }}}$의 대체 표기법은 D/${\displaystyle d}$ {\$displaystyle D/d\tau$ $\}$이므로 지오데틱 편차 방정식도 다음과 같이 표기할 수 있다.

${\displaystyle {\frac{D^{2}X^{}}{d\tau ^{2}}={R^{\mu }}}{R^{\nu \rho \sigma }}}}}}}}$

지오데틱 편차 방정식은 지오데틱스를 따라 점 입자 라그랑지안의 두 번째 변이 또는 결합된 라그랑지안의 첫 번째 변이에서 도출될 수 있다.^{[clarification needed]}라그랑비아식 접근법은 두 가지 장점을 가지고 있다.첫째, 다양한 정량화 접근법을 지오데틱 편차 시스템에 적용할 수 있다.둘째로, 그것은 지질학보다 훨씬 더 일반적인 개체에 대해 편차를 공식화할 수 있도록 한다. (하나의 스페이스타임 인덱스 모멘텀을 가진 역동적인 시스템은 지오데틱 편차의 해당 일반화를 가지고 있는 것으로 보인다.)^{[citation needed]}

약한 필드 제한

지오데틱 편차와 조력 가속도의 연결은 약장 한계에서 지오데틱 편차를 조사하여 더 명확하게 볼 수 있는데, 여기서 측정기준은 대략 민코우스키(Minkowski)이며 시험 입자의 속도는 c보다 훨씬 적은 것으로 가정한다.그러면 접선 벡터 T는^μ 대략 (1, 0, 0, 0), 즉, 시간 구성 요소만 0이 아니다.

그런 다음 상대 가속도의 공간 구성요소는 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle A^{i}=-{R^{i}_{0j0}X^{j}}}$

여기서 i와 j는 공간지수 1, 2, 3을 통해서만 달린다.

x = y = z = 0에서 거대한 물체의 뉴턴의 전위 ((x, y, z)에 해당하는 메트릭의 특별한 경우, 우리는 다음과 같이 한다.

${\displaystyle {R^{i}_{0j0}=-{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{i}\partial x^{j}}}}}}}}$

뉴턴 전위의 조력자야

참고 항목

• 베른하르트 리만
• 곡률
• 리만어 및 미터법 기하학 용어집

참조

• Stephani, Hans (1982), General relativity - an introduction to the theory of the gravitation field, Cambridge University Press, ISBN 0-521-37066-3.
• Wald, Robert M. (1984), General Relativity, ISBN 978-0-226-87033-5.

외부 링크

• 일반 상대성 이론과 양자 우주론
• 텐서 및 상대성:지오데틱 편차